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1.5. REFER ˆENCIAS BIBLIOGR ´AFICAS 25
0 (0000) +1 (0001) +2 (0010)
+3 (0011)
+4 (0100)
+5 (0101)
+6 (0110) +7 (0111) −8 (1000)
−7 (1001)
−6 (1010)
−5 (1011)
−4 (1100)
−3 (1101)
−2 (1110)
−1 (1111)
Figura 1.4: Representa¸c˜ao gr´afica da subtrac¸c˜ao (+2) − (+5) = −3, com n´umeros de 4 bits representados em nota¸c˜ao de complemento para 2
Esta subtrac¸c˜ao n˜ao produziu “overflow” porque n˜ao ultrapass´amos o limite de “Overflow” na subtrac¸c˜ao em complemento para 2
representa¸c˜ao da nota¸c˜ao de complemento para 2 com 4 bits (n˜ao “entr´amos pelo outro lado”, gerando n´umeros com o sinal contr´ario).
1.5 Referˆencias Bibliogr´aficas
Sˆerro, Carlos — Sistemas Digitais: Fundamentos Alg´ebricos, IST Press, Lisboa, 2003, Sec¸c˜oes 1.1, 1.2, e 1.4 a 1.7.
Arroz, G. S., Monteiro, J. C. e Oliveira, A. L. — Introdu¸c˜ao aos Sistemas Digitais e Microprocessadores, Sec¸c˜oes 2.1 e 2.2. Mano, Morris M., and Kime, Charles R. — Logic and Computer Design Fun- damentals, 2nd ed., Prentice Hall International, Inc., New Jersey, USA, 2000, Sec¸c˜oes 1.1 a 1.3.
1.6 Exerc´ıcios
Nota: os exerc´ıcios identificados com um asterisco (∗) est˜ao resolvidos em SD:ER.
(∗) 1.1 Escrever os seguintes n´umeros em forma polinomial:
a) (^23) (10); b) 4 087(10); c) 39 , (^28) (10); d) (^36) (8); e) E5, (^3) (16); f) 255 , (^6) (7); g) 1 023, (^003) (4).
1.2 Passar para a base 10 os seguintes n´umeros: a) (^437) (8); b) (^325) (6); c) 0 , (^245) (8); d) 0 , (^46) (7); e) 10101 , (^100101) (2); f) A2D, 9A(16); g) a32b, 5a(12).
26 CAP´ITULO 1. SISTEMAS DE NUMERAC¸ ˜AO
1.3 Escreva as representa¸c˜oes bin´aria e hexadecimal de: a) 25 , (^25) (10); b) 212 , (^5) (10); c) 4 , (^9875) (10).
(∗) 1.4 Determinar as bases b e c em: a) 5A(16) = 132(b); b) (^20) (10) = 110(c). 1.5 Passe para as bases 4, 8 e 16 os seguintes n´umeros: a) 1101101 , (^1001101) (2); b) 10111110 , (^00001111) (2); c) 111010 , (^01111) (2). 1.6 Passe para a base 2 os seguintes n´umeros: a) 2031 , (^123) (4); b) 432 , (^56) (8); c) EA2, F5(16).
1.7 Passe para a base 3 os seguintes n´umeros: a) (^585) (9); b) 467 , (^3) (9).
1.8 Converter o n´umero 257(10) para as bases 8 e 16, directamente e atrav´es da base 2.
1.9 Escrever as potˆencias de 2 desde 2−^4 at´e 2^15.
(∗) 1.10 O resultado da leitura do valor de uma tens˜ao el´ectrica ´e de 25,76 V. Representar em bin´ario esse valor.
1.11 Em que bases pode estar escrito o n´umero 3A2, B7 (^) (b)? 1.12 Escrever a tabela de multiplica¸c˜ao na base 5 e utiliz´a-la para calcular directamente 34(5) × (^23) (5). N˜ao utilizar a base 10 como intermedi´aria.
(∗) 1.13 A primeira expedi¸c˜ao a Marte provou a existˆencia de civiliza¸c˜oes in- teligentes no planeta vermelho porque descobriu, gravada numa rocha, a equa¸c˜ao 5 x^2 − 50 x + 125 = 0 , bem como as respectivas solu¸c˜oes, x 1 = 5 e x 2 = 8. O valor x 1 = 5 pareceu razo´avel aos elementos da expedi¸c˜ao, mas a outra solu¸c˜ao indicava claramente que os marcianos n˜ao utilizavam, como n´os, o sistema decimal de contagem (talvez porque n˜ao possu´ıssem 10 dedos nas m˜aos). Quantos dedos acha que os marcianos tinham nas m˜aos? Justifique.
(∗) (^) 1.14 Como sabe do exerc´ıcio anterior, a primeira expedi¸c˜ao a Marte provou a existˆencia de antigas civiliza¸c˜oes inteligentes no planeta vermelho. Uma das descobertas mais importantes consistiu em perceber que os marcianos usavam um sistema de numera¸c˜ao com 13 s´ımbolos, incluindo os s´ımbolos 0 a 9, tal como n´os usamos na Terra, e ainda os s´ımbolos, c©, ^ e ˇL. Por outro lado, conseguiu-se provar que os marcianos conheciam as opera¸c˜oes aritm´eticas de adi¸c˜ao e de subtrac¸c˜ao. Tendo a expedi¸c˜ao terrestre en- contrado o seguinte fragmento de uma opera¸c˜ao de adi¸c˜ao gravada numa rocha,
2.9. EXERC´ICIOS 39
2.9 Exerc´ıcios
Nota: os exerc´ıcios identificados com um asterisco (∗) est˜ao resolvidos em SD:ER.
(∗) (^) 2.1 Utilizar o CBN para codificar a seguinte informa¸c˜ao decimal:
(a) N = 31; (b) N = 1 674; (c) N = 52 674.
(∗) (^) 2.2 Construir um CBR com palavras de comprimento 5.
(∗) (^) 2.3 Construir um c´odigo reflectido de valˆencia 3 e com palavras de compri- C´odigo reflectido mento 3. Determinar as adjacˆencias entre palavras do c´odigo (Nota. Por valˆencia de um c´odigo entende-se o n´umero de s´ımbolos por ele utilizados. Valˆencia Assim, um c´odigo bin´ario ´e um c´odigo de valˆencia 2, e um c´odigo tern´ario tem valˆencia 3).
(∗) 2.4 Construir um c´odigo reflectido de valˆencia 4 e com palavras de compri- mento 2.
(∗) 2.5 Codificar os d´ıgitos decimais 0, 1 ,... , 9 utilizando c´odigos bin´arios pon- derados com os pesos indicados: (a) pesos 6 3 2 −1; (b) pesos 7 3 2 −1; (c) pesos 7 3 1 −2; (d) pesos 5 4 − 2 −1; (e) pesos 8 7 − 4 −2.
2.6 Considere o n´umero octal 352, (^4) (8). Represente-o em decimal, em bin´ario e no c´odigo BCD.
2.7 Realizar as opera¸c˜oes indicadas no c´odigo BCD: (a) (^37) (10) + 12(10); (b) (^1024) (10) + 379(10); (c) (^37) (10) − (^12) (10); (d) (^1024) (10) − (^379) (10).
2.8 Converter para o c´odigo BCD os n´umeros decimais dados e, em seguida, executar as opera¸c˜oes pedidas. (a) 12 , 5 + 21; (b) 123 , 1 − 21 , 5; (c) 7 , 5 + 9, 81; (d) 3 , 5 − 0 , 71.
2.9 Descodificar a seguinte informa¸c˜ao ASCII:
1000010 1001111 1010010 1001001 1001110 1000111 0100001.
50 CAP´ITULO 3. ALGEBRA DE BOOLE BIN ´´ ARIA
Leis de De Morgan Leis de De Morgan. T8a. A·B = A + B T8b. A + B = A·B
Teoremas envolvendo o Teoremas envolvendo o OU-exclusivo. Existem v´arios teoremas que en- OU-exclusivo volvem a fun¸c˜ao OU-exclusivo de duas ou mais vari´aveis booleanas simples. Antes de enumerarmos alguns desses teoremas, relembremos a defini¸c˜ao do OU- -exclusivo, A ⊕ B def = A B + A B = (A + B) (A + B).
Consideremos, ent˜ao, os principais teoremas envolvendo OU-exclusivos: T9. A ⊕ B = B ⊕ A (Comutatividade da fun¸c˜ao OU-exclusivo) T10. A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C (Associatividade da fun¸c˜ao OU-exclusivo) T11. A ⊕ 0 = A T12. A ⊕ 1 = A T13. A ⊕ B = A ⊕ B = A ⊕ B = A B (como sabemos, a fun¸c˜ao Equivalˆencia, A B, ´e igual ao complemento da fun¸c˜ao OU-exclusivo).
3.6 Referˆencias Bibliogr´aficas
Sˆerro, Carlos — Sistemas Digitais: Fundamentos Alg´ebricos, IST Press, Lisboa, 2003, Cap´ıtulo 3. Arroz, G. S., Monteiro, J. C. e Oliveira, A. L. — Introdu¸c˜ao aos Sistemas Digitais e Microprocessadores, Sec¸c˜oes 3.1.1 a 3.1.9. Mano, Morris M., and Kime, Charles R. — Logic and Computer Design Fun- damentals, 2nd ed., Prentice Hall International, Inc., New Jersey, USA, 2000, Sec¸c˜oes 2.1, 2.2, 2.6 e 2.7.
3.7 Exerc´ıcios
Nota: os exerc´ıcios identificados com um asterisco (∗) est˜ao resolvidos em SD:ER.
(∗) 3.1 Mostre que a fun¸c˜ao Equivalˆencia ´e comutativa e associativa.
(∗) (^) 3.2 Prove a seguinte lei de De Morgan: x + y = x y.
(∗) 3.3 Escreva tabelas de verdade adequadas para as seguintes fun¸c˜oes booleanas simples: a) f(A, B, C) = A (B + C) (B + C); b) f(A, B, C, D) = A (B + C (B + D)); c) f(A, B, C) = A C + B C.
52 CAP´ITULO 3. ALGEBRA DE BOOLE BIN ´´ ARIA
3.12 Verifique que: a) se A B = 0, ent˜ao A = B; b) se A B = A C, ent˜ao B = C; c) X + Y = X Y X Y ; d) X = X 1.
(∗) 3.13 Um t´ecnico de laborat´orio qu´ımico possui quatro produtos qu´ımicos, A, B, C e D, que devem ser guardados em dois dep´ositos. Por conveniˆencia, ´e necess´ario mover um ou mais produtos de um dep´osito para o outro de tempos a tempos. A natureza dos produtos ´e tal que ´e perigoso guardar B e C juntos, a n˜ao ser que A esteja no mesmo dep´osito. Tamb´em ´e perigoso guardar C e D juntos se A n˜ao estiver no dep´osito. Escreva uma express˜ao para uma fun¸c˜ao, Z, tal que Z = 1 sempre que exista uma combina¸c˜ao perigosa em qualquer dos dep´ositos.
(∗) (^) 3.14 Existem trˆes interruptores de parede, a, b e c. A = 1 representa a condi¸c˜ao “interruptor a ligado”, e A = 0 representa a condi¸c˜ao “interruptor a desli- gado”. De modo similar, as vari´aveis B e C est˜ao associadas `as posi¸c˜oes dos interruptores b e c, respectivamente. Escreva uma express˜ao booleana para uma fun¸c˜ao Z, de modo que a altera¸c˜ao do estado de um interrup- tor, independentemente dos outros, v´a provocar a mudan¸ca do valor da fun¸c˜ao.
4.8. REFER ˆENCIAS BIBLIOGR ´AFICAS 65
Como sabemos, a dupla nega¸c˜ao n˜ao altera uma fun¸c˜ao (teorema da involu¸c˜ao), donde:
F = A B C + A B C + A B C.
Mas, aplicando uma das leis de de Morgan obtemos
F = (A B C)·(A B C)·(A B C).
Ora, nesta express˜ao s´o surgem NANDs e NOTs:
- o NAND com 3 entradas A B C;
- o NAND com 3 entradas A B C;
- o NAND com 3 entradas A B C;
- o NAND global, ainda com 3 entradas, (A B C)·(A B C)·(A B C); e
- os NOTs B e C.
Por outro lado, um NOT pode ser feito com um NAND, uma vez que A·A = A ou ainda que A·1 = A. Isso significa que podemos utilizar apenas NANDs na representa¸c˜ao da fun¸c˜ao.
Do mesmo modo, e partindo da segunda forma can´onica, pode-se mostrar que a fun¸c˜ao pode ser representada apenas por NORs.
E, naturalmente, o que ´e v´alido para a fun¸c˜ao F ´e v´alido para qualquer fun¸c˜ao booleana simples. Da´ı que os conjuntos {NAND} e {NOR} sejam conjuntos completos, tal como o ´e o conjunto {AND, OR, NOT}, como vimos anterior- mente.
4.8 Referˆencias Bibliogr´aficas
Sˆerro, Carlos — Sistemas Digitais: Fundamentos Alg´ebricos, IST Press, Lisboa, 2003, Cap´ıtulo 5.
Arroz, G. S., Monteiro, J. C. e Oliveira, A. L. — Introdu¸c˜ao aos Sistemas Digitais e Microprocessadores, Sec¸c˜oes 3.1.10 a 3.1.13, e 3.2.
Mano, Morris M., and Kime, Charles R. — Logic and Computer Design Fun- damentals, 2nd ed., Prentice Hall International, Inc., New Jersey, USA, 2000, Sec¸c˜oes 2.3 e 2.6.
4.9 Exerc´ıcios
Nota: os exerc´ıcios identificados com um asterisco (∗) est˜ao resolvidos em SD:ER.
4.9. EXERC´ICIOS 67
(∗) 4.10 Utilizar o conjunto completo {AND,OR,NOT} para representar algebri- camente (em somas de produtos) as seguintes fun¸c˜oes booleanas simples: a) f 1 = (a ⊕ b ⊕ c) a; b) f 2 = (a b) c.
(∗) 4.11 Representar as seguintes fun¸c˜oes booleanas simples em primeira forma can´onica: a) f 1 = (a ⊕ b ⊕ c) a; b) f 2 = (a b) c.
(∗) 4.12 Representar as seguintes fun¸c˜oes booleanas simples em segunda forma can´onica: a) f 1 = (a ⊕ b ⊕ c) a; b) f 2 = (a b) c.
4.13 Tra¸car os logigramas correspondentes `as express˜oes dadas para as seguintes fun¸c˜oes booleanas simples: a) f = a c + b c + a b c; b) g = (a + b c) a; c) h =
M (2, 4 , 6 , 7).
(∗) (^) 4.14 Considere o logigrama da Figura 4.3.
&
&
&
≥ 1
≥ 1
= 1
A D B C A D
F
Figura 4.3: Logigrama utilizado no Exerc´ıcio 4.
Redesenhe-o da forma mais simples que conseguir.
(∗) 4.15 Usando apenas:
a) NANDs; b) NORs; c) AOIs, desenhe o logigrama da seguinte fun¸c˜ao:
f(A, B, C) = (A ⊕ C) B + B C + A C.
(Nota: AOI ´e a sigla de “And-Or Invert”. Ou seja, o logigrama deve apre- “And-Or Invert” (AOI) sentar um primeiro andar com portas AND e um segundo andar com uma porta NOR).
4.16 Modificar o logigrama do Exerc´ıcio 4.14 por forma a apenas se usarem portas NANDs.
68 CAP´ITULO 4. REPRESENTAC¸ ˜AO DAS FUNC¸ ˜OES
4.17 Modificar o logigrama do Exerc´ıcio 4.14 por forma a apenas se usarem portas NORs.
4.18 Ponha as seguintes fun¸c˜oes a) f = A (B + (C ⊕ D) (A + B)) + A B C + B (C ⊕ D); b) f = (A + B) (C + D) (A + B) (A + D); c) f = (A + B + C) (C + D) (A ⊕ D), na forma de: a) uma soma de produtos; b) um produto de somas.
