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LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÕES
- Quantos números de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições apresentadas? 12 30 6 24 18
- Dentre as permutações das letras da palavra TRIÂNGULO, o número das que começam por vogal é: P 9 P 8 2.P 8 4.P 8 4.P 7
- O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: 24 48 96 120 144
- O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é: 12 36 48 60 72
- Quantos anagramas da palavra PALCO podemos formar de maneira que as letras A e L apareçam sempre juntas? 48 24 96 120 36
- O número de anagramas de 6 letras que podemos formar com as letras da palavra PEDRAS, começando e terminando com uma letra que represente consoante, é: 72 480 192 432 288
- Sobre uma mesa são colocadas em linha 6 moedas. O número total de modos possíveis pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroas voltadas para cima é: 360 48 30 120 15
- Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam com O? 7! 5! 30 60 90
- O número de maneiras diferentes de colocar em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posições) as peças brancas ( 2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei ) é: 8! 504 5040 8 4
- Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem-se permutar as letras desta palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes? (N!)^2 (N!)^2 .2 (2N)! (2N)!.2 N!
- Oito políticos foram convidados a participar de uma mesa em uma convenção. Os lugares eram contíguos e dispostos em linha, de um mesmo lado da mesa. Sabendo que o político A não suporta o político B, não podendo sentar juntos, de quantas maneiras a mesa poderá ser composta? 56 5040 30240 35280 40320
- Com uma letra R, uma letra A e um certo número de letras M, podemos formar 20 permutações. O número de letras M é: 6 12 4 3 8
- O número de anagramas da palavra ALUNO que tem as vogais em ordem alfabética é:
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÕES - GABARITO
- Quantos números de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições apresentadas? 12 30 6 24 18 Solução. Repare que há repetições de algarismos. Isso porque não foi colocada a restrição de que sejam distintos. Logo as possibilidades serão: 1ª escolha 2ª escolha 3ª escolha 4ª escolha 5ª escolha 5 possib. 4 possib. 3 possib. 2 possib. 1 possib.
Há 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 possibilidades. Mas é necessário retirar os casos em que 11223 se confunde com 11223 (são os mesmos, mas foi trocado a posição dos algarismos 1. Ou seja, é indiferente). Essa situação ocorrerá com os algarismos repetidos: no caso, 1 e 2. Como há (2 x 1) casos para o 1 e (2 x 1) para o 2, existem 2 + 2 = 4 casos.
Logo, eliminado essa situação temos o resultado final:^1204 30
- Dentre as permutações das letras da palavra TRIÂNGULO, o número das que começam por vogal é: P 9 P 8 2.P 8 4.P 8 4.P 7
Solução. O exercício se resume em arrumar as nove letras com a restrição de que a 1ª escolha seja sempre uma vogal. Não há letras repetidas. 1ª letra 1ª letra 1ª letra 1ª letra 1ª letra 1ª letra 1ª letra 1ª letra 1ª letra 4 possib. 8 possib. 7 possib. 6 possib. 5 possib. 4 possib. 3 possib. 2 possib. 1 possib.
Há 4 x (8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 4. P 8 OBSERVAÇÃO: A representação de uma multiplicação decrescente de um número “n” até 1, é representada como n! (n fatorial). Na questão é realizada essa multiplicação 8! que representa uma permutação (troca) com as oito letras restantes. Porisso a opção 4.8! ou 4.P 8.
- O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: 24 48 96 120 144
Solução. Há duas vogais e a restrição para as trocas é que a última letra seja uma vogal. Não há letras repetidas. Iniciamos pela restrição, isto é: a 5ª letra.
1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 1 possib. 2 possib. 3 possib. 4 possib. 2 possib.
Há 1 x 2 x 3 x 4 x 2 = 48 possibilidades.
- O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é: 12 36 48 60 72
Solução. A palavra já mostra essa situação. Repare que há uma consoante e uma vogal intercalada. Logo, basta calcular as trocas entre as vogais e entre as consoantes.
1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 6ª letra 6 possib. 5 possib. 4 possib. 3 possib. 2 possib. 1 possib.
Há 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 possibilidades. No caso das caras, há (2 x 1) repetições e das coroas, há (4 x 3 x 2 x 1 = 24) repetições. No total, temos então:
2720 x 24 ^72048 ^15
- Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam com O? 7! 5! 30 60 90 Solução. As repetições ficam por conta das letras S. As restrições de iniciar por S e terminar com O serão logo consideradas. 1ª letra 2ª letra 3ª letra 1ª algarismo 2ª algarismo 3ª algarismo 4ª algarismo 3 possib. 5 possib. 4 possib. 3 possib. 2 possib. 1 possib. 1 possib.
Há 3 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 = 360 possibilidades. No entanto há 3 letras S e um total de 3 x 2 x 1 = 6 repetições.
Logo, no total há 60
- O número de maneiras diferentes de colocar em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posições) as peças brancas ( 2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei ) é: 8! 504 5040 8 4 Solução. Nomeando cada peça com sua inical em maiúsculas o problema se resume em arrumar as 8 peças TTCCBBRR’ (R’ é o rei). Não podemos esquecer as repetições de cada peça. Essa quantidade é calculada como (2 x 1)^3 = 8 repetições. A tabela inicial é: 1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 6ª letra 7ª letra 8ª letra 8 possib. 7 possib. 6 possib. 5 possib. 4 possib. 3 possib. 2 possib. 1 possib.
Há 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320 possibilidades.
Sem as repetições há no total: 5040
- Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem-se permutar as letras desta palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes? (N!)^2 (N!)^2 .2 (2N)! (2N)!.2 N! Solução. Considerando as posições já intercaladas há N! trocas de vogais e N! trocas de consoantes. Como podemos iniciar com vogais ou consoantes, multiplicamos esse resultado por 2. O total de arrumações é 2 x N! x N! = 2 x (N!)^2. ( Um exemplo numérico é o exercício 4 dessa lista).
- Oito políticos foram convidados a participar de uma mesa em uma convenção. Os lugares eram contíguos e dispostos em linha, de um mesmo lado da mesa. Sabendo que o político A não suporta o político B, não podendo sentar juntos, de quantas maneiras a mesa poderá ser composta? 56 5040 30240 35280 40320
Solução. Nomeando os políticos como A, B, C, D, E, F, G, H, precisamos arrumá-los com a restrição de que não ocorra AB, nem BA. Uma solução pode ser encontrada calculando o número total de arrumações e subtrairmos os casos onde o encontro ocorre.
i) Número total de arrumações sem a restrição. 1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 6ª letra 7ª letra 8ª letra 8 possib. 7 possib. 6 possib. 5 possib. 4 possib. 3 possib. 2 possib. 1 possib.
Há 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320 possibilidades. ii) Número total de arrumações com AB juntos. Interpretamos como uma única letra 1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 6ª letra 7ª letra 7 possib. 6 possib. 5 possib. 4 possib. 3 possib. 2 possib. 1 possib.
Há 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040 possibilidades. Essa situação ocorre também com BA. Logo o total dessa situação é 2 x 5040 = 10080 arrumações. Finalizando o total de arrumações evitando o encontro é: 40320 – 10080 = 30240 possibilidades.
- Com uma letra R, uma letra A e um certo número de letras M, podemos formar 20 permutações. O número de letras M é: 6 12 4 3 8 Solução. Pela formulação do problema deve haver repetições da letra M. Suponhamos que essa letra aparece k vezes. Então o grupo é formado por (k + 2) letras. Utilizando a fórmula que calcula as possibilidades eliminando as repetições, temos:
2 k
k k k indefinido
k k k k
k kk k k k
k
k
Há 3 letras M.
- O número de anagramas da palavra ALUNO que tem as vogais em ordem alfabética é:
Solução. Repare que a situação exige que haja uma ordenação AOU. Essa formação pode estar separada, mas nunca fora dessa posição. As possibilidades de troca entre as 5 letras é:
1ª letra 2ª letra 3ª letra 4ª letra 5ª letra 5 possib. 4 possib. 3 possib. 2 possib. 1 possib.
Há 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 possibilidades. Precisamos retirar, no entanto as mudanças de AOU que ocorrem em
3 x 2 x 1 possibilidades. Logo o total de possibilidades é:^1206 20.
