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LÓGICA

MATEMÁTICA

Professor Dr. Guilherme Zsigmond Machado Professora Esp. Franciele da Silva Ferreira Zsigmond

GRADUAÇÃO

Unicesumar

Acesse o seu livro também disponível na versão digital.

C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a Distância; MACHADO , Guilherme Zsigmond; ZSIGMOND , Franciele da Silva Ferreira. Lógica Matemática. Guilherme Zsigmond Machado; Franciele da Silva Ferreira Zsigmond. Maringá-Pr.: Unicesumar, 2019. 176 p. “Graduação - EaD”.

1. Lógica. 2. Matemática. 3. Fórmulas. 4. EaD. I. Título.

ISBN 978-85-459-1872- CDD - 22 ed. 511. CIP - NBR 12899 - AACR/

Ficha catalográica elaborada pelo bibliotecário João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828 Impresso por:

Reitor Wilson de Matos Silva Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva Pró-Reitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi NEAD - Núcleo de Educação a Distância Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff James Prestes Tiago Stachon Diretoria de Graduação e Pós-graduação Kátia Coelho Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Diretoria de Design Educacional Débora Leite Head de Produção de Conteúdos Celso Luiz Braga de Souza Filho Head de Curadoria e Inovação Tania Cristiane Yoshie Fukushima Gerência de Produção de Conteúdo Diogo Ribeiro Garcia Gerência de Projetos Especiais Daniel Fuverki Hey Gerência de Processos Acadêmicos Taessa Penha Shiraishi Vieira Supervisão de Produção de Conteúdo Nádila Toledo Coordenador de Conteúdo Antoneli da Silva Ramos Designer Educacional Nayara Valenciano Projeto Gráico Jaime de Marchi Junior José Jhonny Coelho Arte Capa Arthur Cantareli Silva Ilustração Capa Bruno Pardinho Editoração Matheus Silva de Souza Qualidade Textual Monique Coloni Boer

Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está iniciando um processo de transformação, pois quan- do investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou proissional, nos transformamos e, consequente- mente, transformamos também a sociedade na qual estamos inseridos. De que forma o fazemos? Crian- do oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de alcançar um nível de desenvolvimento compatível com os desaios que surgem no mundo contemporâneo.

O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na transformação do mundo”.

Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógi- ca e encontram-se integrados à proposta pedagógica, contribuindo no processo educacional, complemen- tando sua formação proissional, desenvolvendo com- petências e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal objetivo “provocar uma aproximação entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhe- cimentos necessários para a sua formação pessoal e proissional.

Portanto, nossa distância nesse processo de cresci- mento e construção do conhecimento deve ser apenas geográica. Utilize os diversos recursos pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o Studeo, que é o seu Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fó- runs e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das discussões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra dis- ponível para sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e segurança sua trajetória acadêmica.

SEJA BEM-VINDO(A)!

Caro(a) aluno(a), a lógica matemática é a base de todas as construções na matemática. Por meio dos resultados que discutiremos no decorrer deste livro e pelas deinições as- sumidas nos módulos que vocês cursarão futuramente, podemos construir proprieda- des e resultados.

O advento da notação lógica, isto é, a simpliicação das demonstrações pela utilização de símbolos, impulsionou a despersoniicação das demonstrações, que antes eram no formato de poemas e versos, tornando-as menos dependentes da língua de cada país e, assim, universalizando as provas e os resultados.

Este livro é composto por cinco unidades. A primeira fornece as deinições básicas para o desenvolvimento do estudo da lógica. Os conceitos de proposições e operadores ló- gicos nos permitem descrever parte da linguagem corrente em linguagem simbólica, porém, tal transformação deve respeitar certos princípios e, caso respeite, constitui a “fórmula bem formulada”.

Na segunda unidade, introduzimos o conceito de tabela verdade, que nos permitirá cal- cular o valor lógico das proposições compostas. Veremos propriedades que nos permi- tiram veriicar se duas proposições são iguais (equivalentes) ou diferentes, e as implica- ções lógicas que nos possibilitam simpliicar as proposições.

Na terceira unidade, discutiremos o estudo dos argumentos, isto é, da sequência lógi- ca seguida para demonstrar ou refutar determinado fato, o que nos permite estruturar sequencialmente o argumento de forma a provar o resultado requerido ou refutá-lo, caso seja possível. Quando não, conclui-se que os fatos apresentados não são suicien- tes para tais airmações.

A quarta unidade discorrerá sobre o cálculo de predicados, que nos possibilita obter valores lógicos para funções e, assim, estender os resultados obtidos nas unidades an- teriores para predicados.

Para inalizar, a quinta unidade trará tópicos de lógica relativos ao raciocínio lógico, e traçaremos o paralelo entre os argumentos utilizados com os estudados nas unidades precedentes.

Desejamos boa leitura e ótimos estudos!

APRESENTAÇÃO

LÓGICA MATEMÁTICA

SUMÁRIO

10

UNIDADE III

SIMPLIFICANDO O ARGUMENTO NO CÁLCULO PROPOSICIONAL

81 Introdução

82 Deinindo Premissas e Argumentos

89 Regras na Argumentação

100 Refutando o Argumento

107 Resultados

109 Considerações Finais

113 Referências

114 Gabarito

UNIDADE IV

CALCULANDO PREDICADO

119 Introdução

120 Predicado e Quantiicadores

124 Regras de Inferência

132 Princípio da Indução Finita

138 Considerações Finais

142 Referências

143 Gabarito

SUMÁRIO

11

UNIDADE V

A LÓGICA DO RACIOCÍNIO

149 Introdução

150 Argumentando Corretamente

160 Categoria de Argumentos

168 Considerações Finais

172 Referências

173 Gabarito

175 CONCLUSÃO

UNIDADE

I

Professor Dr. Guilherme Zsigmond Machado

Professora Esp. Franciele da Silva Ferreira Zsigmond

PROPOSIÇÕES:

RECONHECENDO E

CONSTRUINDO

Objetivos de Aprendizagem

■ Compreender o conceito de proposição.

■ Compreender e aplicar os operadores lógicos.

■ Assimilar o conceito e identiicar os erros de formulação das proposições.

Plano de Estudo

A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:

■ Proposições

■ Formando novas proposições com operações lógicas

■ Escrevendo corretamente

PROPOSIÇÕES: RECONHECENDO E CONSTRUINDO

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

16 U N I D A D E^ I

PROPOSIÇÕES

A matemática é constituída de airmações, que são provadas a partir de conceitos

mais básicos: as deinições. Estas são assumidas, isto é, aceitas como verdades.

A lógica pode ser deinida da seguinte forma:

Deinição 1

A proposição é a sentença da linguagem que tem sentido completo e a qual

podemos atribuir valor lógico ou valor de verdade, ou seja, devemos ser capa-

zes de airmar se a frase é verdadeira (V) ou falsa (F).

Exemplo 1

1. O céu é roxo.

Essa airmação pode ser veriicada com o simples vislumbre do céu que, por sua

vez, indicará que este é azul. Portanto, podemos atribuir valor lógico à airma-

ção, nesse, caso falso (F), e concluir que é uma proposição.

2. A bandeira brasileira é verde, amarela e azul.

Proposições

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

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Essa airmação pode ser veriicada ao olhar a bandeira do Brasil que, por sua

vez, indicará quatro cores: o verde, o amarelo, o azul e o branco, que compõe as

estrelas. Portanto, podemos atribuir valor lógico à airmação, nesse caso, falso

(F), e concluir que é uma proposição.

3. A mangueira produz manga e a bananeira, bananas.

Essa airmação pode ser veriicada por meio do conhecimento de frutas que, por

sua vez, indicará que a sentença está correta. Portanto, podemos atribuir valor

lógico à airmação, nesse caso, verdadeira (V), e concluir que é uma proposição.

4. Os seres humanos respiram oxigênio.

Essa airmação pode ser veriicada por meio do conhecimento de biologia que,

por sua vez, indicará que a sentença está correta. Portanto, podemos atribuir valor

lógico à airmação, nesse caso, verdadeira (V), e concluir que é uma proposição.

Importante: no exemplo anterior, os itens 1 e 2 não podem ser veriicados

por uma pessoa que sofre de daltonismo, porém, isso não impede que a frase

assuma valor lógico, seja verdadeiro ou falso.

Vejamos mais exemplos dessa airmação.

Exemplo 2

1. O centésimo dígito do número π é 7.

Essa airmação pode ser comprovada por meio do conhecimento matemático,

contudo, mesmo que não saibamos essa informação, podemos airmar que a

frase é verdadeira ou falsa. Portanto, é uma proposição.

2. No dia 11 de janeiro de 2020, choverá na sua cidade.

Essa airmação não pode ser comprovada até a data, porém, podemos airmar que

a frase será verdadeira ou falsa na futura ocasião. Portanto, é uma proposição.

3. Uma reta possui ininitos pontos.

Essa airmação não pode ser comprovada até que sejam contados os ininitos pon-

tos, mas podemos airmar que é verdadeira ou falsa. Portanto, é uma proposição.

Proposições

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

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pois já tivemos um livro dedicado e, portanto, esse livro não nos é dedicado, ou

seja, a airmação é falsa.

Logo, a airmação que nos dedica e não nos dedica esse livro depende da

quantidade de vezes que lemos.

A lógica matemática assume os seguintes princípios básicos:

a. Princípio da não contradição : uma proposição não pode ser verdadeira

e falsa ao mesmo tempo.

b. Princípio do terceiro excluído : uma proposição é verdadeira ou é falsa,

não havendo uma terceira possibilidade.

c. Princípio da identidade : uma proposição é igual a si mesma.

No exemplo 4, a proposição não é uma contradição, pois, apesar da alternância

do valor verdade, esta não é verdadeira e falsa, é ao mesmo tempo. Vejamos o

exemplo a seguir.

Exemplo 5

1. Esta frase é falsa.

Calculemos o valor lógico desta frase: caso seja verdadeira, teremos uma con-

tradição, pois será verdade que a frase é falsa, logo, a frase deveria ser falsa, mas

assumimos que ela é verdadeira.

Caso a frase seja falsa, teremos outra contradição. De fato, se é falsa, temos

que ‘‘Esta frase é falsa” é uma airmação verdadeira.

Assim, concluímos que a frase não pode ser nem verdadeira nem falsa e,

A lógica apresentada anteriormente é conhecida como lógica dedutiva clássica. Para formamos a lógica matemática, introduziremos outros axio- mas posteriormente. Um destes é equivalente ao Princípio da Indução Finita (PIF), que será estudado na Unidade 3. Devemos ressaltar que estas não são as únicas lógicas que existem. Dentre as lógicas não clássicas, podemos citar a lógica paraconsistente e a lógica Fuzzy. Fonte: os autores.

PROPOSIÇÕES: RECONHECENDO E CONSTRUINDO

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

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portanto, não é uma proposição lógica, pois viola o princípio da não contradição.

Esse tipo de frase contraditória é chamada de paradoxo.

Outro importante tipo de sentença é a chamada função proposicional, cujo

valor lógico depende do elemento que está sendo analisado. Veremos este con-

ceito em capítulos posteriores deste livro. Para cada objeto analisado, temos uma

proposição. Como no exemplo a seguir:

Exemplo 6

A airmação x^ >^0 não é uma proposição. Cada x^ tem seu valor lógico dei-

nido. Mas quando a sentença é verdadeira?

Pensemos em um número y^ qualquer. Suponhamos que y^ >^0. Desta

forma, a sentença x �^ �>^0 é verdadeira.

De fato, se pensarmos em y^ =^1 ou y^ =^2 , por exemplo, temos que 2 >^0

e 1 >^0. Neste caso, quando x^ assume os valores 1 ou 2 , a função proposicio-

nal assume valor lógico verdadeiro.

Esta mesma situação ocorre para qualquer valor de y^ pensado, desde que

y � �> 0 , isto é, ao substituirmos o valor de y no lugar de x , obtemos que x = y

e y^ >^0. Ao repetimos o processo para y^ ≤^0 , temos que x^ ^ y ^0 e, portanto,

x não pode ser maior que 0, como na airmação. Portanto, a sentença é falsa.

Dessa forma, faz-se necessário decidir em qual valor queremos analisar a

sentença para decidir seu valor verdade.

Caro(a) aluno(a), veja no QRCode, a seguir, quais são os outros exemplos de lógicas, por meio da sua plataforma.