Lógica para concurso, Exercícios de Matemática

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INTRODUÇÃO

À

LÓGICA MATEMÁTICA

Prof. Antonio A. Pinho

Rio de Janeiro

Julho de 1999

Prof. Antonio de Almeida Pinho

ÍNDICE

• 1. Lógica Formal. I. INTRODUÇÃO
• 2. Dedução e Indução.
• 3. Lógica Clássica e Lógica Simbólica.
• 4. Proposições e Predicados.
• 5. Princípios da Lógica.
• 6. Raciocínio Lógico.
• 1. Proposições Simples. II. CÁLCULO PROPOSICIONAL
• 2. Proposições Compostas. Conectivos.
• 3. Ordem de Precedência das Operações. Fórmulas.
• 4. Construção de Tabelas Verdade.
• 5. Eqüivalência Lógica.
• 6. Inferência Lógica.
• 1. Argumentos. III. DEDUÇÃO NO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• 2. Dedução.
• 3. Eqüivalências e Inferências Básicas.
• 4. Simplificação da Conclusão.
• 5. Validade e Invalidade.
• 1. Predicados e Variáveis. IV. CÁLCULO DE PREDICADOS
• 2. Operações Lógicas.
• 3. Quantificadores.
• 4. Silogismos Categóricos.
• 5. Diagramas de Venn.
• 1. Eliminação e Inserção de Quantificadores. V. DEDUÇÃO NO CÁLCULO DE PREDICADOS
• 2. Eqüivalências e Inferências.
• 3. Dedução.
• 4. Invalidade.
• 5. Subargumentos.
• Bibliografia - Registro MEC Direitos Reservados

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Se eu ganhar na Loteria, serei rico Não ganhei na Loteria Logo, não sou rico

que, embora seja semelhante ao anterior, tem outra forma, e, nessa forma, a conclusão não se segue logicamente das premissas, e, portanto, não é um argumento válido.

2. Dedução e Indução.

A Lógica dispõe de duas ferramentas principais que podem ser utilizadas pelo pensamento na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução, que dão origem a dois tipos de argumentos, dedutivos e indutivos. Os argumentos dedutivos pretendem que suas premissas forneçam uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão, isto é, quando for impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa; caso contrário, o argumento dedutivo é dito inválido. Os dois argumentos citados anteriormente são do tipo dedutivo, o primeiro válido e o segundo inválido.

Os argumentos indutivos, por outro lado, não pretendem que suas premissas forneçam provas cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que forneçam indicações dessa veracidade. Veja um exemplo de argumento indutivo:

Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou; Joguei outra pedra no lago e ela também afundou; Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou; Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar.

Os termos “válidos” e “inválidos” não se aplicam aos argumentos indutivos; eles costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas.

Costuma-se dizer que os argumentos indutivos partem do particular para o geral, isto é, a partir de observações particulares, procura estabelecer regras gerais, que, no caso das ciências naturais, devem ser provadas por outros meios; os argumentos dedutivos, por seu lado, partem de regras gerais para estabelecer a veracidade de acontecimentos particulares. O desenvolvimento da ciência tem dependido, em grande parte, da habilidade em combinar os dois tipos de raciocínio.

3. Lógica Clássica e Lógica Simbólica.

Os argumentos formulados em uma linguagem natural, como o inglês ou português, são, muitas vezes, de difícil avaliação, principalmente por causa da ambigüidade inerente às linguagens naturais, e das construções às vezes vagas ou confusas dos termos. Em virtude desses fatos, a partir dos trabalhos de George Boole, em meados do século XIX, foram sendo utilizados cada vez mais símbolos de origem matemática para expressar os enunciados e raciocínios da Lógica. A Lógica apresentada dessa forma é chamada Lógica Matemática ou Lógica Simbólica, enquanto a Lógica baseada em linguagem natural é chamada Lógica Clássica.

À medida que a Lógica Simbólica desenvolve sua própria linguagem técnica, vem se tornando um instrumento cada vez mais poderoso para a análise e a dedução dos argumentos. A utilização de uma simbologia matemática ajuda a expor, com maior clareza, as estruturas lógicas das proposições e dos argumentos, que podem não ficar suficientemente claras se expressas em linguagem natural.

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Uma outra vantagem da utilização de uma linguagem simbólica para a Lógica é a possibilidade de utilização de recursos computacionais no tratamento de enunciados e argumentos; os computadores digitais se mostram bastante adequados à manipulação de símbolos, enquanto apresentam extrema dificuldade no tratamento de linguagem natural. Em 1965, um pesquisador chamado Robinson desenvolveu um procedimento computacional para a dedução, chamado Resolução, evidenciando as vantagens da utilização de uma linguagem simbólica para a Lógica.

4. Proposições e Predicados.

Muitas das idéias envolvidas nos argumentos podem ser apresentadas através de proposições (também chamados enunciados ou sentenças) que se referem a um objeto; por exemplo, “eu ganhei na Loteria”, “José atirou uma pedra no lago”, “Sócrates é um homem”. Tais proposições são chamadas singulares.

Existem outras proposições, no entanto, que fazem referência a conjuntos de objetos; por exemplo, “todos os homens são mortais”, “alguns astronautas foram à Lua”, “nem todos os gatos caçam ratos”.

Os termos “homens”, “astronautas” e “gatos” são conceitos; não se referem a nenhum homem, astronauta ou gato em particular, mas sim ao conjunto de propriedades que faz com que um objeto esteja em uma categoria ou em outra. Tais propriedades são chamadas predicados.

Como a Lógica que trata apenas das proposições singulares é mais simples que a que trata também com conjuntos de objetos, os autores preferiram separar o estudo da Lógica Matemática em duas partes: o Cálculo Proposicional, ou Lógica Sentencial, que se ocupa das proposições singulares, e o Cálculo de Predicados, ou Lógica dos Predicados, que trata dos conjuntos de objetos e suas propriedades.

Para tratar com objetos e suas propriedades, o Cálculo de Predicados apresenta dois conceitos matemáticos, a variável, para se referir a um objeto genérico de uma categoria, e os quantificadores, expressões como “para todo” e “existe algum” para se referirem à quantidade de objetos que partilham o mesmo predicado; assim a proposição “todos os homens são mortais” assume a forma “para todo x, se x é um homem, então x é mortal” e as proposições “alguns astronautas foram à Lua” e “nem todos os gatos caçam ratos” assumem respectivamente as formas “existe um x tal que x é um astronauta e x foi à Lua” e “existe um x tal que x é um gato e x não caça ratos”.

Quando as variáveis e quantificadores se referem apenas aos objetos, o Cálculo de Predicados também é chamado Lógica de Primeira Ordem; mas podemos pensar em uma situação na qual as variáveis e quantificadores se refiram também aos predicados; por exemplo, considere o enunciado “existe um predicado que todas as pessoas possuem”, que pode ser expressa por “existe um p tal que p é um predicado e tal que para todo x, se x é uma pessoa, x possui p”

Quando as variáveis e quantificadores se referem também aos predicados, como na expressão acima, temos o que chamamos Lógica de Segunda Ordem. Um exemplo importante da Lógica de Segunda Ordem é o Principio de Indução Matemática: “se o numero 1 tiver um predicado, e o fato de n possuir esse predicado implica em que n + 1 também o possua, então o predicado se aplica a todos os números naturais”.

Os predicados de primeira ordem são, pois, aqueles que se aplicam a indivíduos; de segunda ordem são aqueles que se aplicam a indivíduos e aos predicados de primeira ordem. A generalização pode

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6. Raciocínio Lógico.

Antes de iniciarmos o estudo sistemático da Lógica, exercitemos desde já nosso raciocínio, e apelemos ao velho e útil bom senso para resolver os seguintes problemas:

1. Se eu não tenho carro, a afirmação “meu carro não é azul” é verdadeira ou falsa?
2. Existe um ditado popular que afirma que “toda regra tem exceção”. Considerando que essa frase é, por sua vez, também uma regra, podemos garantir que é verdadeira? Ou que é falsa?
3. Tenho 9 pérolas idênticas, mas sei que uma delas é falsa, e é mais leve que as outras; como posso identificar a pérola falsa, com apenas duas pesagens em uma balança de dois pratos?
4. Tenho 12 pérolas idênticas, mas uma delas é falsa e tem peso um pouco diferente das demais, não sei se mais leve ou mais pesada; como posso identificar a pérola falsa, e se ela é mais leve ou mais pesada, com apenas três pesagens em uma balança de dois pratos?
5. Tenho 10 grupos com 10 moedas cada um; todas as moedas pesam 10 gramas cada uma, exceto as de um grupo, no qual as moedas pesam 9 gramas cada uma; como posso identificar o grupo de moedas mais leves, com apenas uma pesagem em uma balança de um prato?
6. Durante uma expedição, um explorador encontra uma caverna com três deuses: o deus da sinceridade, que sempre fala a verdade; o deus da diplomacia, que às vezes diz a verdade, às vezes, não; e o deus da falsidade, cujas declarações são sempre mentirosas. O deus A diz: “B é o deus da sinceridade”, mas o deus B retruca: “Não, eu sou o deus da diplomacia”, e o deus C completa: “Nada disso, B é o deus da mentira”. Afinal, quem é quem?
7. Há muitos anos atrás, vivia em uma pequena cidade, um barbeiro, que ganhava a vida fazendo a barba dos habitantes da região. Um dia, ele ficou muito doente, e, na iminência de morrer, fez uma promessa ao santo de sua devoção: se ficasse bom, faria gratuitamente, uma vez por ano, a barba de todos os homens, e unicamente desses homens, que não fizessem sua própria barba. O barbeiro foi melhorando, melhorando, até que ficou bom; dispôs−se então a cumprir a promessa: na data aprazada, passou todo o dia barbeando os homens que não faziam sua própria barba. À noite, antes de dormir, foi se barbear, e verificou que estava diante de um impasse: se fizesse sua própria barba, estava barbeando um homem que fazia sua própria barba, o que quebrava a promessa; por outro lado, se não fizesse, estaria deixando de fazer a barba de um homem que não fazia sua própria barba, o que tambem quebrava a promessa. Você tem idéia de como sair desse impasse?
8. Um rei resolveu dar a um prisioneiro a oportunidade de obter a liberdade. Levou−o até uma sala, com duas portas de saída, chamadas A e B, cada uma com um guarda. Disse: “Uma das portas leva à liberdade, enquanto a outra leva à fôrca; alem disso, um dos guardas fala sempre a verdade, enquanto o outro só fala mentiras. Voce pode fazer uma única pergunta a um dos guardas e escolher uma porta para sair.” O prisioneiro pensou durante alguns segundos; depois, dirigiu−se a um dos guardas e disse: “Se eu perguntasse a seu companheiro qual a porta que leva à liberdade, o que ele me diria ?”. Depois de alguns segundos, o guarda respondeu: “A”. “Obrigado”, disse o prisioneiro, e passou pela porta B. O prisioneiro obteve a liberdade ou foi para a fôrca? Como saber?
9. Um outro rei resolveu dar a três prisioneiros uma oportunidade de obter a liberdade. Mandou vir três chapéus brancos e dois vermelhos, e escolheu um chapéu para cada prisioneiro;

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ganharia a liberdade aquele que fosse capaz de dizer a cor de seu próprio chapéu, observando unicamente a cor dos chapéus de seus companheiros. O primeiro prisioneiro observou o chapéu dos outros dois prisioneiros, mas não foi capaz de dizer a cor de seu próprio chapéu e voltou para a prisão; o segundo, à sua vez, após observar os chapéus dos outros prisioneiros também não soube dizer que cor tinha seu chapéu, e também voltou para a prisão. O rei, ao perceber que o terceiro prisioneiro era cego, nem ia se dar ao trabalho de perguntar, mas este insistiu que deveria ter a mesma oportunidade. Inquirido, declarou corretamente a cor de seu chapéu. Qual a cor do chapéu do prisioneiro cego, e como ele chegou à conclusão correta?

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Em linguagem simbólica, costumamos representar as proposições simples pelas letras p, q, r, s, t, etc. Assim, se fizermos as seguintes representações:

p − A Lua é o satélite da Terra. q − Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil. r − Dante escreveu Os Lusíadas. s − O Brasil é uma monarquia.

podemos escrever:

VL [ p ] = V VL [ q ] = V VL [ r ] = F VL [ s ] = F

2. Proposições Compostas. Conectivos.

As proposições compostas são obtidas combinando proposições simples através de certos termos chamados conectivos. A Lógica dispõe de cinco conectivos: “e”, “ou”, “não”, “se – então”, e “se e somente se”. Utilizando esses conectivos podemos construir as seguintes proposições compostas:

João é magro e José é alto. Mário foi ao cinema, João foi ao teatro e Marcelo ficou em casa. Maria foi à praia ou ao mercado. Mário foi ao cinema ou Marcelo ficou em casa. A Lua não é o satélite da Terra. Se a chuva continuar a cair, então o rio vai transbordar. Se João estudar, será aprovado. João será aprovado se e somente se estudar.

Em Lógica Simbólica, a ação de combinar proposições é chamada “operação”, e os conectivos são chamados “operadores”, e são representados por símbolos específicos; apresentamos abaixo as cinco operações lógicas, com seus respectivos conectivos e símbolos:

Operação Conectivo Símbolo Conjunção e (^) ∧ Disjunção ou (^) ∨ Negação não (^) ¬ ou ∼ Condicional se ... então (^) → Bicondicional se e somente se (^) ↔

Como podemos determinar o valor lógico de uma proposição composta, em função dos valores lógicos das proposições que a compõe?

Para responder a essa pergunta, temos que definir as operações, isto é, dar o resultado da operação para cada possível conjunto de valores dos operandos.

Conjunção

Se p e q são proposições, a expressão p ∧ q é chamada conjunção de p e q, e as proposições p e q são chamadas fatores da expressão. Se conhecermos o valor verdade dos fatores de uma conjunção, o que podemos dizer do valor verdade da conjunção? Ora, a expressão

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João é magro e José é alto

será verdadeira unicamente no caso em que os dois fatores forem verdadeiros, isto é, se João for magro e José for alto; se um dos dois fatores (ou ambos) for falso, a conjunção é falsa.

O valor lógico do resultado da operação de conjunção pode ser apresentado através da tabela abaixo, onde p e q são proposições quaisquer:

p q (^) p ∧∧∧∧ q V V V V F F F V F F F F Disjunção

Às vezes, a língua portuguesa encerra alguma ambigüidade no uso do conectivo “ou”; a utilização de “ou” entre dois fatos indica que um deles é verdadeiro, mas pode não deixar claro se ambos o são; normalmente, na linguagem natural, procura-se resolver a ambigüidade utilizando-se o contexto. Por exemplo, na frase

Maria foi à praia ou ao mercado

parece que apenas um dos fatos é verdadeiro, pois é difícil alguém ir à praia e ao mercado simultaneamente; no entanto, se não houver exigência se simultaneidade, pode ocorrer que Maria tenha ido à praia e depois ao mercado, e ambos os fatos são verdadeiros.

O outro exemplo,

Mário foi ao cinema ou Marcelo ficou em casa

é ainda pior, pois não há nenhuma indicação se apenas um ou os dois fatos ocorreram. Como na Lógica não são permitidas ambigüidades, foi necessário definir dois conectivos para o termo “ou”: o “ou inclusivo”, onde se permite que um dos fatos ou ambos ocorram, e o “ou exclusivo” onde um e apenas um dos fatos ocorrem.

Se p e q são proposições, a expressão p ∨ q é chamada disjunção inclusiva de p e q; por seu turno, a disjunção exclusiva das expressões p e q é indicada por p | q; em ambos os casos, as proposições p e q são chamadas parcelas da expressão.

Em que condições a expressão

Maria foi à praia ou ao mercado

é verdadeira? No conceito inclusivo do conectivo “ou” basta que Maria tenha ido pelo menos um dos lugares; ou seja, para que uma disjunção inclusiva seja verdadeira, basta que uma das parcelas (ou ambas) o seja; unicamente se ambas as parcelas forem falsas, a disjunção inclusiva o será.

Por outro lado, se se tratar de uma disjunção exclusiva, a expressão só será verdadeira se Maria tiver ido a um dos lugares, mas não ao outro. A disjunção exclusiva será verdadeira se uma das parcelas for verdadeira e a outra falsa; se ambas as parcelas tiverem o mesmo valor lógico, a disjunção exclusiva será falsa. Em nosso texto, trataremos unicamente da disjunção inclusiva; isto é,

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transbordado; nesse caso, p não foi condição para q, isto é, a condicional é falsa. Finalmente, considere que a chuva não tenha continuado a cair; nesse caso, independentemente do que tenha acontecido com o rio, a condicional é considerada verdadeira.

Por que esse fato ocorre? Por que motivo, a Lógica considera que se o antecedente for falso, a condicional é verdadeira, qualquer que seja o valor lógico do conseqüente?

Existem vários motivos para isso, e vamos aqui apresentar o mais simples. Quando o antecedente for falso, temos quatro possibilidades para o valor lógico da condicional:

Possibilidades da condicional 1ª 2ª 3ª 4ª antecedente F conseqüente V V V F F antecedente F conseqüente F V F V F

Se a Lógica adotasse a segunda possibilidade, a condicional assumiria os mesmos valores lógicos do conseqüente, independentemente do antecedente, o que não parece razoável; se assumisse a terceira, o antecedente e o conseqüente poderiam ser permutados, sem modificar o valor lógico da condicional, o que também não parece ser razoável (se o rio transbordar, a chuva vai continuar caindo).

Finalmente, se a quarta possibilidade fosse adotada, a condicional não se distinguiria da conjunção; resta então a primeira possibilidade, que é a adotada pela Lógica.

Como já dissemos, a Lógica não se preocupa com os significados das expressões, mas somente com sua forma. Podemos então considerar que a operação de condicional foi definida da forma pela qual foi apresentada, sem a preocupação de que o antecedente seja “causa” do conseqüente. Nesse sentido as condicionais

Se Dante escreveu Os Sertões então Cabral descobriu o Brasil Se Dante escreveu Dom Casmurro então Vasco da Gama descobriu o Brasil

são ambas verdadeiras, pois em ambas o antecedente é falso.

A tabela que indica o resultado da operação de condicionamento é apresentada abaixo.

p q (^) p →→→→ q V V V V F F F V V F F V

O conectivo “se ... então” tem vários sinônimos; se representarmos por p a frase “a chuva continuar a cair”, e por q a frase “o rio vai transbordar”, então p → q pode representar qualquer das expressões abaixo:

“Se a chuva continuar a cair, então o rio vai transbordar” “Se a chuva continuar a cair, o rio vai transbordar” “O rio vai transbordar, se a chuva continuar a cair”

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“O fato de a chuva continuar a cair implica em o rio transbordar” “A chuva continuar a cair é condição suficiente para o rio transbordar”.

Bicondicionamento

Finalmente, considere a proposição

João será aprovado se e somente se ele estudar.

Nesse caso, temos duas proposições “João será aprovado” e “ele estudar”, ligadas pelo conectivo “se e somente se”. Em Lógica Simbólica, essa operação é chamada de “bicondicionamento”, e seu conectivo é representado pelo símbolo ↔.

Então, se p e q são proposições, a expressão p ↔ q é chamada bicondicional de p e q. Dizemos que a bicondicional é verdadeira quando ambos os termos são verdadeiros ou ambos são falsos; quando um é falso e outro é verdadeiro, a bicondicional é falsa.

Na a expressão citada, o conectivo “se e somente se” indica que se João estudar será aprovado, e que essa é a única possibilidade de João ser aprovado, isto é, se João não estudar, não será aprovado. Os dois acontecimentos serão ambos verdadeiros ou ambos falsos, não existindo possibilidade de uma terceira opção.

A tabela do bicondicionamento é apresentada abaixo.

p q (^) p ↔↔↔↔ q V V V V F F F V F F F V

Alem do “se e somente se”, a operação bicondicional é indicada por termos como “unicamente se”, “exceto se” e outras análogas; por exemplo, as expressões

“João será aprovado se e somente se estudar” “João será aprovado unicamente se estudar” “João não será aprovado, exceto se estudar” “João estudar é condição necessária e suficiente para ser aprovado”

todas podem ser representadas por p ↔ q, onde p representa “João será aprovado” e q representa “João estudar”.

3. Ordem de precedência das operações. Fórmulas.

Com o auxílio dos conectivos podemos construir proposições compostas mais elaboradas. Por exemplo, considere a seguinte proposição:

Se o deficit persistir e a arrecadação não aumentar, então ou aumentamos os impostos ou haverá inflação

Com a representação:

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Passo 3. Percorra outra vez a expressão, da esquerda para a direita, executando desta vez as operações de condicionamento, na ordem em que aparecerem. Passo 4. Percorra uma última vez a expressão, da esquerda para a direita, executando as operações de bicondicionamento, na ordem em que aparecerem.

Dessa forma, as operações da expressão p ∧ ¬ q → r ∨ s serão executadas na seguinte ordem:

p ∧ ¬ q → r ∨ s 2 1 4 3

Um caso especial é a utilização de negações consecutivas; por exemplo, a proposição “é falso que eu não tenha saído” pode ser simbolizada por ¬^ ¬^ p (onde p representa “eu tenha saído”); nesse caso, a segunda negação deve ser executada antes.

Para simplificar a determinação do valor lógico de uma expressão proposicional, podemos construir uma pequena tabela, na qual dispomos em colunas os valores lógicos das proposições componentes, e, a seguir, os valores lógicos das operações, na ordem de precedência. Por exemplo, determinar o valor lógico da expressão acima, na qual p e r são falsas, e q e s verdadeiras:

p q r s (^) ¬¬¬¬ q p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬ q r ∨∨∨∨ s p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬ q →→→→ r (^) ∨∨∨∨ s F V F V F F V V

Para que a construção da tabela fique unicamente determinada, podemos convencionar que as proposições componentes fiquem dispostas em ordem alfabética.

Quando for necessário modificar a ordem de precedência, podemos utilizar parênteses. Assim, no exemplo dado, a expressão p ∧ q → r significa “se Mário foi ao cinema e João foi ao teatro, então Marcelo ficou em casa”, e a expressão p ∧ (q → r) significa “Mário foi ao cinema, e, se João foi ao teatro, então Marcelo ficou em casa”.

A utilização dos conectivos ∧ e ∨ pode causar ambigüidade até mesmo em linguagem natural; por exemplo a expressão

Mário foi ao cinema e Marcelo ficou em casa ou Maria foi à praia

representada por p ∧ q ∨ s, não deixa claro seu significado; tanto pode significar “Mário foi ao cinema e Marcelo ficou em casa, ou então Maria foi à praia”, representada por (p ∧ q) ∨ s, como pode significar “Mário foi ao cinema e ou Marcelo ficou em casa ou Maria foi à praia”, representada por p ∧ (q ∨ s), que são claramente afirmações distintas.

Segundo a ordem de precedência da Lógica, a expressão dada corresponde à primeira forma apresentada, mas, para evitar qualquer mal-entendido, aconselhamos a utilizar parênteses, nesses casos.

Utilizando parênteses e conectivos, as expressões simbólicas podem assumir aspectos ainda mais complexos, como, por exemplo,

(p ↔ q ∨ (¬ r → s)) ∧ ¬ t

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Para determinar o ordem de execução das operações no caso em que a expressão possui parênteses, podemos utilizar o algoritmo abaixo:

Algoritmo Ordem de Precedência com Parênteses

Passo 1. Percorra a expressão até encontrar o primeiro “)”. Passo 2. Volte até encontrar o “(” correspondente, delimitando assim um trecho da expressão sem parênteses. Passo 3. Execute o Algoritmo Ordem de Precedência sobre a expressão delimitada. Passo 4. Elimine o par de parênteses encontrado. Passo 5. Volte ao Passo 1.

De acordo com esse algoritmo, as operações da expressão anterior seriam executadas na ordem:

(p ↔ q ∨ (¬ r → s)) ∧ ¬ t 4 3 1 2 6 5

Como vimos, uma proposição composta é portanto formada por conexões de proposições simples. Ou seja, uma proposição composta é uma cadeia constituída pelos símbolos p, q, r, etc, (representando proposições simples), símbolos de conectivos e parênteses. No entanto, nem toda cadeia desses símbolos representa uma proposição composta; por exemplo, a cadeia

AB ↔ )∧∧∨( C →

não tem nenhum significado em Lógica. Temos então o problema de reconhecer quando uma cadeia desses símbolos representa realmente uma proposição composta. As proposições são também conhecidas por “fórmulas bem formadas” (ou, simplesmente, “fórmulas”) e possuem uma lei de formação, enunciada abaixo:

1. Proposições simples são fórmulas.
2. Se p e q são fórmulas, então são também fórmulas: (p), p ∧ q, p ∨ q, ¬ p, p → q, p ↔ q
3. Nada mais é fórmula

Tanto as proposições simples como as compostas são chamadas expressões proposicionais. No que se segue, por uma questão de simplicidade, utilizaremos o termo proposição para indicar uma expressão proposicional, ou seja, tanto proposições simples como compostas.

4. Construção de Tabelas Verdade.

Vimos que, dada uma expressão proposicional, e dados os valores lógicos das proposições simples que a compõe, podemos, com a ordem de precedência, calcular o valor lógico da expressão dada; no entanto, estaremos interessados, muitas vezes, no conjunto de valores lógicos que a expressão pode assumir, para quaisquer valores lógicos das proposições componentes.

Vejamos um exemplo. Considere a expressão proposicional

p ∨ q → p ∧ q

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(p → q) ∨ ¬ ((p ↔ r) → ¬ r) 1 6 5 2 4 3

A Tabela Verdade assume o aspecto:

p q r (^) p →→→→ q p ↔↔↔↔ r ¬¬¬¬ r (p ↔↔↔↔ r) →→¬→→¬¬¬ r ¬¬¬¬ ((p ↔↔↔↔ r) →→→→¬¬¬¬ r) (p →→→→ q) ∨∨∨∨¬¬¬¬ ((p ↔↔↔↔ r) →→→→ ¬¬¬¬ r) V V V V V F F V V V V F V F V V F V V F V F V F F V V V F F F F V V F F F V V V F F V F V F V F V V V V F V F F V V F F V F V F F F V V V V F V

A atribuição de valores lógicos aos componentes simples de uma proposição composta é chamada uma interpretação dessa proposição. Assim, uma proposição com n componentes simples distintos admitirá 2 n^ interpretações.

5. Equivalência Lógica.

De acordo com os valores lógicos que as proposições compostas assumem, em suas possíveis interpretações, elas podem ser classificadas em vários tipos:

• se a expressão assume sempre o valor V, em qualquer interpretação, é chamada uma tautologia, ou uma expressão válida; são exemplos de tautologias:

p ∨ ¬ p ¬ (p ∧ ¬ p)

• se a expressão assume o valor V em alguma interpretação, é dita satisfatível, ou consistente; evidentemente, as tautologias são exemplos de expressões satisfatíveis; outros exemplos são:

p → ¬ p (assume V quando p é falso) p ∨^ q (assume V quando p ou q for verdadeiro)

• se a expressão assume sempre o valor F, em qualquer interpretação, é chamada uma contradição, ou uma expressão insatisfatível, ou inconsistente. São exemplos de contradições:

p ∧ ¬ p ¬ (p ∨ ¬ p)

• se a expressão assume o valor F em alguma interpretação, é chamada uma expressão inválida; claramente, as contradições são, também, expressões inválidas; outras expressões inválidas são:

p ∧ q (assume F quando p for falso) ¬ p (assume F quando p for verdadeiro)

Alguns autores atribuem o nome genérico de contingências, ou expressões contingentes, às expressões satisfatíveis e inválidas.

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Uma expressão proposicional da forma bicondicional p ↔ q que é, também, uma tautologia, é chamada uma equivalência (ou equivalência lógica). As proposições p e q são ditas equivalentes, e escrevemos p ⇔ q.

Por exemplo, a expressão p → q ↔ ¬ q → ¬ p é uma equivalência. Veja sua Tabela Verdade:

p q (^) p →→→→ q ¬¬¬¬ q ¬¬¬¬ p ¬¬¬¬ q →→→→ ¬¬¬¬ p (p →→→→ q) ↔↔↔↔ ¬¬¬¬ q →→→→ ¬¬¬¬ p V V V F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V

Escrevemos, então, p → q ⇔ ¬ q → ¬ p

Decorre imediatamente da definição que, se duas proposições são equivalentes, então possuem a mesma Tabela Verdade, e, reciprocamente, se duas proposições têm a mesma Tabela Verdade, são equivalentes. De fato, uma bicondicional é V se e somente se seus componentes têm os mesmos valores lógicos; como a expressão também é uma tautologia, é V em todos os casos; isto é, seus componentes têm o mesmo valor lógico em todos os casos, ou seja, têm a mesma Tabela Verdade.

Decorre ainda da definição que todas as tautologias, bem como todas as contradições, são equivalentes entre si.

Podemos mostrar também que a relação de equivalência possui as propriedades:

Reflexiva: p ⇔ p Simétrica: Se p⇔ q então q ⇔ p Transitiva: Se p⇔ q e q ⇔ r então p ⇔ r

Listamos abaixo algumas das equivalência mais importantes (e úteis) da Lógica; cada uma delas pode ser provada, simplesmente mostrando que a bicondicional correspondente é uma tautologia, bastando, para isso, construir sua Tabela Verdade.

Em termos textuais, duas proposições são equivalentes quando traduzem a mesma idéia, diferindo apenas a forma de apresentar essa idéia. Apresentamos abaixo algumas das principais eqüivalências da Lógica, exemplificando textualmente algumas:

Leis da Comutatividade p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨^ q ⇔^ q ∨^ p

Exemplo: “Fui ao teatro ou ao cinema” eqüivale a “Fui ao cinema ou ao teatro”

Leis da Associatividade (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Leis da Distributividade p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)