Mapa Quadrático: Períodicos Attractores e Bifurcação de Sela, Notas de estudo de Matemática

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Mapa Quadr´atico

Alisson C. Pereira

Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica-IME

Defini¸c˜oes e resultados iniciais

Considere o mapa quadr´atico f (λ, x) = λx(1 − x), definido no conjunto R, com λ > 0. As defini¸c˜oes e resultados abaixo podem ser generalizadas para qualquer fun¸c˜ao infinitamente deriv´avel, entretanto iremos restringir as defini¸c˜oes e os resultados apenas para as fun¸c˜oes que pertencem a fam´ılia do mapa quadr´atico. Defini¸c˜ao: (^1) x ´e ponto fixo de f , se f (x) = x (^2) x ´e ponto peri´odico de f, se existe n tal que f n(x) = x. (^3) x ´e um ponto eventualmente peri´odico se existe k tal que f k^ (x) = f k+l^ (x), para todo l≥ 1. Um ponto p peri´odico ´e hiperb´olico se | (f n)′(p) |6= 1.

Defini¸c˜oes e resultados iniciais

a ´orbita de um ponto x ´e definida como o conjunto Of (x) = {x, f (x), f 2 (x), ..., f n(x), ...}. Proposi¸c˜ao Seja p um ponto peri´odico hiperb´olico de per´ıodo n, no mapa quadr´atico, e suponhamos que | (f n)′(p) |< 1. Ent˜ao existe um intervalo aberto I tal que para todo x ∈ I tem-se

nlim→∞ f^ n(x) =^ p Os pontos peri´odicos que satisfazem `as condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao acima s˜ao chamados de pontos peri´odicos atratores. Dizemos que os pontos peri´odicos s˜ao repulsores, se | (f n)′(p) |> 1.

Mapa Quadr´atico

Estamos interessados em estudar a dinˆamica do mapa quadr´atico, em outras palavras queremos responder a seguinte quest˜ao:

J´a vimos que 0 ´e ponto fixo, mas al´em disso podemos ver tamb´em que (f )′(0) = λ − 2 λ = λ, logo para 0 < λ < 1, implica que 0 ´e ponto hiperb´olico. Como podemos observar na imagem abaixo:

J´a vimos que 0 ´e ponto fixo, mas al´em disso podemos ver tamb´em que (f )′(0) = λ − 2 λ = λ, logo para 0 < λ < 1, implica que 0 ´e ponto hiperb´olico. Como podemos observar na imagem abaixo:

Para λ = 1, o ponto 0 ainda ´e atrator, entretanto deixa de ser hiperb´olico.

Surge a primeira bifurca¸c˜ao!

O que de fato ocorre, como podemos ver no gr´afico abaixo

Al´em do surgimento de um outro ponto fixo, ocorre outra mudan¸ca na dinˆamica do mapa, o ponto 0 se torna ponto fixo repulsor, enquanto que o novo ponto fixo ´e atrator. Esta mudan¸ca na estrutura dos pontos peri´odicos de um sistema dinˆamica ´e conhecida como Bifurca¸c˜ao,

Bifurca¸c˜ao de Sela n´o

O Teorema abaixo garante a existˆencia do novo ponto fixo no mapa quadr´atico: Bifurca¸c˜ao de Sela n´o Suponha que 1 fλ 0 (0) = 0 2 f (^) λ′ 0 (0) = 1 3 f (^) λ′′ 0 (0) 6 = 0 4 ∂ ∂λfλ |λ=λ 0 (0) 6 = 0 Ent˜ao existe um intervalo J que cont´em 0, e uma fun¸c˜ao suave p : J → R, tal que p(0) = λ 0 e fp(x)(x) = x.

Duplica¸c˜ao de Per´ıodo

Agora obtemos 2 novos pontos peri´odicos de per´ıodo 2, que s˜ao atratores, e os pontos fixos que j´a existiam, s˜ao agora repulsores. Graficamente podemos ver o comportamento do mapa quadr´atico quando aumentamos o parˆametro λ. Surgem novos pontos peri´odicos que cujos os per´ıodos s˜ao o dobro dos per´ıodos pontos que foram obtidos na ´ultima etapa.

Caos

Caos

Defini¸c˜ao Sejam X um conjunto. f : X → X ´e ca´otica em X se: 1 f ´e topologicamente transitiva 2 f possui dependˆencia sens´ıvel `as condi¸cˆoes iniciais 3 o conjunto dos pontos peri´odicos de f ´e denso em X

Um sistema dinˆamico topologicamente transitivo possui pelo menos um ponto cujo a ´orbita ´e densa, ou equivalentemente:

Caos

Proposi¸c˜ao Uma aplica¸c˜ao f : X → X ´e topologicamente transitiva se, e somente se, para todo par de abertos n˜ao-vazios U, V ⊂ X , existe k ∈ N tal que f k^ (U) ∩ V 6 = ∅

Conjuga¸c˜ao Topol´ogica

Iremos definir agora uma rela¸c˜ao de equivalˆencia entre sistemas dinˆamicos, que ser´a muito ´util para mostrar que de fato o mapa quadr´atico ´e ca´otico no parˆametro 4.

Conjuga¸c˜ao Topol´ogica

Iremos definir agora uma rela¸c˜ao de equivalˆencia entre sistemas dinˆamicos, que ser´a muito ´util para mostrar que de fato o mapa quadr´atico ´e ca´otico no parˆametro 4. Defini¸c˜ao Sejam as aplica¸c˜oes f : X → Y e g : Y → Y , dizemos que f e g s˜ao topologicamente conjugadas se existe um homeomorfismo h : X → Y tal que h ◦ f = g ◦ h.