Maquinas Elétricas Sebenta, Resumos de Máquinas Elétricas

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José Dores Costa

ENIDH

Apontamentos

de

Máquinas Eléctrica

José Dores Costa

José Dores Costa

Nota aos leitores

Estes apontamentos destinam-se a apoiar o estudo das disciplinas de Máquinas Eléctricas e

Accionamentos dos cursos de Engenharia de Sistemas Electrónicos Marítimos e de

Engenharia de Máquinas Marítimas. As matérias são expostas com a preocupação de serem

uma primeira abordagem ao estudo das máquinas eléctricas e dos seus accionamentos, com

natural ênfase no estudo dos circuitos eléctricos e magnéticos que caracterizam as máquinas

eléctricas, e os circuitos electrónicos dos sistemas que as controlam.

Estes apontamentos são uma colectânea organizada de diversas notas redigidas em tempos

diferentes para apoio das aulas, especialmente sobre máquinas eléctricas. Estes apontamentos

não são estanques e, sobre muitas matérias, não prescindem o estudo da bibliografia

recomendada. No fim de cada capítulo e no final destas folhas, apresenta-se uma lista

bibliográfica sobre a matéria aqui apresentada. A leitura de alguns desses livros é muito

recomendada para o estudo aprofundado das matérias expostas.

De qualquer forma, os apontamentos foram feitos para os alunos com o intuito de servirem

como orientação do estudo, tendo em conta a exposição e a sequência que adopto para estas

matérias. Espero que deles possam tirar o melhor proveito.

José Dores Costa

Fevereiro de 2011

José Dores Costa

José Dores Costa

Fig.8.7: Sequencia da transformação dos eixos ( a , b , c ) para os eixos ( d , q ). ...................... 145 Fig.8.8: Circuito RL equivalente a uma bobina. ................................................................... 147

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L Liissttaa ddaass TTaabbeellaass

Tabela 2.1: Unidades no SI..................................................................................................... 27

L Liissttaa ddee AAbbrreevviiaattuurraass

CA Corrente Alterna

CC Corrente Contínua

fem Força electromotriz

fmm Força magnetomotriz

pu Por Unidade rpm rotações por minuto rps rotações por segundo

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contínua. O capítulo 9, dirá respeito aos circuitos electrónicos que são utilizados nos accionamentos das máquinas eléctricas rotativas.

No texto, por norma utiliza-se o sistema internacional de unidades (SI). Este sistema tem três unidades mecânicas fundamentais: o metro (m), o quilograma-massa (kg) e o segundo (s). A unidade de força é o newton (N), a unidade de energia é o joule (J) e a de potência é o watt (W). A unidade fundamental da carga eléctrica é o coulomb (C) e a da corrente eléctrica é o ampére (A). O sistema SI é ainda racionalizado: em muitas equações verifica-se a existência do factor 4π quando se consideram geometrias cilíndricas ou esféricas. Para simplificar os cálculos em muitas equações é introduzido o factor 1 4 π.

1.2 Nota histórica

A relação entre magnetismo e electricidade foi descoberta em 1819 por Oersted (Hans Christian Oersted, 1775-1836). Este cientista dinamarquês descobriu que a corrente eléctrica (cargas eléctricas em movimento ) que percorre um condutor cria um campo magnético nas proximidades desse condutor. O fenómeno foi quantificado posteriormente por Ampére (André Ampére, 1775-1836), que também sugeriu que o magnetismo natural (na magnetite), fosse devido a correntes eléctricas microscópicas nesse mineral. Em 1820 Faraday (Michael Faraday, 1791-1867) quantificou a interacção entre a corrente eléctrica e o campo magnético dando origem à lei que tem o seu nome. Ampére e Henry (Joseph Henry, 1797-1878) demonstraram, independentemente um do outro, que se podia produzir uma corrente eléctrica pelo movimento relativo entre um campo magnético e um circuito eléctrico próximos. Em resultado disto, estavam criadas as bases teóricas para a produção de energia eléctrica em larga escala.

Conhecedor dos trabalhos de Faraday e de Ampére, Maxwell apresentou em 1873 uma teoria integrada sobre o campo electromagnético. O seu formalismo, consubstanciado nas conhecidas equações de Maxwell , constitui a teoria base do electromagnetismo. Trata-se de um trabalho que, fazendo a cúpula sobre os trabalhos anteriores de outros cientistas, permitiu o desenvolvimento de novas áreas, por exemplo, a propagação das ondas electromagnéticas (telecomunicações e óptica) e das máquinas eléctricas, e que mostrou estar conforme a teoria da relatividade apresentada por Einstein em 1905.

O electromagnetismo tem importantes implicações no modo de vida e no desenvolvimento tecnológico actuais. Refira-se, por exemplo, a produção e a distribuição de energia eléctrica, iniciadas nos finais do século XIX, que proporcionaram a energia necessária para a actividade industrial e o bem-estar das populações. Nesta área, destacam-se os trabalhos de Thomas Edison (1847-1931) e de Nikola Tesla (1856-1943). Finalmente, refira-se também a descoberta do transistor em 1948 por Jonh Bardeen, Walter Brattain e William Schokley, pela qual receberam o prémio Nobel em 1956.

Desde os salões do iluminismo até à descoberta do transistor, foi dado um grande passo para a humanidade. Estas descobertas no campo do electromagnetismo estão na base da revolução criada pelas máquinas eléctricas e pela produção, conversão e distribuição da energia eléctrica que estão na base da sociedade industrial em que vivemos.

Mesmo sem notarmos, as máquinas eléctricas fazem parte do mundo industrializado em que vivemos. Elas são utilizadas nos electrodomésticos, nos transportes públicos, nos elevadores

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e escadas rolantes, em sistemas de bombagem, na produção e distribuição de energia eléctrica, tanto por meios convencionais que usam combustíveis fósseis como nos sistemas que usam as energias renováveis. E são também utilizadas nos automóveis, meios de transporte e na propulsão de navios.

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A força de Lorentz não é indicada para descrever a acção dum campo magnético sobre cargas eléctricas num meio condutor metálico. Porque cargas eléctricas em movimento dão origem a correntes eléctricas, é preferível considerar nesse caso o efeito do campo magnético sobre um condutor eléctrico percorrido por uma corrente de intensidade I. Considerando que a corrente eléctrica é igual à derivada da carga em ordem ao tempo,

t

q i d

d

(2.3)

e introduzindo (2.3) em (2.1), conclui-se que a força elementar que actua um condutor elementar de comprimento dl percorrido por uma corrente de intensidade I é dada por

dF ( dl B )

r = I × (2.4)

Para um condutor rectilíneo de comprimento L , o integral de (2.4) conduz a

F ( L B )

r r = I × (2.5)

Sendo α o menor ângulo formado pelas direcções de L

r I e de B

r , a intensidade da força (2.5) é

F = IBLsen α (2.6)

As equações (2.4) e (2.5) descrevem a força que actua um condutor percorrido por uma corrente quando submetido a um campo magnético exterior; esta força, que é frequentemente designada por força de Laplace, é perpendicular ao condutor e depende das intensidades do campo e da corrente, Fig. 2.2.

Fig. 2.2: Força que actua sobre um condutor percorrido pela corrente I.

As equações (2.1) e (2.5) relacionam a acção mecânica produzida pelo campo de indução magnética sobre um condutor percorrido por uma corrente eléctrica; traduzem afinal uma conversão entre as energias electromagnética e mecânica. Do estudo da Física sabe-se que o

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fenómeno é reversível: se, por acção duma força, um condutor se mover no seio dum campo magnético, o movimento origina uma força electromotriz ε (e uma diferença de potencial u ) aos terminais desse condutor; e se o condutor fizer parte dum circuito eléctrico fechado, a diferença de potencial provocará a existência duma corrente eléctrica nesse circuito, Fig. 2.3.

Fig. 2.3: Diferença de potencial induzida pelo movimento.

Representando por ε a força electromotriz (fem) induzida pelo movimento (com velocidade v

r ), e por Φ o fluxo do campo magnético, é

u t

φ ε = − d

d (2.7)

A equação (2.7) é designada por lei geral da indução (lei de Faraday). Sendo B

r uniforme, a variação de fluxo é proporcional à área varrida , A :

t

A

B

t d

d d

d =− φ ε = − (2.8)

Considerando a velocidade constante, d A = L d x = Lv d t ; substituindo em (2.8), obtém-se

ε =− BL v (2.9)

As figuras 2.2 e 2.3 e as equações (2.6) e (2.9) relacionam acções electromagnéticas e mecânicas que se verificam em condutores eléctricos no seio de campos magnéticos.

O campo de excitação magnética, ou simplesmente campo H

r , é um campo derivado que

traduz a modificação do campo B

r provocada pelo estado magnético do meio material. A relação entre os dois campos é dada por

M

B

H

v

r r − μ

0

onde μ 0 é a permeabilidade magnética do vazio e M

v é o vector de magnetização que

descreve o estado magnético do material. No SI, μ 0 = 4 π ⋅ 10 −^7 Hm−^1 , o campo H

r é

medido em ampere/metro (Am-1) e o campo B

r é medido em tesla (T).

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Fig. 2.4: Curva de magnetização.

A área definida pelo ciclo de histerese, Fig. 2.5, é proporcional à energia convertida irreversivelmente em calor durante o processo de magnetização do material, por variação continuada de H, por exemplo , desde – H 2 a + H 2 , com retorno a – H 2. A energia perdida por aquecimento designa-se por perdas por histerese e será referida mais adiante.

Fig. 2.5: Ciclo de histerese.

Considere-se o circuito magnético da Fig. 2.6 constituído por um toro de material ferromagnético com secção circular S , em torno do qual se enrolam n espiras de fio de cobre isolado. A bobina constituída deste modo é percorrida pela corrente I dando origem ao

campo magnético B

r no toro, cuja linha de força média tem raio r.

Com i ≠ 0 , existirá no toro o fluxo φ e o fluxo total associado à bobina de n espiras é

ψ = n φ (2.13)

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Se a resistência das n espiras do fio de cobre for R , a equação que rege o circuito da Fig. (2.6) é

t

E Ri d

dψ = + (2.14)

Fig. 2.6: Circuito magnético toroidal.

Como condições iniciais de (2.14), considera-se que no instante inicial quando o circuito é ligado, t = 0 , se tem i ( 0 )= 0 e ψ( 0 )= 0. O fluxo Ψ crescerá com o aumento da corrente,

sendo o crescimento proporcional à corrente quando o meio é linear,

Multiplicando ambos os membros de (2.14) por i d , resulta t

E i d t = Ri^2 d t + i d ψ (2.15)

O primeiro membro de (2.15) representa a energia cedida pela fonte de fem E durante o

intervalo de tempo d t ; Ri^2 d^ t representa a energia dissipada na bobina por efeito de Joule no mesmo tempo; i dψ representa a energia utilizada para criar o campo magnético B. Com

d Wm = i d ψ, a energia total do campo magnético no toro quando Ψ varia de 0 a Ψmax é

∫

ψ = ψ

max

0

Wm i d (2.16)

Considerando que o campo no toro é constante, aplicando (2.22a) ao circuito da Fig. 2.6, obtém-se

S B S

S

φ =∫ =

→→ B. d (2.17)

Se não existir saturação, (2.13) traduz uma relação linear, μ é constante e B = μ H ; o fluxo total associado à bobina é

ψ = n φ= nB S (2.18)

Recorde-se a lei de Ampére, ou lei da corrente total:

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limitada pelo ciclo de histerese na Fig. 2.5 é proporcional às perdas por histerese durante um ciclo de magnetização.

Os materiais ferromagnéticos duros têm ciclos de histerese com áreas grandes e dão origem a maiores perdas por histerese, não sendo adequados para a construção de máquinas eléctricas, em geral.

Chama-se força magnetomotriz (fmm) à circulação do vector H ao longo dum caminho fechado, l , como se apresenta em (2.19):

H l n I l

= (^) ∫ =

→→ fmm. d (2.23)

Para o circuito da Fig. 2.6, desprezando a saturação, subtituindo (2.17) em (2.20) obtém-se

n I S

l

μ

φ (2.24)

A fracção de (2.24) é a relutancia magnética do toro ( Rm ). A equação (2.24) traduz a lei de Ampére escrita em função do fluxo e é frequentemente designada por lei de Hopkinson.

φ Rm = n I , com S

l Rm μ

A relutância magnética depende da geometria e da constituição do material e, no caso geral, depende do fluxo do campo magnético. A relutância magnética traduz a maior ou menor facilidade com que um dado material pode ser atravessado por linhas de força do campo magnético. Frequentemente, os circuitos magnéticos são caracterizados pelo inverso da relutância magnética a que se chama permeância.

Multiplicando ambos os membros de (2.25) pelo número de espiras n , e rearranjando, obtém- se:

I

R

n n m

2 ψ = φ = (2.26)

De acordo com (2.26), em meios lineares, o fluxo total associado à bobina é proporcional à intensidade da corrente eléctrica; a constante de proporcionalidade chama-se coeficiente de indução da bobina, L :

R m

n L

2 = (2.27)

ψ = L I (2.28)

No caso geral, a relação Ψ( i ) não é linear, e L depende da corrente. A relação Ψ( i ) é ainda dada pela curva da Fig. 2.4 introduzindo as adequadas mudanças nas escalas dos eixos. Por

exemplo, para o toro da Fig. 2.6 seria ψ = nSB e H n

l I =.

Em meios lineares, L é constante e substituindo (2.28) em (2.16), resulta que a energia magnética criada por uma bobina percorrida pela corrente eléctrica com intensidade I é dada por

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2 2

Wm = LI (2.29)

Tendo em conta (2.7) a fem induzida pela variação do fluxo do campo magnético numa bobina de n espiras é

t t

n d

d d

d ψ = − φ ε = − (2.30)

Substituindo (2.28) em (2.30), obtém-se:

t

i L d

d ε = − (2.31)

De acordo com (2.31), a fem induzida é proporcional à taxa de variação da corrente no tempo, e será nula se a corrente for constante. Substituindo (2.28) em (2.15), resulta:

E i d t = Ri^2 d^ t + Li d i (2.32)

A potência posta en jogo pelo gerador da Fig. 2.6 é então

t

i p Ei Ri Li d

2 d = = + (2.33)

O segundo membro de (2.33) é a soma da potência de perdas na bobina por efeito de Joule com a potência associada à criação do campo magnético no toro. Quando i é constante, a potência do gerador equilibra apenas as perdas por efeito de Joule no condutor da bobina, sendo a energia magnética constante.

Para reforçar o campo magnético, as bobinas são enroladas sobre nucleos de baixa relutância magnética. Os materiais usualmente utilizados são também condutores e estão no seio de campos magnéticos variáveis. Por esse facto, são induzidas correntes parasitas ( eddy currents ), designadas por correntes de Foucault, que têm três efeitos: (1) aquecem o material por efeito de Joule; (2) dão origem a campos magnéticos que se opõem ao campo exterior enfraquecendo-o; (3) dão origem a forças electromagnéticas. As correntes de Foucault provocam perdas que se procuram reduzir com a utilização de núcleos com resistência eléctrica elevada.

A soma das perdas por hiterese e às devidas às correntes de Foucault constitui aquilo que se designa por perdas no ferro e estão presentes em todas as máquinas eléctricas.

2.2 Acoplamento magnético

Os circuitos eléctricos têm acoplamento magnético quando partilham o mesmo campo magnético. Na Fig. 2.8 representam-se dois condutores (1 e 2) percorridos pelas correntes i 1 e i 2 , respectivamente. Considera-se que os condutores estão perto um do outro, de tal forma que as correntes criam em torno do seu condutor um campo magnético cujo fluxo, parcialmente, atravessa também o outro condutor.