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Documento contém provas substitutivas de questões resolvidas relacionadas a calúlo diferencial e integral, incluindo determinação de derivadas parciais, pontos críticos, temperaturas máxima e mínima e continuidade de funções. Alguns problemas exigem aplicação do critério da segunda derivada.
Tipologia: Provas
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MAT 2454 - C´alculo II - POLI Prova Substitutiva - 13.12.
Nome : NoUSP : Professor: Turma: Assinatura :
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Quest˜ao 1: (2.0) Sabe-se que a curva γ(t) = (t^2 + 1, t^3 + t^2 + t) ´e uma curva de n´ıvel da fun¸c˜ao f : IR^2 → IR de classe C^2 , com f (γ(t)) = 2 ∀t ∈ IR. Determine todos os pontos (x 0 , y 0 ) ∈ Imγ tais que o plano tangente ao gr´afico de f em (x 0 , y 0 , 2) seja paralelo ao plano x + y − z = 0
Quest˜ao 2: (2.0) A temperatura no ponto (x, y, z) ´e dada (em oC) pela fun¸c˜ao T (x, y, z) = 10 x^2 yz. Determine as temperaturas m´axima e m´ınima no conjunto {(x, y, z) ∈ IR^3 /x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4 }.
Quest˜ao 4: (2.5) Seja f (x, y) =
x^3 + y^3 x^2 + y^2
se (x, y) 6 = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
a) (0.5) Determine os pontos de continuidade de f. Justifique. b) Para cada ~u = (a, b) com a^2 + b^2 = 1, determine a derivada direcional
D~uf (0, 0)
c) A fun¸c˜ao f ´e diferenci´avel em (0, 0)? Justifique.
