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Centro Federal de Educação Tecnológica
Departamento Acadêmico da Construção Civil
Curso Técnico de Geomensura
Disciplina: Matemática Aplicada
MATEMÁTICA APLICADA
1. SISTEMA ANGULAR INTERNACIONAL..........................................................................
2. TRIGONOMETRIA................................................................................................................
3. GEOMETRIA ANALÍTICA...................................................................................................
4. GEOMETRIA PLANA .........................................................................................................
5. GEOMETRIA ESPACIAL ...................................................................................................
1. SISTEMA ANGULAR INTERNACIONAL
Radiano
É o arco cujo comprimento é igual a medida do raio da circunferência que o contêm. A abreviação é Rad.
Grau
Dividindo uma circunferência em 360° partes iguais, cada uma dessas partes é um arco de 1°
Conversões de Ângulo
Sistema decimal = os decimais vão até 100 Sistema Sexagesimal = os decimais vão até 60;
Tipos de Ângulos
Transformação centesimal em sexagesimal e vice-versa.
36,077778° centesimal = 36°04’40” sexagesimal
- Converter os ângulos do sistema sexagesimal para o sistema centesimal: a) 45°22’12” = b) 51°04’59” = c) 98°56’58” = d) 77°44’32” = e) 8°59”59” =
Teorema de Pitágoras
No teorema de Pitágoras “o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
a² = 3² + 4²
a² = 9 + 16
a² = 25
a = 5 u.m.
Medidas Trigonométricas
Considerando XOY um sistema de coordenadas plano ortogonal, desenhando uma circunferência com o centro na origem do sistema O e com raio 1, temos:
Relações Trigonométricas do Triangulo Retângulo
Exercícios
Dado o triângulo retângulo, calcular sen B, cos B e tg B.
Calcule x e y no triângulo da figura.
Uma torre vertical de altura 12,00 m é vista sob um ângulo de 30º por uma pessoa que se encontra a uma distância x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Determinar a distância x.
Num exercício de tiro, o alvo se encontra numa parede cuja base está situada a 82,00 m do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um ângulo de 12º em relação a horizontal, calcule a que distância do chão está o alvo.
Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2,00 km do ponto de partida.
Lei dos Cossenos
Este princípio é aplicado quando se conhece de um triângulo qualquer, dois lados e o ângulo por eles formado.
“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos
quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos
dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”.
Fórmulas: a^2 = b^2 + c^2 - 2. b. c. cos A
b^2 = a^2 + c^2 - 2. a. c. cos B
c^2 = a^2 + b^2 - 2. a. b. cos C
Cálculos de ângulos:
Para um triângulo com dois lados iguais:
Fórmula: Â = 2.Arc Sen
R
C
Exercícios:
- Determinar os lados de um terreno de vértices inacessíveis, segundo o croqui abaixo:
Calcular a distância: B-C
Calcular a distância: A-2 e B-
Dado o triângulo abaixo, calcular os valores dos ângulos:
Determine a distância entre os extremos da lagoa (lado AC), conforme os dados da figura abaixo:
Eixos Coordenados
Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (ou eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (ou eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma geral P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.
Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico. O sistema de Coordenadas Ortogonais também é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas. Este sistema possui quatro (4) regiões denominadas quadrantes.
Exercício:
1 – Represente, no plano cartesiano ortogonal, os seguintes pontos e identifique em qual quadrante se encontram: a) A (-1,4) b) B (3,3) c) C (2, -5)
d) M (-2,-2) e) P (4,1) f) Q (2,-3)
g) D (-2,0) h) H (0,1) i) K (5,0)
Distância entre dois pontos no plano cartesiano
A distância entre os pontos A e B é a medida do segmento d. Como o triângulo destacado é retângulo e d é sua hipotenusa, aplicasse o teorema de Pitágoras.
Exercícios:
Calcule, em cada caso, a distância entre os dois pontos dados: a) (1, 3) e (9, 9) b) (-3, 1) e (5, -14) c) (-4, -2) e (0, 7) d) (54, 85) e (75, 21) e) (125, 541) e (12, 792) f) (-521, 854) e (-294, 653)
Calcule a distância do ponto M (-12, 9) à sua origem.
Calcule o perímetro do triângulo ABC, sabendo que A (1, 3), B (7, 3) e C (7, 11).
Ponto médio de um segmento
Dados os pontos A=(xa,ya) e B=(xb,yb), pode-se obter o Ponto Médio M=(xm,ym) que está localizado entre A e B, através do uso da média aritmética por duas vezes, uma para as abscissas e outra para as ordenadas.
Exercícios:
Desenhe o triângulo ABC no plano abaixo, sabendo que A (1, 3), B (7, 4) e C (6, 11), e calcule a sua área.
Com base nas coordenadas cartesianas dos vértices de um terreno conforme croqui abaixo, calcule a sua área.
- Com base na coordenadas x,y listadas a seguir, localize no plano os vértices da poligonal, calcule a distância entre eles, as coordenadas dos pontos médios de cada segmento e a área da poligonal.
V=vértice (coordenada x, coordenada y)
V-1 (15,25)
V-2 (105,15)
V-3 (120, 60)
V-4 (90,80)
V-5 (100, 100)
V-6 (75, 110)
V-7 (60, 90)
V-8 (40, 95)
V-9 (15, 25)
4. GEOMETRIA PLANA
Áreas das figuras geométricas planas:
Medida de uma superfície ou área: Quando medimos superfícies tais como um terreno, ou o piso de uma sala, ou ainda uma parede, obtemos um número, que é a sua área.
Área da região retangular:
Exercícios:
1). Qual é a área de uma região retangular cujas medidas são 24,00 m por 12,50 m?
2). Um terreno retangular tem 8,40 m por 15,00 m e está sendo gramado. Sabendo que um quilo de semente de grama é suficiente para gramar 3,00 m^2 de terreno, quantos quilos de semente de grama são necessários para gramar o terreno todo?
3). Uma lajota retangular tem 30 cm por 20 cm. Qual é a área da lajota? Quantas lajotas são necessárias para cobrir o piso de uma garagem de 96,00 m^2 de área?
4). Quantos m^2 de azulejo são necessários para revestir até o teto uma parede retangular de 4, m por 2,75 m?
Área da região quadrada:
Exercícios:
5). Um terreno tem forma quadrada, de lado 30,20 m. Calcule a área desse terreno.
6). Um ladrilho de forma quadrada tem 20 cm de lado. Qual é a área desse ladrilho?
7). Para ladrilhar totalmente uma parede de 27,00 m^2 de área foram usadas peças quadradas de 15 cm de lado. Quantas peças foram usadas?
Área da região limitada por um paralelogramo:
Exercícios
8). A região de uma cartolina é limitada por um paralelogramo que tem 15,4 cm de comprimento por 8,5 cm de largura. Qual é a área dessa região?
9). Um pedaço de compensado, cuja espessura é desprezível, tem a forma e as dimensões da figura abaixo. Determine a área desse pedaço de compensado.
Área da região triangular:
A área de um triângulo também pode ser calculada com a Fórmula de Heron:
13). Cortando-se um pedaço de madeira, obteve-se a figura abaixo, com suas dimensões aproximadas. Calcule a área desse pedaço de madeira.
Área de uma região limitada por um triângulo equilátero:
Exercício:
14). Para uma festa junina, foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triângulo eqüilátero de lado 20 cm. Quantos m^2 de papel foram necessários para obter essas bandeirinhas?
Área da região triangular , conhecendo-se as medidas de dois lados e a medida
do ângulo formado por esses lados:
Exercício:
15). Uma placa de ferro tem a forma da figura abaixo. Suas medidas estão indicadas na figura. Calcule a área dessa placa de ferro.
16). Um terreno tem a forma e as dimensões da figura abaixo. Calcule a área desse terreno.
Área da região limitada por um losango:
Exercício:
17). A figura seguinte nos mostra uma circunferência de centro O e de raio 4 cm e um losango A,B,C,D, cujo lado mede 5 cm. Calcule a área desse losango.
