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APOSTILA
DE
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
NÚMEROS NATURAIS
Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o conjunto dos números naturais, representados pela letra IN: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural sempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor. Exemplos: o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9. o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003. Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1. Exercícios Resolvidos
- Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os pares de números consecutivos entre esses números: 2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255 Resolução: 0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256
- Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As idades de Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson tem? Resolução: Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor de 46, então esta idade será 48 anos.
- Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que
Resolução: Seja o conjunto: A = {x IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado do exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim: A = {4, 5, 6} ADIÇÃO Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja passar por Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120 km e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil de responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405 km. Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas as unidades de dois, ou mais, números dados. O resultado da operação chama- se soma ou total, e os números que se somam, parcelas ou termos. Propriedades Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 8 + 6 = 14 Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, o resultado é o próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 + 0 = 3 Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma. Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16 Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumas de suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associações são denominados: ( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves Exemplos: 8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16 13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27 De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c Nota: Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulas para entendermos o significado das sentenças. Exemplo: 1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro." 2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro." Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes, pelo fato da vírgula ter sido deslocada. Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os sinais na sequência: ( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves Exemplo: A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a importância da associação. Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja soma seja igual a ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior.
- Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da multiplicação porque não afeta o produto. Ex: 10 x 1 = 10
- Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20
- Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ou uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelas ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os resultados. Exemplo: 1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27 2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15 Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos os termos. Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeira pelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos. Exemplo: (6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63 DIVISÃO Divisão Exata Divisão exata é a operação que tem por fim, dados dois números, numa certa ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro. A indicação dessa operação é feita com os sinaisou que se lê: dividido por. O primeiro número chama-se dividendo, o segundo divisor e o resultado da operação, quociente. Exemplo: 15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15 Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente. Divisão Aproximada No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que não se encontra um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é menor que 53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53. O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa o dividendo 53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade por falta, porque o erro que se comete, quando se toma o número 8 para o quociente, é menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definição: chama-se resto de uma divisão aproximada a diferença entre o dividendo e o produto do quociente aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita assim: DIVIDENDO = DIVISORQUOCIENTE
- RESTO Exemplo: 53 = 6 8 + 5 EXPRESSÕES ARITMÉTICAS É um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações. A partir do estudo da adição e subtração, já podemos começar a resolver expressões aritméticas, envolvendo adições e subtrações. O cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada,
devendo observar-se que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses, em seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves. Exemplos: 1) Calcular o valor da expressão aritmética 35 - [4 + (5 - 3)] efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos 35 - [4 + 2] efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos 35 - 6 = 29 2) Calcular o valor da expressão aritmética 86 - {26 - [8 - (2 + 5)]} efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos 86 - {26 - [8 - 7]} efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos 86 - {26 - 1} efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que 86 - 25 = 61 3) Calcular o valor da expressão aritmética 53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]} 53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]} 53 - {52 - 0} 53 - 52 = 1 O cálculo das expressões aritméticas que contém as 4 operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem: Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições e subtrações, respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses mais internos, a seguir os colchetes e finalmente as chaves. Exemplo: 54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ] efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nos parênteses temos: 54 - 3 x [ 10 - 7 ] efetuando-se os colchetes vem que 54 - 3 ´ [ 3 ] 54 - 9 = 45 Exercício Resolvido
- Resolva a seguinte expressão aritmética {[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12 Resolução: { [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12 { [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 { [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 { 23 x 2 - 2} x 2 + 12 { 46 - 2 } x 2 + 12 44 x 2 + 12 88 + 12 100 DIVISIBILIDADE Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não divisível por outro. Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será que 762 é divisível por 2? E por 3? Todo número que é par é divisível por 2. Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc. Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número
Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10. Exemplos: 760, 3 320, 13 240. Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por 11. Exemplos: 2 937, pois: soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16 soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5 fazendo a diferença: 16 - 5 = 11 28 017, pois: soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9 soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0
- 7 = 9 fazendo a diferença: 9 - 9 = 0 MÚLTIPLOS E DIVISORES Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural. Exemplos: 24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24. 20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0 Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x. Exemplos: 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por
21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21. NÚMEROS PRIMOS Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a unidade; ele será considerado um número primo, são eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dos números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma dessas divisões seja exata, então o número é primo. Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões. Exemplo: Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade, podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7. Então, dividindo: 193 11 193 13 193 17 83 17 63 14 23 11 6 11 6 Quociente menor que o divisor 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é primo. DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores primos. A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores de um número natural. Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a unidade, a seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente até encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao
produto de todos os divisores encontrados que serão números primos. Exemplo: QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não se conhecendo todos os divisores. Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade. Exemplo: Vamos determinar o total de divisores de 80. Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 2^4 51 Aumentando-se os expoentes em 1 unidade: 4 + 1 = 5 1 + 1 = 2 Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados 5 2 = 10 Portanto, o número de divisores de 80 é
Nota: Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os divisores positivos desse número. MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente. Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados. MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes. Exemplo: 1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280 Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus menores expoentes são : 22 5 = 4 5 = 20 Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma: MDC (60, 280) = 20 2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188
Resolução: Então: mdc ( 56, 24) = 8 Resposta: O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) "Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos múltiplos, não nulo, comum a esses números." Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos múltiplos de 9. M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...} M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...} Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem números que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números 18 e 36, isto é: M(6) M(9) = {0, 18, 36, ...} Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9. Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é: mmc (6, 9) = 18
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM
FATORES PRIMOS
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo simultaneamente este números e efetuando- se o produto dos fatores primos comuns e não comuns escolhidos com seus maiores expoentes. Exemplo: Determinar o M.M.C. dos números 70, 140,
Fatorando os números: 70^2 140^2 180^2 35^5 70 2 90 2 7 7 35 5 45 3 1 7 7 15 3 1 5 5 1 Então temos: 70 = 2 x 5 x 7 140 = 2^2 x 5 x 7 180 = 2^2 x 3^2 x 5 Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2e 5.O número 7 não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e
- O número 3 também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo: fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 2^2 e 5. Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 3^2 e 7. mmc (70, 140,180) = 2^2 x 5 x 3^2 x 7 = 1260
MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO
SIMULTÂNEA
Então: mmc (70, 140, 180) = 2^2 x 3^2 x 5 x 7 = 1260 RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números. mmc (a, b) mdc (ab) = a x b Exemplo: Sejam os números 18 e 80 Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18,
- mdc (18, 80) O produto é 18 80 = 1440. Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números. 80, 18 2 40 , 9 2 20 , 9 2 10, 9 2 5, 9 3 5 , 3 3 5, 1 5 1, 1 mmc (80, 18) = 2^4 x 3^2 x 5 = 720 Logo: mdc(80, 18) = 1440 mmc(18, 80) = 1440 720 = 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos algumas indicações importantes. I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são múltiplos; II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns; III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C. Exemplo: Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro? Resolução: Existe a ideia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá o novo encontro?" Múltiplo "Encontrar-se-ão num determinado dia" Comum "Quando acontecerá o novo encontro" Mínimo Portanto 15, 20, 25 2 15, 10 , 25 2 15, 5, 25 3 5 , 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1 1 300 Resposta: O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias. NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES
b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador. Nesse caso a fração é maior que a unidade. Exemplo: c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador. Exemplo: d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é, não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum. Exemplo: Simplificando-se 36
,temos 3
(fraçãoirredutível) REDUÇÕES DE FRAÇÕES AO
MESMO DENOMINADOR
- Reduzem-se as frações à forma irredutível
- Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações
- Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultado da divisão. Exemplo: 1-) 6 3 = 2 1 2-) mmc (2, 5, 7) = 70 3-) 5 2 , 2 1 , 7
70
70
70
70 28 , 70 35 , 70 40 PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES
- Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo número diferente de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por esse número. Exemplo: Seja a fração 10 3
. Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração 10 6 , que é duas vezes maior que 10 3 , pois se em 10 6 tomamos 6 das 10 divisões da unidade, em 10 3 tomamos apenas três.
Ilustração: Observando a ilustração, verificamos que 10 3 é duas vezes menor que 10 6 .
- Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por esse número. Exemplo: Seja a fração 5 2
. Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração 10 2 , que é duas vezes menor que 5 2 , pois em 5 2 dividimos a unidade em 5 partes iguais e das cinco tomamos duas, enquanto que em 10 2 , a mesma unidade foi dividida em 10 partes iguais e tomadas apenas duas em dez. Ilustrações: Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que^5 2 é duas vezes maior que^10 2 .
- Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração não se altera. Exemplo: 5
2 2 5
10 4 Logo: 5 2 = 10 4 Ilustrações: NÚMEROS MISTOS Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração. Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o denominador da fração imprópria pelo
2 O. Modo: Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o mdc (48,36) = 12 12 12 48 36
4 3 Exercício Resolvido
- Obter 3 frações equivalentes a 5 3 . Resolução: Basta tomar os termos da fração 5 3 multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero: 3 3 5 3 = 15 9 7 7 5 3 = 35 21 12 12 5 3 = 60 36 ADIÇÃO DE FRAÇÕES Temos dois casos à considerar: Caso 1: Denominadores Iguais "Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum". Exemplo: 5 11
5 9
5 2 = 5 11 9 2 = 5 22 Caso 2: Denominadores Diferentes "Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra anterior ". Exemplo: 5 4
10 7
5 2
2 1
3 (^6) 30 24
30 21
30 12
30 15
30 (^60) 30 24 21 12 15 60 = 30 132 Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível: 6 6 30 132 = 5 22 Nota: Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos em frações impróprias. SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição (Caso 1 e Caso 2). MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre: Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores. Exemplos: 5 (^3) 7 6 = 57 36 = 35 18 5
10
5 2 = 5105 472 = 250 56 = 2 2 250 56 = 125 28 Nota: Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe: 5
10
5 2 = 5
5
5 2 = 12 28
, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro. DIVISÃO DE FRAÇÕES Na divisão de duas frações, vamos sempre: Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. Exemplo: 5
7 6 = 5
6 7 = 5
2 7 = 52 17 = 10 7 EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de frações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem: 1º) As multiplicações e divisões 2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e chaves. Exemplo: Vamos resolver a seguinte expressão: 6 5 2 1 3 4 7 11 3 11 5 2 2 4 1 2 9 = = (^) 6 5 6 4 11 7 3 11 5 102 4 1 2 9 = = (^) 5 6 6 4 3 7 5 12 4 1 2 9 = (^) 5 4 3 7 5 3 2 9 = = (^) ^ 15 3512 10
15 47 10 39 =^ 47 15 10 39 = = 47 3 2 39 =^ 47 3 2 39 =^ 94 117 NÚMEROS REAIS (IR) A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos números reais, representado pela letra IR. Observe o diagrama: Observação "Números Irracionais" A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa o conjunto dos números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração: Exemplos: (^2) , 3 , etc. NÚMEROS DECIMAIS Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e no entanto, estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito em nosso cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de provas de concursos públicos. ADIÇÃO Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as vírgulas se correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e, coloca-se a vírgula na soma, em correspondência com as parcelas.
c) 7 elementos d) 8 elementos P 6 ) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um número divisível por 252? P 7 ) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 2205 para se obter um número divisível por 1050? P 8 ) Assinalar a alternativa correta. a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos b) Todo número primo é divisível por 1 c) Às vezes um número primo não tem divisor d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor P 9 ) Assinalar a alternativa falsa: a) O zero tem infinitos divisores b) Há números que tem somente dois divisores: são os primos; c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo; d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero. P 10 ) Para se saber se um número natural é primo não: a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos; b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos; c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos; d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos. P 11 ) Determinar o número de divisores de 270. P 12 ) Calcule o valor das expressões abaixo: a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7) b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2 c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 +
- ] } + 7 d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x
- ] e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x
- ] ¸ 5 + 12 x 2 f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13 P 13 ) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a fim de que os quocientes sejam iguais. a) 15 e 17 b) 16 e 18 c) 14 e 18 d) 12 e P 14 ) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108 e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível. Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de cada uma. 9, 8, 6 partes de 18 metros 8, 6, 5 partes de 18 metros 9, 7, 6 partes de 18 metros 10, 8, 4 partes de 18 metros e) e) e) P 15 ) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do terreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros? a) 562 árvores b) 528 árvores c) 474 árvores d) 436 árvores P 16 ) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses cargos? P 17 ) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda tem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro?
P 18 ) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro percorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas partido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente no ponto de partida e quantas voltas darão cada um? P 19 ) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75 dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinado momento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior, estes dentes estarão juntos novamente? P 20 ) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos afirmar que: a) os números são primos b) eles são divisíveis entre si c) os números são primos entre si d) os números são ímpares P 21 ) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8 minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas? P 22 ) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20 minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos; às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outras horas, quando os embarques coincidem até as 18 horas. P 23 ) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio? P 24 ) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são os números? P 25 ) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma peça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/ da peça, depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender? P 26 ) Uma senhora repartiu R$273, entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4 do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu cada um? P 27 ) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12 metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça? P 28 ) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro, 1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o preço do terreno? P 29 ) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou com R$80,00. Quanto possuía? P 30 ) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4? P 31 ) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do restante. Quanto falta para atingir o cume? P 32 ) Qual é o número que aumenta 1/ de seu valor quando se acrescentam 3 unidades? P 33 ) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30 minutos. Quanto tempo leva de uma
