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CAPÍTULO 1
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. Dados históricos
Podemos considerar a Estatística como a ciência que se preocupa com a
organização, descrição, análise e interpretação dos dados experimentais.
Essa conceituação é absolutamente geral e engloba o conceito usual do que seja a
Estatística. Esse conceito usual e popular relaciona a Estatística com tabelas e gráficos nos
quais os dados experimentalmente obtidos são representados. Exemplos: Estatística do
movimento da Bolsa de Valores; estatística da loteria esportiva; estatística da Saúde
Pública: Crescimento do número de infectados pela gripe suína, acidentes de transito com
vítimas nas estradas Estaduais; estatística do crescimento da população nos estados;
estatística do movimento bancário; cheques devolvidos; cheques sem fundo; tabelas do
campeonato de futebol; pesquisa eleitoral, etc.
Essa noção refere-se apenas à parte de organização e descrição dos dados
observados. Há ainda um campo de atuação da ciência Estatística que é a análise e
interpretação desses dados.
Desde a antiguidade observa-se a utilização da Estatística para descrever em
números as condições econômicas, na agricultura, na indústria e no comércio. Assim, se lê
no livro sagrado de Confúcio (551 a.C. a 479 a.C.) (CHOUKING).
No quarto livro de Moisés, chamado NÚMEROS, Moisés faz o recenseamento de
todas as tribos de Israel, no deserto de Sinai, isso ocorreu após dois anos da saída do Egito
(Cap. 1, vs. 1 a 46).
O imperador romano César Augusto ordenou o recenseamento em todo império
romano no ano de nascimento de Jesus. Portanto, podemos dizer que na antiguidade a
Estatística preocupava-se com Registro dos dados, é uma Estatística Administrativa, pois
ela se interessava em contar o número de homens aptos para a guerra e de produtos
agropecuários.
A palavra estatística é derivada da palavra latina “STATUS”, com o significado de
Estado, Governo, atribuindo o significado “Ciência das coisas que pertencem ao Estado”.
Como disciplina autônoma ela aparece no século XVII na Alemanha, tendo como
objeto a descrição das coisas notáveis do estado. Para essa autonomia muito contribuiu o
alemão Herman Conring (1606-1681) introduzindo a estatística com disciplina na
Universidade de Helmstadt. Na Inglaterra surgem os chamados Aritméticos políticos,
denominação atribuída a William Petty, aos que tinham interesse especial pelas tabelas de
mortalidades em virtude de suas aplicações nos seguros de vida.
Na França desenvolve-se a partir do século XVII, o cálculo de probabilidades como
disciplina científica. Sua origem atribui-se a questões postas a Blaise Pascal (1623-1662)
por Cavaleiro de Nére, para alguns autores jogador inveterado, para outros um filósofo e
homem de letras. Mas a maior contribuição aparece nas cartas entre Pascal e Pierre Fermat
(1601-1665) em que ambos chegam a uma solução correta do problema dos jogos de azar.
Foi Jacques Bernoulli (1654-1705) que aperfeiçoou a teoria das probabilidades
escrevendo a sua grande obra “Ars Conjectandi”, publicada oito anos após sua morte. Pode-
se dizer que foi devido as contribuições de Bernoulli que o cálculo de probabilidades
adquiriu o estatus de ciência.
São fundamentais as contribuições de Pierre Laplace (1749-1827) com as
publicações da “Teoria Analítica da Probabilidade” e a definição clássica da probabilidade
(Quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis). Gauss
(1777-1855) apresentou em 1809 a “Theoria Combinationis Observatorium Erroribus
Minimis Obnoxia” que mostra uma teoria sobre a análise de observações, que pode ser
aplicável a qualquer ramo da ciência.
Podemos citar outros grandes estatísticos como: Francis Galton (1822-1911) da
escola de estatística inglesa que criou a teoria da regressão linear. Karl Pearson (1857-
- físico matemático dedicou-se a teoria da correlação. Ronald Aylmer Fisher, suas
contribuições para a moderna estatística são as mais importantes de todas, sendo a figura de
maior destaque de todos os tempos, desenvolveu e estruturou de forma rigorosa a Teoria da
Inferência Estatística. William S. Gosset, com pseudônimo de “Student”, devido ao fato de
trabalhar para uma fábrica de cerveja , desenvolveu em 1908 a Teoria da Amostragem
Assim, podemos dizer que a estatística atual passou a ter um caráter mais científico,
deixou de ser uma simples técnica de coleta de dados e de apresentação de dados, para se
c) análise e interpretação de dados.
Essas três áreas da estatística não são separadas ou distintas, ao contrário, elas tendem a se entrelaçar.
2. Ramos da Estatística
2.1. Estatística descritiva A palavra estatística lembra sempre: taxas mensais de acidentes, índices de mortalidade infantil por estados, consumo de combustível por quilômetro rodado, etc. Essa parte da estatística que utiliza números para descrever fatos é chamada estatística descritiva.
Estatística descritiva é o ramo da estatística que envolve a organização, o resumo e a representação dos dados.
2.2. Probabilidade
O conhecimento das probabilidades associadas a uma situação fornece a base para o desenvolvimento das técnicas de tomada de decisão, explica o funcionamento dessas técnicas e indica de que modo as conclusões podem ser apresentadas e interpretadas corretamente.
2.3. Inferência estatística
Consiste em métodos que generaliza para a população, aquilo que se observa na amostra. A palavra inferência é utilizada em Estatística com dois significados: conclusões tiradas a partir de valores ou de evidências; processo utilizado para se chegar a essas conclusões.
3. População – Amostra
Se a estatística se preocupa com registro de fatos, então a população tem o significado de conjunto dos habitantes de uma determinada região. Modernamente população é qualquer coleção de objetos, seres ou entes que apresentam pelo menos uma característica em comum.
Exemplos 1:
Vazão do rio Tietê de 1950 a 2015; Acidentes da Via Dutra de 2000 a 2015; Inflação brasileira de 1995 a 2015; Notas de Matemática dos alunos do Ensino médio.
A população pode ter um número finito de elementos ou ter um número ilimitado, isto é, população infinita.
Quando se estuda uma população com um número muito grande de elementos, somos obrigados a examinar uma parte , a amostra.
Entendemos por amostra, parte da população retirada segundo uma regra conveniente, probabilística ou aleatória. A amostra é sempre finita. Uma pesquisa que estuda todos os membros de uma população denomina-se censo e quando se toma uma parcela da população denomina-se pesquisa por amostragem.
A seguir mostramos um exemplo de fenômeno aleatório. A figura que segue mostra esferas de mesmo diâmetro, caindo de um reservatório superior e passando por uma série de obstáculos, que em cada obstáculo a probabilidade da esfera se desviar para a esquerda ou para a direita é 1/2. As esferas são colhidas em reservatório abaixo e observa-se que elas se acumulam na parte central e tornam-se mais raras nas extremidades.
O gráfico observado tem a forma de um sino, com a boca voltada para baixo. A essa distribuição denominamos de Distribuição Normal ou de Gauss. (Figura 1)
Figura 1
Exemplo 3:
O professor de Educação Física do Ensino Médio faz uma pesquisa para estudar as
alturas de seus alunos do sexo masculino, envolvendo 999 alunos e deseja retirar uma
amostra de 100 alunos seguindo a tabela de números aleatórios. Para construirmos essa amostra , podemos numerar os 999 alunos, atribuindo a cada
aluno um número de três dígitos como os da sequência: 001, 002, 003, ... , 998 e 999. Para
a escolha dos 100 elementos dentre os 999 alunos, podemos iniciar a consulta à tabela dos
números aleatórios a partir de qualquer número da tabela randômica, por exemplo:
tomamos três a três os números a partir do número 884 que está na quinta linha e na oitava
coluna, e em seguida tomamos a medida da altura dos alunos cujos números são: 879; 184;
627; 953; 931; 443;..., até o encontrarmos o centésimo aluno. Assim, retiramos de uma
população de 999 elementos uma amostra de 100 elementos, de maneira aleatória, por meio da tabela de números randômicos. Se a população é maior ou menor que 999 elementos,
desenvolvemos um novo processo para a retirada da amostra.
Exemplo 4:
Retirar da população da tabela 2 uma amostra de 100 elementos, por meio de
amostragem simples ao acaso, consultando a tabela 1 de números aleatórios. Por exemplo,
inicie a retirada dos números começando pelo número aleatório da tabela, localizado na
sexta linha, primeira coluna, número (931) em seguida 443 e sempre três a três.
Resolução :
Os números aleatórios na tabela 1 foram colocados de três em três algarismos para facilitar nossa visualização. No exemplo 3 a tabela 2 é formada por 200 números. Devemos transformar essa tabela 2 em 1000 números para corresponder aos elementos da tabela de números randômicos. Para isso adotamos que cada número dado na tabela 2 seja
Tabela 4
4. Tipos de Variáveis
Em Estatística variável é uma atribuição de um número a cada característica da unidade de observação, ou seja, é uma função matemática definida na população ou ainda, uma variável corresponde a uma característica de um item ou de um individuo. As variáveis são classificadas como qualitativas e quantitativas.
4.1. Variável qualitativa
Quando uma característica ou variável é não numérica, denomina-se variável qualitativa ou atributo.
Exemplo 5: São variáveis qualitativas: sexo, religião, naturalidade, cor dos olhos e faixa etária.
4.2. Variável quantitativa
Quando uma característica ou uma variável é numérica, denomina-se variável quantitativa.
As variáveis quantitativas se classificam em dois grupos:
4.2.1. Variáveis discretas
a) As variáveis quantitativas discretas são aquelas cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números que resultam frequentemente de contagem.
Exemplo 6:
a) Quantidade de alunos de uma disciplina. b) Quantidade de apartamentos de um prédio. c) O número de crianças em uma família.
4.2.2. Variáveis contínuas
As variáveis cujos valores pertencem a um intervalo de números reais e que resultam frequentemente de medidas, são denominadas variáveis quantitativas contínuas.
Exemplo 7:
a) Tempo de duração das provas de matemática. b) Tempo duração de baterias de carros. c) As alturas dos alunos de uma classe da disciplina de Estatística_._
Nas Variáveis contínuas quando feitas por medidas, por exemplo, as alturas dos alunos, e dependendo da unidade de medida podemos obter 1,65 m, ou 165,2cm ou 1652,7mm conforme a precisão da medida.
4.3. Níveis de mensuração e escalas de mensuração
São quatro os níveis de mensuração: Nominal, ordinal, intervalar e de razão.
- Escala nominal de mensuração envolve simplesmente o ato de nomear ou rotular, não esta explícito nenhum tipo de classificação.
Exemplo 8:
a) Possui computador: sim ___ não____. b) Sexo: masculino ____ feminino ____. c) Religião: católica ____ crente _____. d) Estado civil: casado ____ solteiro___.
- Escala ordinal de mensuração ocorre quando se procura ordenar seus elementos ou classificar.
Exemplo 9:
a) Classificação sócio econômica: Classe baixa, classe média e classe alta. b) Satisfação de um produto: Insatisfeito, satisfeito e muito satisfeito. c) Classificação docente: Assistente e titular.
- Escala intervalar consiste numa escala ordenada a qual podemos afirmar se uma medida é igual ou diferente, maior e quanto maior que outra, mas não tem origem.
Exemplo 10:
a) Temperatura de um indivíduo: [36C°, 40C°]. b) Temperatura da cidade de São Paulo: [12C° a 30C°].
5.4. Frequência absoluta
Frequência absoluta de uma variável xi é o numero total de dados que se repete em
xi e representamos por fi.
5.5. Frequência relativa
Frequência relativa é a razão entre cada frequência absoluta fi e o total n das
frequências absolutas. r i 1,2,3,..., f f com i n n
5.6. Frequência acumulada
Colocando-se os valores em ordem crescente da variável xi , obtém-se a frequência
acumulada adicionando-se as frequências absolutas dos valores anteriores.
Tomando os valores do quadro anterior, podemos escrever:
xi fi fr ac
f
Total 34 1
5.7. Gráfico de frequências
Gráficos são representações de dados para melhor visualização dos resultados.
Colocando os valores dos dados no eixo horizontal e as frequências no eixo vertical.
Tipos de gráficos:
a) Gráfico de barras ou colunas
b) Gráfico de setores (pizza)
Servem para representar séries categóricas ou nominais, utiliza-se um círculo feito em fatias que representam as categorias usando a porcentagem de cada categoria que será transformada em graus.
Exemplo 13:
Gastos mensais de uma família formada pelos pais e dois filhos que estudam em colégio pago.
GASTOS
Educação 19% 68º Alimentação 30% 108º Transportes 20% 72º Moradia 15% 54º Gerais 16% 58º
Seguem os gráficos correspondentes ao exemplo 12.
Os gráficos que seguem mostram os valores dos dados xi no eixo horizontal e as
frequências no eixo vertical.
0
1
2
3
4
5
6
Categoria 1 Categoria 2 Categoria 3 Categoria 4
Série 1 Série 2 Série 3
Gastos
Educação Alimentação Transportes Moradia Gerais
Sofrendo 13% Prosperando 24% Batalhando para sobreviver 63%
Solução: Devemos encontrar para as porcentagens indicadas os valores em graus e representar no círculo. Assim: 0
0 0 0
100% 360 , logo 360 46,8 47
x
x
0
0 0 0
100% 360 , logo 360 86,4 86
x
x
0
0 0 0
100% 360 , logo 360 226,8 227
x
x
6. Medidas de tendência central ou de posição
A média é um valor típico ou representativo de um conjunto de dados, sendo a medida de posição mais importante de uma variável. Como esses valores típicos tendem a se localizar em um ponto central de um conjunto de dados ordenados segundo suas grandezas, essas medidas são denominadas medidas da tendência central. Vários tipos de médias podem ser definidas: a média, a média geométrica e a média harmônica, sendo a mais comum a média aritmética ou, abreviadamente média. Cada uma delas apresenta vantagens e desvantagens, dependendo dos dados e dos fins desejados.
Como as mulheres avaliam suas vidas
63%
13%
24%
6.1. Média Aritmética
Situação-problema: Um professor de matemática aplicou sua prova bimestral a 20 alunos e no momento da entrega das provas pelos alunos, as corrigia, não comunicando as notas para que não houvesse tumulto. Durante a correção foi anotando ao lado as notas e na saída da sala disse a todos que a média obtida pela classe era 6. Levou para casa as provas e as perdeu. a) Como deve o professor atribuir as notas de cada aluno? b) O professor recuperou as notas que foram dadas:
6 5 6 4 6 5 7 6 6 7 7 6 5 7 8 4 6 5 8 6
Com as notas recuperadas determine a média aritmética. Resposta: a ) Se o professor perdeu as provas, mas conhece a média, deve atribuir a média 6 para todos os alunos, pois, podemos observar que a soma de todas as notas da tabela é igual a soma de 20 notas de valor 6. Assim, substituímos todas as notas dos alunos pelo valor 6.
6+5+6+4+6+ ... +8+6 = 6+6+6+6+6+ ... +6+6 ou ainda
b ) Para definir média devemos ter o conceito de somatório.
Escrevemos uma soma da seguinte maneira ( A letra indica somatório).
n
i = 1
xi x 1 x 2 x 3 ...... xn
Exemplo 16:
Sendo x 1 1 ,x 2 3 ,x 3 7 ,x 4 5 , x 5 10
Calcular a)
5
i = 1
xi b)
5
i= 1
2
xi
Solução:
a) x 1 3 7 5 10 26
5
i = 1
i
b) x 12 32 72 52 102 1 9 49 25 100 184
5
i= 1
2
i
Exemplo 17: Sejam as notas obtidas por um aluno de matemática
x 1 4 ,x 2 6 ,x 3 5 ,x 4 9 , determinar a média x.
A média é dada por
x
4
n n 4 4
i i
x
x x x x
Quando xi apresentar elementos repetidos, a média aritmética dos valores de x é
dada por:
x x fi^ i
n
ou por comodidade, deixaremos de colocar os índices
do somatório e escrevemos:
x fi i
x
n
Voltando ao item b) da situação problema, montamos a tabela de notas dos alunos
xi fi x fi i
^20
n
x x f^ i^ i
. Portanto, a média aritmética é 6.
6.2. Média Aritmética Ponderada
Se os números ocorrem f 1 , f 2 , f 3 , ..., fn vezes, respectivamente, isto é, ocorrem para cada número uma frequência f 1 , f 2 , f 3 , .......fn , a média aritmética será definida por:
x x fi^ i
n
Exemplo 18:
Se o exame final de um curso tem peso 3 e as 2 provas mensais peso 1, um estudante que obteve 70 e 90 pontos nas provas e 85 no exame final, então a média é dada por:
1. 70 ^ 1. 90 ^ 3. 85 ^
83 pontos. 1 1 3
x
Exercícios de aplicação 02:
Calcular a média aritmética simples ou ponderada.
1) Notas na disciplina de Economia. 3; 5; 7; 6; 4; 2; 5; 2; 4; 5; 7; 6; 4; 6; 2; 3; 7 e 5.
2) Notas na disciplina de estatística. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 e 8.
3) Medidas de diâmetros de parafusos. 1,2; 1,4; 1,4; 1,4; 1,6; 1,6; 1,6; 1,6; 1,6; 1,8; 1,8; 1,8; 1,8; 2 e 2.
4) As notas de 9 alunos de estatística são:4,5; 4,8; 5,7; 7,1; 7,5; 7,9; 8,3; 9,5; 9,7. Sabe-se Pedro é o 10º aluno e a média da turma incluindo a nota de Pedro é 7,2. Determinar a sua nota.
6.3. Mediana - Md (X)
A mediana é outra medida de posição central de uma variável. Dados um conjunto de números ordenados em ordem crescente a mediana é o valor central.
Exemplo 19:
O conjunto dos números 3,4,4,5,6,8,8,8,10 tem mediana Md (X) = 6, pois, ocupa a 5ª posição.
Se o número de observações é ímpar, então para localizar a mediana é só aplicar a
fórmula
n , portanto, Md (X) é o elemento que ocupa a posição
n .
Se o número de observações é par, então existem dois elementos centrais: Md 1 (X)
é o elemento que ocupa a posição 2
n e Md 2 (X) é o elemento que ocupa a posição 1 2
n (^) .
Uma vez obtidos esses valores, a mediana é definida como a média aritmética
Md (X)=^1
Md Md
