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Grafos: Exercícios Resolvidos, Exercícios de Matemática Discreta

Documento contendo soluções para exercícios de grafos, abordando conceitos como caminhos, arestas, conexidade e relações de implicação.

Tipologia: Exercícios

2021

Compartilhado em 31/03/2021

carlos-daniel-silva-galhardo
carlos-daniel-silva-galhardo 🇧🇷

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bg1
1- 1
a b c d
6
e 2 f 3 g 5
h i j
4
Orientados pelo grafo acima:
(a) Liste todos os trajetos existentes entre os vértices 5 e 6.
5h, 4a, 1b, 2c, 4e, 3j
5z, 3e, 4ª, 2d, 3j, 6
5f, 4c, 2b, 1a, 4c, 2b, 1i, 6
5h, 4c, 2b, 1a, 4e, 3j, 6
5h, 4c, 2d, 3e, 4ª, 1i, 6
(b) Liste todos os caminhos existentes entre os vértices 5 e 6.
{5f, 1i, 6} -> 6
1= 5g, 3j, 6
2= 5h, 4c, 2d, 3j, 6
3= 5h, 4c, 2b, 1i, 6
4= 5h, 4a, 1i, 6
5= 5h, 4e, 3j, 6
(c) Quais dos trajetos obtidos no item (a) são caminhos?
R: As arestas não podem repetir, então não possui nenhum caminho.
(d) Dê o comprimento de cada um dos caminhos do item (b).
R:
1= 2 3= 4 5= 3
2= 4 4= 3 6= 2
pf3
pf4
pf5
pf8

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Baixe Grafos: Exercícios Resolvidos e outras Exercícios em PDF para Matemática Discreta, somente na Docsity!

a b c d

e 2 f 3 g 5

h i j

Orientados pelo grafo acima:

(a) Liste todos os trajetos existentes entre os vértices 5 e 6.

5h, 4a, 1b, 2c, 4e, 3j

5z, 3e, 4ª, 2d, 3j, 6

5f, 4c, 2b, 1a, 4c, 2b, 1i, 6

5h, 4c, 2b, 1a, 4e, 3j, 6

5h, 4c, 2d, 3e, 4ª, 1i, 6

(b) Liste todos os caminhos existentes entre os vértices 5 e 6.

{5f, 1i, 6} -> 6

1= 5g, 3j, 6

2= 5h, 4c, 2d, 3j, 6

3= 5h, 4c, 2b, 1i, 6

4= 5h, 4a, 1i, 6

5= 5h, 4e, 3j, 6

(c) Quais dos trajetos obtidos no item (a) são caminhos?

R: As arestas não podem repetir, então não possui nenhum caminho.

(d) Dê o comprimento de cada um dos caminhos do item (b).

R:

2. Sejam a, b e c três vértices distintos em um grafo. Se existe um caminho entre a e b e

também existe um caminho entre b e c, mostre que existe um caminho entre a e c.

3. Desenhe um grafo conexo que se torna desconexo quando qualquer aresta é

removida.

4. Mostre que um grafo conexo G se mantém conexo após a remoção de uma aresta aj

se e somente se a aresta pertence a algum circuito de G.

5. Mostre que qualquer grafo simples com n vértices e mais do que (n − 1)(n − 2)/

arestas é conexo.

c) p  q  ( p  q )  ~( p  q )

p  q  ( p  q )  ~( p  q )

p q p  q ( p  q ) ~( p  q ) p  q  ( p  q ) p  q  ( p  q )  ~( p  q )

V V F V F F V

V F V V V V V

F V V V V V V

F F F F V V V

(equivalentes)

7. Negue em linguagem corrente as seguintes proposições:

a) Atlético é alvi-verde e Coritiba é rubro-negro.

R: Atlético não é alvi-verde ou Coritiba é rubro-negro.

b) As vendas diminuem e os preços aumentam.

R: As vendas não diminuem ou os preços não aumentam.

c) É falso que está frio ou que está chovendo.

R: Está frio ou está chovendo.

d) Se João passar em Física então se formará.

R: João passa em Física e não se forma.

e) Não tenho carro e não tenho moto.

R: Tenho carro ou tenho moto

8. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis:

a) p  q  r  ( p  q )  ( p  r )

R:

p  q  r 

~p  ( q  r ) 

(~p  q)  (~p  r) 

(p  q)  (p  r))

b) p  q  r  ( p  q )  ( p  r )

R:

p  q  r  ~p  ( q  r )  ~p  q  r  ~p  ~p  q  r  (~p  q)  (~p  r )  (pq)(pr))

c) p  ( r  s  t )  ( p  r )  ( p  s )  ( p  t )

R:

p  ( r  s  t )  p  ( r  (s  t))  (p  r)  (p  (s  t))  (pr))(ps) )(pt))

d) p  q  r  p  ( q  r )

R:

p  q  r  ~(p  q)  r  ~p  ~q  r  ~p  (~q  r)  ~p  ( q  r)  p(qr))

R:

(p  q)  ~q  p  V (p  ~q)  (q  ~q)  p  (p  ~q)  F  p  (p  ~q)  p  ~(p  ~q)  p  ~p  ~q  p  (~p  p)  ~q  V  ~q  V

c) Regra de Modus Ponens: (p  q)  p  q

R:

(p  q)  p  q  V (~p  q)  q  q  (q  ~p)  (q  q)  q  (q  ~p)  q  q  ~((q  ~p)  q)  q  ( ~(q  ~p)  ~q )  q  ((~q  p)  ~q)  q 

(~q  ~q)  (~q  p)  q 

~q  (~q  p)  q 

(~q  q)  ( ~q  p ) 

V  (~q  p ) 

V

d) Regra de Modus Tollens: (p  q)  ~q  ~p

R:

(p  q)  ~q  ~p  V (~p  q)  ~q  ~p  (~q  ~p)  (~q  q)  ~p  (~q  ~p)  F  ~p  (~q  ~p)  ~p  ~(~q  ~p)  ~p  ~~q  ~~p  ~p  q  p  ~p  q  VV