Matemática (Ensino Médio) - Teoria e Prática, Notas de estudo de Física

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Alessandra Bosquilha

Marlene Lima Pires Corrêa

Tânia Cristina Neto G. Viveiro

2 a^ Edição

PrefácioPrefácio

Em qualquer área de atuação que você se encontre, ela sempre estará presente: a matemática.

Seus conceitos são tão básicos, que até mesmo a música pode ser convertida em expressões matemáticas. É uma ciência tão universal, que todas as mensagens das sondas espaciais lançadas até hoje são enviadas em linguagem matemática.

Em vista disso, o aprendizado da matemática é imprescin- dível. Dessa maneira, levamos até você o Minimanual Com- pacto de Matemática – Teoria e Prática, ilustrado com inúme- ros exemplos para tornar a aquisição desse conhecimento muito mais fácil e agradável.

Este manual traz o conteúdo do Ensino Médio, explicado de maneira contextualizada e interdisciplinar, em uma lingua- gem que procuramos tornar acessível, desde o estudo das fun- ções, até a geometria e a trigonometria. Além disso, o Minimanual Compacto de Matemática – Teoria e Prática traz um capítulo especialmente dedicado à Matemática Financeira em que o leitor poderá tirar suas principais dúvidas sobre as transações comerciais e financeiras do mercado, e até mesmo compreender um pouco melhor nossa política econômica.

Há também no final deste livro um Encarte Colorido, espe- cialmente desenvolvido para fornecer ao leitor algumas idéias do emprego da matemática em áreas cotidianas, desde a for- mação dos cristais, passando pela escala Richter e como a in- tensidade de terremotos pode ser mensurada usando uma fer- ramenta matemática, entre outras questões que indicarão o caminho para que você desenvolva seu senso crítico e esten- da sua compreensão a respeito do mundo que o cerca.

E assim, caro leitor, esperamos que esta obra não só lhe seja útil no aprendizado da matemática, como também o faça gostar mais desta incrível ciência.

UMÁRIO

11 Capítulo 1

F UNÇÃO DO 1º- G RAU

Por volta de 2000 a.C., egípcios e babilônios já possuíam métodos para a resolução de equações do 1º grau. Entre os egípcios, destacou-se Diofanto de Alexandria, cuja principal obra, Arithmetica, procurava a generalização dos métodos a partir de problemas numéricos. Contudo, foi Fibonacci, in- fluenciado pelas técnicas desenvolvidas pelos árabes, quem documentou soluções gerais para a resolução de equações do 1º grau, em sua obra Liber Abacci.

1. Função do 1º- grau

As funções do 1º grau estão presentes em diversas situa- ções do dia-a-dia. Vejamos este exemplo.

Uma loja de eletrodomésticos contrata vendedores com as seguintes condições salariais: um fixo de R$ 100,00 mais 5% sobre as vendas efetuadas.

Vamos procurar uma fórmula que forneça o salário no final de cada mês. Lembremos que: 5%  0,05. Chamemos o total do salário de y. Se o vendedor fizer uma venda de R$ 500,00, receberá:

y  100  0,05  500  R$ 125,

12 Capítulo 1

y  100  0,05x

Salário fixo Venda % Total (em reais) (em reais) (em reais) 100 500 5 125 100 1.000 5 150 100 2.000 5 200

De modo geral, se ele vender x, teremos que:

A função do 1º grau pode ser classificada de acordo com seus gráficos. Considere sempre a forma genérica y  ax  b.

1.1 Função constante: se a  0, então y  b, b  r. Desta maneira, y  4 é função constante, pois, para qualquer valor de x, o va- lor de y ou f(x) será sempre 4.

Definição: Chama-se função do 1º grau a função f r → r definida por y  ax  b , com a e b números reais e a  0. a é o coeficiente angular da reta e determina sua inclina- ção, b é o coeficiente linear da reta e determina a inter- secção da reta com o eixo y.

y

100

x

y

4

0 x

A fórmula y  100  0,05x expressa uma função do 1º grau. A representação gráfica de uma função deste tipo sempre será uma reta:

Façamos uma tabela para visualizar melhor a situação.

14 Capítulo 1

Resolução: Pela definição, f(x)  ax  b é função do 1º grau se a e b são reais e a  0. No exercício, o coeficiente de x é m  1, que deve, então, ser diferente de zero: m  1  0 ⇒ m   1

b) f(x)  ( m^2  4)x  5

Resolução: O coeficiente de x é m 2  4, então: m 2  4  0 ⇒ m 2  4 ⇒ m  ± 2

1. Determine, em cada caso, o valor de k  r para que a função seja do 1º grau: a) f(x)  (3 k  6)x  1 d) y  ( k^2  9)x 2  2x  1 b) f(x)  (2 k  8)x  7 e) f(x)   kx  2

c) y  ( k^2  25)x  2 f) y  2 3

⎛⎝ k  4 ⎞⎠

2. Gráfico da função do 1º- grau

A representação geométrica da função do 1º grau é uma reta, portanto, para determinar o gráfico, é necessário obter dois pontos. Em particular, procuraremos os pontos em que a reta corta os eixos x e y.

De modo geral, dada a função f(x)  ax  b, para determi- narmos a intersecção da reta com os eixos, procedemos do se- guinte modo:

1º) Igualamos y a zero, então ax  b  0 ⇒ x  ^ b a

, no

eixo x encontramos o ponto  b a

2º) Igualamos x a zero, então f(x)  a  0  b ⇒ f(x)  b, no eixo y encontramos o ponto (0, b).

15 Capítulo 1

Além disso, temos que:

• f(x) é crescente se a é um número positivo (a  0);
• f(x) é decrescente se a é um número negativo (a  0).

Esboce o gráfico das funções e determine se são crescentes ou decrescentes:

a) f(x)  2x  1 b) f(x)  2x  4

Resolução: a) Para determinar o ponto sobre o eixo x fazemos o se- guinte: 0  2x  1 ⇒ 2x   1 ⇒ x  −^

De modo semelhante, para determinarmos o ponto so- bre o eixo y: y  2  0  1 ⇒ y  1 Agora, com esses dois pon- tos, poderemos traçar o grá- fico ao lado: Como podemos observar pe- lo gráfico e sendo a  2  0, a função é crescente. b) Usando o mesmo método para f(x)  2x  4, temos: para y  0 ⇒ 2x  4  0 ⇒ 2x   4 ⇒ x  2 para x  0 ⇒ y   2  0  4 y  4

O gráfico fica:

Com base no gráfico e por- que a   2  0, a função é decrescente.

y

x

1

1 0  2

y

x

4

0 2

17 Capítulo 1

Temos de resolver o sistema obtido com as equações:

a  2b  4 3a  b   1 (multiplicar por 2)

a  2b  4  6a  2b  2 (somar as equações)

5a  6 ⇒ a  ^

substituir em 

 2b  4 ⇒ 2b  20 5

 (^6) ⇒ b  13 5

f(x)   6 5

x  13 5

ou f(x)  ^6  5

x 13

2. Esboce o gráfico de cada uma das funções:

a) y  3x  1 b) y  x  7 c) f(x)  5x

3. Na função y  ax  b, sabe-se que f(1)  0 e f(3)  4. Determine a função.
4. Para cada um dos gráficos, determine a respectiva função:

a) b) y

x

3

2

y

x  2

6

18 Capítulo 1

y

x  2

2

 4  2 2 4

5. Para o gráfico a seguir, defina a função y  ax  b, em cada um dos intervalos pedidos: a) para x   2 b) para  2 x 2 c) para x  2

3. Raiz ou zero da função do 1º- grau

A raiz ou zero da função do 1º grau é o valor de x para o qual y  f(x)  0. Graficamente, é o ponto em que a reta “cor- ta” o eixo x. Portanto, para determinar a raiz da função, basta a igualarmos a zero:

f(x)  ax  b ⇒ ax  b  0 ⇒ ax  b ⇒ x  ^

b a

1. Determine a raiz da função f  r → r, tal que f(x)  3x 1. Resolução: Igualamos f(x) a zero, portanto: 3x  1  0 ⇒ x  ^1 3 Quando determinamos a(s) raiz(es) de uma função, o(s) valor(es) encontrado(s) deve(m) ser expresso(s) sob a forma de conjunto, denominado conjunto-verdade (V) ou con-

junto-solução (S), da seguinte maneira: S   1 3

2. Determine m  r para que 5 seja a raiz da função f r → r, dada por f(x)  x  3m. Resolução: Se 5 é raiz, então para x  5 temos que f(x)  0; substituímos estes dados na função: f(x)  x  3m ⇒ 0  (5)  3m ⇒ 0  5  3m ⇒

⇒ 3m   5 ⇒ m   5 3

20 Capítulo 1

Estude o sinal das funções: a) y  3x  1

Resolução: A raiz da função: 3x  1  0 ⇒ x   1 3 Como o coeficiente de x é positivo (a 5 3), a função é cres- cente. Façamos o esboço:

4. Estudo de sinal da função do 1º- grau

Estudar o sinal de uma função do 1º grau é determinar os valores de x para que y seja positivo, negativo ou zero.

Regra prática para o estudo de sinal da função f(x)  ax  b

1º) Determinamos a raiz da função, igualando-a a zero:

(raiz: x   b a

2º) Verificamos se a função é crescente (a  0) ou decres- cente (a  0); temos então duas possibilidades:

b  a



 

 b  a

a) a função é crescente b) a função é decrescente

se x   b a

, então y  0. se x   b a

, então y  0.

se x   b a

, então y  0. se x   b a

, então y  0.

se x   b a

, então y  0. se x   b a

, então y  0.

21 Capítulo 1



 2

se x  ^1 3

, então y  0

se x   1 3

, então y  0

se x   1 3

, então y  0

b) f(x)   x 2

Resolução: A raiz da função:  x 2

 1  0 ⇒  x 2

⇒ x   2 ⇒ x  2 Como o coeficiente de x é negativo (a   1 2

), a função é decrescente; temos então: se x  2, então y  0 se x  2, então y  0 se x  2, então y  0

12. Para cada caso, faça o estudo de sinal da função: a) f(x)  x  7 c) y  2x  3 e) f(x)  4x  6 b) f(x)  x 3

 4 d) y  x^ ^1 5

f) y  3x  1

5. Inequação do 1º- grau

A inequação se caracteriza pela presença de um dos se- guintes sinais de desigualdade:  ,  , ou.

Resolva em r a inequação 2x  1  3.

Resolução: Resolver esta inequação é determinar o conjunto de números que quando substituídos em x fornece números maiores que

3. Temos então de isolar x no 1º membro da inequação: 2x  1  3 ⇒ 2x  3  1 ⇒ 2x  4 ⇒ x  2 S  { x  r  x  2 }



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