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4.1 O que é um sistema de amortização
O conceito fundamental da Matemática Financeira é o do valor do dinheiro no tempo e, como consequência deles, os juros, como sendo o preço do dinheiro. Dessa forma, se há um empréstimo de R$10.000,00 a ser saldado em cinco parcelas mensais, não faz sentido supor que o valor de cada uma delas seja de R$2.000, (ou seja, a simples divisão de R$10.00,00 por cinco), visto que essa lógica ignoraria que o valor real do dinheiro se altera ao longo do tempo e que, para compensar a variação, deveriam ser aplicados juros sobre as parcelas mensais a serem pagas para amortização do empréstimo.
Sendo assim, é necessário calcular o valor das parcelas de forma que elas sejam suficientes para pagar o valor emprestado e, também, os juros incorridos devido ao tempo. Porém, o cálculo deve considerar que o tempo não é único: no exemplo, são cinco pagamentos, os quais ocorrem em momentos diferentes do tempo. Além disso, os juros devem incidir sobre o valor devido e, a cada pagamento de parcela, o valor devido é reduzido.
Por isso, os sistemas de amortização devem lidar com todas essas variáveis simultaneamente, o que torna o tema interessante e desafiador.
4.1.1 Efeito do tempo nos sistemas de amortização
Sempre atentos ao conceito do valor do dinheiro no tempo, vamos supor que você recorreu a um empréstimo de R$10.000,00, o qual será pago em um determinado número de parcelas mensais de R$500,00, sendo que a primeira delas vence um mês após o recebimento do empréstimo.
Vamos analisar o que acontece até o dia do pagamento da primeira parcela: como um mês se passou desde o recebimento dos R$10.000,00, você não deve mais somente esse valor. O tempo faz com que o valor seja maior, devido aos juros incorridos. Ou, como mostra a fórmula do valor do dinheiro no tempo:
VF = VP + J
Vamos supor que, nesse exemplo, os juros de sejam de 2% a.m.: passado um mês, os juros serão, então de 0,02 x 10.000 = R$200,00. Ou seja, até o pagamento da primeira parcela, você deve R$10.200,00.
Após efetuar o pagamento da primeira parcela (R$500,00, como falamos), você passa a dever somente R $9.700,00 (R$10.200,00 menos R$500,00). Mas, esse valor não permanece estático, imutável, afinal, o tempo continua avançando e, com ele, os efeitos sobre o valor do dinheiro e dos juros.
Assim, o valor devido de R$9.700,00 vai sendo acrescido de juros, de tal forma que, até o dia do pagamento da segunda parcela de R$500,00, mais um mês terá se passado e, consequentemente, 2% sobre o valor devido são adicionados. Ou seja:
J = 0,02 x 9.700 = R$194,00.
Assim, você deverá, na data do pagamento da segunda parcela, o total de 9.700 + 194 = R$9.894,00.
E esse ciclo se repetirá até o pagamento da última parcela, em que é saldada a dívida referente ao valor emprestado e dos juros incorridos ao longo do tempo. Mas, é importante perceber um fenômeno interessante e até mesmo contraditório: a cada pagamento efetuado você deve menos, o que resulta em uma tendência à redução dos juros a serem pagos (lembre-se de que os juros são calculados sobre o valor devido); por outro lado, como cada parcela é paga em um momento mais distante no futuro, há uma tendência à elevação dos juros a serem pagos, uma vez que os juros são função do tempo, isto é, quanto maior o tempo, maior os juros.
Nos sistemas de amortização, o tempo causa dois efeitos simultâneos: a redução dos juros, pela redução do valor devido, e a sua elevação, devido ao tempo crescente no processo de amortização.
Nas amortizações de dívidas de longo prazo, como, por exemplo, no financiamento de imóveis, é comum ouvirmos queixas de mutuários de que, apesar de terem efetuado uma série de pagamentos, o saldo devedor só aumenta, ou seja, eles devem mais do que deviam antes. A explicação é que, como o valor inicial é muito alto, os juros também o são e, consequentemente, as parcelas iniciais não são suficientes para pagar o valor
proporcional ao valor financiado e os juros correspondentes, fenômeno que só se reverte anos mais tarde, com a redução do saldo devedor até a amortização completa.
Esses efeitos são considerados nos diferentes sistemas de amortização. Na realidade, a existência de diferentes sistemas de amortização se explica pelo fato de que há diversas formas dos efeitos dos juros (por conta do valor do dinheiro no tempo) a serem utilizados nos cálculos dos sistemas de amortização e, como consequência, no cálculo do valor das parcelas.
Vamos ver quais são os diferentes sistemas existentes.
4.1.2 Tipos de sistemas de amortização
A forma como os juros são tratados na amortização faz com que possamos encontrar diferentes sistemas de amortização. Abreu (2012) e Samanez (2010) apontam a existência dos seguintes sistemas de amortização:
- pagamento no final;
- pagamento periódico;
- sistema SAC;
- sistema Francês (tabela Price);
- sistemas SAM e SACRE (sistemas de amortizações crescentes).
Vamos discutir cada um deles, com maior ênfase nos sistemas SAC e sistema Price. É importante destacar que, conforme apontado por Samanez (2010), eventualmente os bancos e instituições financeiras criam sistemas de amortização diferentes dos listados, adequados as suas necessidades e /ou às situações específicas de mercado.
No filme O primeiro milhão (YOUNGER, 2000), o personagem Seth Davis é o filho de um juiz federal e tem em seu histórico o fato de ter montado um cassino em seu apartamento. Davis consegue emprego em uma corretora de valores em que os resultados são mais importantes que a ética e a honestidade. Visando conseguir seu primeiro milhão e provar ao pai que pode ser alguém na vida, acaba tendo problemas com o FBI, devido às negociatas.
No sistema de amortização com pagamento no final (também chamado de pagamento balão) (CORTÊS, 2012), como o nome indica, o pagamento ocorre de uma única vez, ao final do período previsto. Além do pagamento do valor envolvido, o qual pode ser o valor de um bem adquirido, o valor emprestado, ou similares, há o pagamento dos juros correspondentes, ou seja, os juros que incidem sobre o valor desde o momento inicial até o efetivo pagamento.
Repare que, ao falarmos de valor inicial, estamos nos referindo ao valor presente (VP). Por exemplo, o valor à vista de um bem, um valor monetário que é emprestado. Como o pagamento ocorre de uma única vez em um momento futuro, o valor a ser pago é o valor futuro (VF), que é o somatório do VP com os juros (J) pagos. Ou seja:
VF = VP + J
Os juros são calculados em função da taxa de juros (i) estabelecida para a transação e o tempo decorrido (n). Como regra geral, o regime utilizado é o de juros compostos, ou seja, a capitalização dos juros ocorre a cada período em que se aplica a taxa. Dessa forma, o pagamento do valor pode ser calculado pela fórmula utilizada no regime de juros compostos:
VF = VP x (1 + i)n
Exemplo: Um empreendedor solicita, em condições bastante favoráveis, um empréstimo de R$100.000, para aquisição de uma máquina. Fecha um contrato com a instituição financeira para pagar o empréstimo de uma púnica vez, um ano após o recebimento do valor, com uma taxa de 2,2% a.m. Quanto o empreendedor deverá pagar?
Utilizando a fórmula, temos:
o valor inicial (VP) e os juros incorridos ao longo do tempo, de tal forma que, na última parcela extingue-se a dívida, não restando qualquer saldo devedor.
O SAC prevê a separação dos valores a serem amortizados e dos cálculos envolvidos: o valor inicial (ou seja, o VP) é dividido igualmente entre as parcelas, desconsiderando a existência de juros. Por exemplo, na situação do empreendedor que utilizamos para analisar os sistemas e amortização por pagamento no final e pagamentos periódicos, como o valor do empréstimo foi de R$100.000,00, a ser saldado em 12 parcelas mensais, a porção das parcelas referentes a esse valor (denominado de principal ) é de R$8.333,33 (R $100.000,00 ÷ 12).
Mas, esse não será o valor da parcela: faltam ainda os juros, os quais serão adicionados ao valor de R $8.333,33. Os juros, diferentemente da amortização do principal, não são constantes ao longo de todas as parcelas: ao incidirem sobre o saldo devedor, com a redução desse saldo após o pagamento de cada parcela, também diminuirão.
Observe, por exemplo, que antes do pagamento da primeira parcela, o saldo devedor será de R$102.200, (R$100.000,00 mais R$2.200,00 de juros), Assim a parcela a ser paga deve ser composta dos R$8.333,33 e dos juros de R$2.200,00, totalizando, portanto, R$10.533,33.
Acontece que, ao pagarmos R$10.533,33, o saldo devedor se reduz para R$91.666,67 (R$102.200,00 menos R$10.533,33). Será sobre esse valor que incidirão os próximos juros, ou seja, 0,022 x 91.667,67 = R $2.016,67 (há uma pequena diferença nos centavos devido aos arredondamentos).
Com isso, o valor da segunda parcela será de R$8.333,33 + R$2.016,67 = R$10.350,00. Repare que esse valor é inferior ao da primeira parcela: essa é uma característica do sistema SAC: a redução das parcelas a serem pagas.
Vamos estudar o SAC em maior profundidade a seguir.
4.2 Sistema de amortização constante (SAC)
O sistema de amortização constante ou amortizações constantes, sistema hamburguês de amortização, ou ainda, simplesmente, SAC, apresenta características e formas de cálculo completamente diferentes dos outros sistemas vistos até o momento.
Esse sistema de amortização é definido por Abreu (2012, p. 105): “O sistema SAC é utilizado em financiamentos imobiliários e financiamentos a empresas por parte de entidades governamentais ou privadas. Esse financiamento é pago em prestações decrescentes”.
De acordo com Gimenes (2006), esse sistema é amplamente utilizado no Brasil, especialmente em financiamentos de longo prazo no setor produtivo. Torres (2006, p. 16) destaca seu uso “pelo antigo Banco Nacional da Habitação pelo fato de [...] a dívida na liquidação antecipada ser menor”, tendo sido instituído no Sistema Financeiro de Habitação (SFH) em 1971 (FARO, 2013).
Leia o artigo “Uma nota sobre amortização de dívidas: juros compostos e anatocismo” (FARO, 2013), que apresenta diferentes sistemas de amortização e os contextualiza historicamente ao discutir o Sistema Financeiro da Habitação e o anatocismo (termo jurídico para a cobrança de juros sobre juros), inclusive as implicações das eventuais prestações em atraso.
Vamos desenvolver uma planilha em Excel para calcular o valor das parcelas de um financiamento pelo SAC. Para isso, utilizaremos o exemplo do empreendedor que obteve um empréstimo de R$100.000,00 e vamos adicionar os valores e cálculos já efetuados, ou seja, o valor da amortização do principal a cada período (R$8.333,33).
Figura 1 - Cálculo dos lançamentos no sistema de amortização constante, para um VP = R$100.000,00, i = 2,2% e n = 12. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
As linhas da planilha foram identificadas (a, b, c, ...), de forma a facilitar as discussões e as células foram formatadas para suprimir as casas decimais, de forma a tornar mais fácil a visualização dos valores. Observe que o saldo inicial no período n = 1 é de R$100.000,00, ao qual foram adicionados R$2.200,00 de juros, totalizando, portanto, R$102.200,00 (linha “c”). Ou seja, esse é o valor devido ao final do período n = 1.
Calculamos, a seguir, o valor da parcela a ser paga nesse momento: os R$8.333,33, que foram obtidos pela divisão do VP R$100.000,00 em 12 parcelas, mais os juros do período que são de R$2.200,00 (2,2% de R $100.000,00).
Pois bem, como devemos R$102.000,00 e pagamos R$10.533,33 (2.200 + 8.333,33), nosso saldo devedor passa a ser de R$91.666,67 (102.000,00 menos 10.533,33). Ou seja, esse é o saldo devedor após o pagamento da primeira parcela de R$10.533,33. Com esse valor iniciamos o segundo período, sobre o qual incidirão os juros de 2,2%. Os valores referentes a esse período são mostrados na figura a seguir.
Figura 2 - Cálculo dos lançamentos no sistema de amortização constante, para um VP = R$100.000,00, i = 2,2% e n = 12, mostrando n = 1 e n = 2. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Observe que o valor na linha “d” permanece o mesmo: essa é a característica do SAC: a amortização do principal permanece a mesma ao longo do tempo. Por outro lado, o valor dos juros diminuiu, devido ao fato de que, se em n = 1, os 2,2% foram aplicados sobre os R$100.000,00, em n = 2, eles foram aplicados somente sobre R$93.683,33.
Os cálculos se repetem e chegamos a um saldo devedor de R$83.333,33. E a lógica continua sendo aplicada até o final do período previsto (n = 12), como pode ser observado na figura a seguir.
Por exemplo, calculando o valor da primeira parcela, temos:
PMT1 = 8.333,33 + {[100.000 – (1 – 1) x 8.333,33] x 0,022} = R$10.533,33.
Para a segunda parcela:
PMT2 = 8.333,33 + {[100.000 – (2 – 1) x 8.333,33] x 0,022} = R$10.350,00.
A última (12ª) parcela:
PMT12 = 8.333,33 + {[100.000 – (12 – 1) x 8.333,33] x 0,022} = R$8.516,67.
Uma vez mais, é importante destacar que não existe sistema de amortização que seja mais ou menos vantajoso do que outros. Ou seja, o fato do somatório das 12 parcelas do SAC ser de R$114.300,00, inferior, portanto, ao dos outros sistemas vistos anteriormente, não faz dele melhor que os demais: lembre-se de que o conceito do valor do dinheiro no tempo torna sem sentido somarmos os valores das parcelas para efeito de comparação.
O SAC e o sistema de amortização francês são os sistemas mais comumente utilizados nos diversos mercados. Se o SAC é utilizado para financiamentos no ramo imobiliário e empreendimentos de grande porte, o sistema de amortização francês é o mais comum no dia a dia: nos financiamentos de bens de consumo e feito por praticamente todas as lojas para os diversos clientes, bem como para os automóveis vendidos nas concessionárias.
Vamos estudar, então, o funcionamento desse método tão comum nas nossas rotinas.
4.3 Sistema de amortização francês (SAF)
Mesmo que não saibamos, o SAF é o sistema de amortização mais comumente utilizado e que temos contato no nosso dia a dia. O sistema de amortização francês , que é mais conhecido pelo nome de Tabela Price em homenagem ao economista inglês Richard Price, que publicou as tabelas financeiras no ano de 1771 (GIMENES, 2006; SAMANEZ, 2010), é o mais usual no nosso dia a dia. É o sistema utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral, como na compra de automóveis, eletrodomésticos, empréstimo pessoal.
A massificação do uso desse sistema tem como hipótese o fato de sua previsibilidade e a constância nos pagamentos, visto que, diferentemente de todos os demais sistemas de amortização, a tabela Price tem como característica o valor constante das parcelas ao longo do tempo. Ou seja, é a situação em que os clientes encontram como o mostrado no anúncio hipotético apresentado a seguir:
Refrigerador Supergelo, modelo XYZ, inox, duplex, painel touch , com degelo automático, linhas avançadas, puxador ergonômico 500l – branco – somente 12 parcelas mensais de R$229,99.
A facilidade de entendimento da forma de pagamento por parte dos consumidores nesse sistema exige, em contrapartida, certo grau de refinamento dos cálculos, visto que, para que as parcelas sejam iguais, elas
devem garantir perfeito equilíbrio entre dois fatores característicos aos sistemas de amortização, em razão do conceito do valor do dinheiro no tempo:
- a cada pagamento efetuado, o saldo devedor é menor e, consequentemente, os juros aplicados seriam menores a cada período;
- quanto mais distante for a parcela paga, maior o tempo entre ela e o momento inicial. Dessa forma, os juros seriam maiores, com o avanço das parcelas.
Equilibrar essas forças não seria uma tarefa fácil, exigindo estudos matemáticos bastante complexos. No entanto, uma análise mais próxima da situação nos permite identificar um atalho para solucionar o problema.
Observe que o que o sistema francês prevê que, independentemente do que acontece com os juros e com o tempo a cada parcela paga, o valor das parcelas deve ser igual. Ou seja, é uma questão de se calcular um valor de pagamento periódico (PMT) de uma série uniforme com n períodos, submetida ao regime de juros compostos, com uma taxa de juros i , que considere um valor inicial específico VP.
O artigo “Uma nota sobre amortização de dívidas e prestações constantes” (FARO, 2014) apresenta uma discussão sobre os sistemas de amortização de dívidas, com especial atenção aos de prestações constantes (Tabela Price), e a interpretação legal dada em algumas polêmicas decisões judiciais que determinam a não utilização do regime de juros compostos.
Esse valor pode ser obtido pelas fórmulas tradicionais de Matemática Financeira para séries uniformes:
No exemplo do empréstimo para o empreendedor, com VP = R$100.000,00, i = 2,2% a.m. e n = 12 meses, o valor das parcelas seria de:
Observação: caso sejam séries uniformes antecipadas, com o pagamento ocorrendo no início do período, a fórmula a ser utilizada será:
E, no caso de pagamentos antecipados, o valor das parcelas seria de:
Masakazu Hoji é um dos principais autores da área financeira no Brasil: mestre em Ciências Contáveis e Atuariais, foi executivo financeiro por mais de 20 anos, em empresas como Toshiba, Yakult e Nec. Professor e coordenador de pós-graduação em diversas instituições de ensino superior, atua como consultor em planejamento, perícia contábil e consultoria financeira (HOJI, 2004).
Figura 6 - Proporção entre amortização do principal e pagamento de juros nas parcelas pelo sistema Price. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Repare que o valor total das parcelas permanece constante, mas isso ocorre pela redução gradativa da proporção referente ao pagamento dos juros, enquanto a proporção da amortização do principal se reduz. A propósito, quanto maior a taxa de juros, maior é a proporção dos juros na composição do valor das parcelas.
Como não poderia deixar de ser, o saldo devedor vai sendo reduzido conforme há o pagamento das parcelas, até que, com o pagamento da última parcela ele chaga a zero, saldando integralmente o valor inicial e todos os juros incorridos ao longo do tempo, como pode ser visto na tabela a seguir.
Figura 7 - Planilha completa com cálculo dos lançamentos pela tabela Price, para um VP = R$100.000,00, i = 2,2% e n = 12. Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Há inúmeros aspectos que envolvem os sistemas de amortização, sendo que cada sistema tem suas particularidades e formas de cálculo. Também, como citado, o sistema francês (tabela Price) é o sistema mais comum. Vamos explorar um pouco mais esse sistema, bem como estudar algumas de suas variantes.
4.4 Aplicações e variantes do sistema de amortização francês (SAF)
O sistema de amortização francês é, como já falamos, o mais usual e está presente no nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disso.
O sistema de amortização francês (Tabela Price) é também conhecido como sistema de prestação constante (CASAROTTO FILHO; KOPITTKE, 2010) e é essa característica que o faz ser tão especial e tão comumente utilizado.
Os valores fixos das parcelas facilita o planejamento orçamentário de pessoas e empresas. Além disso, o fato de ser um valor constante facilita as comunicações, visto que somente o valor da parcela de um financiamento precisa ser veiculado, ao invés do valor distinto de cada uma delas. Para o comércio, isso se torna um grande aliado, pois a mensagem que se busca passar aos consumidores é sucinta e objetiva, sendo algo como “Produto X: 10 parcelas de R$XXX”.
Apesar dessa facilidade para comunicação e compreensão dos envolvidos, o sistema da tabela Price é criticado por alguns autores: eles interpretam o valor constante das parcelas como uma artificialidade, na qual o valor da amortização do principal é reduzida no início somente para que a soma com os juros dê um valor constante, o que faz com o valor do principal amortizado caia muito lentamente e, por conta disso, os juros iniciais sejam muito altos.
Dessa forma, surgem outros sistemas que buscam compensar esse aspecto, bem como sistemas que procuram lidar com o efeito inflacionário.
Vamos estudar esses sistemas a seguir.
4.4.1 Outros sistemas de amortização
É fácil perceber que o sistema de amortização pela tabela Price tem uma grande vantagem sobre os demais devido ao fato de ter suas parcelas fixas, ao passo que o sistema SAC parece ser o sistema com a lógica matemática mais coerente: o valor do principal é dividido por igual entre as parcelas e o pagamento dos juros é calculado em função do saldo devedor.
No entanto, essa correção matemática faz com que as parcelas iniciais sejam muito mais altas que as finais (SAMANEZ, 2010), o que eventualmente é causa de incapacidade de pagamento e inadimplência.
Uma alternativa é o sistema misto , ou sistema de amortização misto (ou, simplesmente, SAM), o qual procura equilibrar os extremos que são os sistemas de amortização constante e o sistema de amortização francês: o valor da prestação no SAM é a média aritmética entre a parcela em condições equivalentes no SAC e no SAF.
Utilizando ainda o exemplo do empreendedor com que estamos trabalhando, o valor da primeira parcela pelo SAM seria de:
Já a segunda parcela:
E a última:
Observação: caso desejemos saber o valor da prestação que corresponde à amortização do principal e do pagamento dos juros, é preciso calcular a média aritmética também desses componentes nos dois sistemas, visto que o valor da parcela em si no SAM é definido como 50% de cada um deles.
O histórico inflacionário no Brasil fez com que os bancos e instituições financeiras buscassem alternativas para reajuste do valor das parcelas, o que era extremamente importante para os financiamentos de longo prazo.
Ainda que nos dias de hoje haja reclamação sobre a inflação no Brasil, a situação já foi muito pior, tendo alcançado mais de 80% no mês e “após quase uma dezena de planos econômicos fracassados, o Plano Real marcou o final do período de instabilidade monetária e altas taxas de inflação, que chegaram a atingir 5.000% ao ano, de julho de 1993 a junho de 1994” (ROSSI et al., [s/d]).
