Educação Financeira na Matemática: Aprendizagem de Jovens e Adultos, Redação de Matérias técnicas

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INSTITUTO PEDAGÓGICO BRASILEIRO

ALINE DE OLIVEIRA GOMES

EDUCAÇÃO FINANCEIRA NA APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

CONTAGEM – MG

ALINE DE OLIVEIRA GOMES

EDUCAÇÃO FINANCEIRA NA APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado a Instituto Pedagógico

Brasileiro como pré-requisito para

obtenção do título de especialista em:

Educação Financeira.

CONTAGEM – MG

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO......................................................................................... 4

2. MATEMÁTICA FINANCEIRA.................... Erro! Indicador não definido.
   2. 1 Juros simples ........................................ Erro! Indicador não definido.
   3. 1 .1 Conceito Juros simples ........................ Erro! Indicador não definido.
   4. 1 .2 Taxas equivalentes – Juros simples.................................................... 6
   5. 2. Juros compostos ................................................................................... 6
   6. 2. 1 Conceito Juros compostos .................................................................. 8

2.2.2 Taxas equivalentes – Juros compostos .............................................. 8

2. 3 Cartão de crédito .................................................................................. 11
3. 4 Financiamento com parcelas iguais sem entrada ................................ 13
4. 5 Financiamento com parcelas iguais com entrada ................................ 17

3. CONCLUSÃO ........................................................................................ 21

4. REFERÊNCIAS ..................................................................................... 22

1. INTRODUÇÃO

Nos últimos anos o ensino possibilitou a inserção novamente de Jovens e

Adultos que, por algum motivo, tiveram que abandonar os estudos, para trabalhar, por

questão financeira, ou por questões pessoais.

O retorno desses alunos para a modalidade de ensino Educação de Jovens de

Adultos (EJA), demonstrou a necessidade de um currículo diferencial para trabalhar

com esse grupo de alunos, neste currículo é importante trabalhar conteúdos

relacionados ao dia-a-dia dos alunos, portanto a matemática financeira relacionada

bem o conteúdo vivenciado, por se tratar de uma aplicação da matemática , onde

pode ser abordado assuntos como juros, descontos, simulação de empréstimos.

Segundo José Eustáquio Romão, o objetivo do processo é conscientizar a

sociedade é um processo de conhecimento. Enquanto tal, ele constitui o processo de

construção e organização da reflexão coletiva sobre as determinações naturais e

histórico-sociais. Além disso o ato educativo é o processo de leitura crítica do mundo,

para que nele possamos intervir, a fim de orientar o sentido daquelas determinações

para um projeto de sociedade mais democrático, mais humano e mais feliz para todos.

(Romão, 2007: 131)

O objetivo do Ensino é sempre tentar relacionar a parte teórica, aprendida na

escola, com a parte prática vivenciada por cada indivíduo, demonstrando assim a

importância da matemática para o nosso cotidiano e despertando um maior interesse

por parte dos alunos que passaram tanto tempo fora da sala de aula

𝒏

= 𝟓𝟎𝟎𝟎 ×

× 𝟖 =

𝒏

Logo, o saldo final será o capital inicial acrescido dos juros.

Exemplo 2. 1 .1.2 Qual o saldo final de um boleto no valor de 𝑹$ 𝟔𝟕𝟎, 𝟎𝟎 com juros

simples de 𝟎, 𝟖%𝒂. 𝒅 que está com atraso de 11 dias?

𝒇

𝒏

= 𝑪 × 𝒊 × 𝒏 = 𝟔𝟕𝟎 × 𝟎, 𝟖% × 𝟏𝟏 =

𝒏

= 𝟔𝟕𝟎 ×

× 𝟏𝟏 =

𝒏

𝒇

𝒏

Exemplo 2. 1 .1.3 Calcule o saldo final de um boleto no valor de 𝑹$𝟖𝟐𝟎, 𝟎𝟎 com juros

de mora de 𝟎, 𝟐%, com 𝟐𝟎 dias de atraso.

2. 1 .2 Taxas equivalentes – Juros simples

As taxas equivalentes são taxas que quando são aplicadas ao mesmo valor

em dinheiro, em um mesmo período de tempo, produzem o mesmo resultado final.

Portanto se dizermos que as taxas são proporcionais, está implícito que tratamos do

regime de capitalização simples. Já, quando se aborda as taxas equivalentes,

usamos o regime de capitalização composta, ou seja, taxa de juros compostas.

Nos juros simples será possível fazer equivalências de taxas de juros de

qualquer período, basta saber quanto um determinado período cabe no outro. Neste

sistema os juros são somados a cada período.

Sabendo que 𝒊

𝒅

é a taxa de juros ao dia e 𝒊

𝒎

é a taxa de juros ao mês,

considerando que o mês comercial tem 𝟑𝟎 dias, e que ambas as taxas são

equivalentes a relação de uma taxa com a outra é dada por:

𝒎

= 𝟑𝟎 × 𝒊

𝒅

Exemplo 2. 1 .2.1 Qual a taxa mensal equivalente sabendo que a taxa ao dia é de 𝟕%?

𝒅

𝒎

= 𝟑𝟎 × 𝒊

𝒅

𝒎

= 𝟑𝟎 × 𝟕 →

𝒎

Portanto, a taxa de 𝟕% 𝒂. 𝒅 é equivalente a 𝟐𝟏𝟎% 𝒂. 𝒎.

Exemplo 2. 1 .2.2 Qual a taxa de juros diária, considerando uma taxa de juros mensal

de 𝟐% ao mês, no regime de capitalização simples?

𝒎

𝒅

𝒎

𝒎

𝒎

Portanto, a taxa de 𝟐% 𝒂. 𝒎. é equivalente a 𝟎, 𝟎𝟔𝟔𝟔% 𝒂. 𝒅.

2.2 Juros compostos

2.2.1 Conceito

Os juros compostos são somados ao capital para o cálculo taxas equivalentes

são taxas que quando são aplicadas ao mesmo valor em dinheiro, popularmente

conhecida como juros sobre juros. É muito utilizado no sistema financeiro como na

aplicação em poupança e empréstimos, por ser mais vantajosa.

O cálculo dos juros compostos é dado pela seguinte expressão:

𝟏

𝟐

= 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍

𝟏

= 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍.

Exemplo 2. 2. 2. 1 Qual a taxa de juros mensal equivalente a 𝟒% 𝒂. 𝒅. no regime de

capitalização composta?

Temos:

𝑑

1

1

2

Portanto:

𝑚

2

= [

1

𝑛

2

𝑛

1

− 1 ] × 100 =

2

= [( 1 +

30

1

− 1 ] × 100 =

2

= [

30

− 1 ] × 100 =

2

× 100 = 2 , 24 × 100 = 22 ,4% 𝑎. 𝑚

Os juros de 4%𝑎. 𝑑 são equivalentes aos juros de 22 ,4% 𝑎. 𝑚.

Exemplo 2. 2. 2. 2 Qual a taxa de juros anual equivalente a 6,5% 𝒂. 𝒎 no regime de

capitalização composta?

Temos:

𝒎

𝟏

𝟏

𝟐

Portanto:

𝟐

= [

𝟏

𝒏

𝟐

𝒏 𝟏

− 𝟏] × 𝟏𝟎𝟎 =

𝟐

= [(𝟏 +

𝟑𝟎

𝟏

− 𝟏] × 𝟏𝟎𝟎 =

𝟐

= [

𝟑𝟎

− 𝟏] × 𝟏𝟎𝟎 =

𝟐

= (𝟑, 𝟐𝟒 − 𝟏) × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐, 𝟐𝟒 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟐, 𝟒% 𝒂. 𝒎

Exemplo 2.2.2.3 Qual a taxa de juros ao dia equivalente a 𝟕, 𝟖% 𝒂. 𝒎, no regime de

capitalização composta.

Temos:

𝒎

𝟏

𝟏

𝟐

Portanto:

𝟐

= [

𝟏

𝒏

𝟐

𝒏 𝟏

− 𝟏] × 𝟏𝟎𝟎 =

𝟐

= [(𝟏 +

𝟏

𝟑𝟎

− 𝟏] × 𝟏𝟎𝟎 =

𝟐

= [(𝟎, 𝟎𝟕𝟖)

𝟏

𝟑𝟎 − 𝟏] × 𝟏𝟎𝟎 =

𝟐

= (𝟏, 𝟎𝟎𝟑 − 𝟏) × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟏% 𝒂. 𝒅

Os juros de 𝟕, 𝟖% 𝒂. 𝒎 equivale a juros de 𝟎, 𝟐𝟓𝟏% 𝒂. 𝒅.

Exemplo 2.2.2.4 Uma pessoa toma 𝑹$ 𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 emprestado a juros de 𝟑% 𝒂. 𝒎 pelo

prazo de 8 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?

Qual a taxa de juros aplicada ao dia por este empréstimo?

Considerando

𝒇

= 𝟓𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝟑%)

𝟖

𝒇

= 𝟓𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 +

𝟖

𝒇

= 𝟓𝟎𝟎𝟎 ×

𝟖

Assim, os encargos serão cobrados sobre a diferença 1000 − 150 = 850 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠.

As taxas cobradas quando é pago apenas o valor mínimo da fatura são juros de

9,99% mais IOF de 0,0041% ao dia + 0,38% por operação. Como a transação durará

30 dias a taxa de IOF total é 0,0041% x 30 + 0,38 = 0,503%. Então,

× 850 = 84 , 92 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠;

× 850 = 4 , 28 𝑟𝑒𝑖𝑎𝑠;

Assim o valor da fatura ao final do segundo mês será: 798,32 + 83,77 = 882,

𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. Para o terceiro mês, o pagamento mínimo será:

𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =

× 882 , 09 = 132 , 31 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠.

Os encargos serão cobrados sobre 882 , 09 − 132 , 31 = 749 , 78 reais.

𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 = 9 , 99 × 749 , 78 = 74 , 90 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠

× 749 , 78 = 3 , 77 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠;

Assim o valor da fatura ao final do terceiro mês será: 749 , 78 + 78 , 67 =

Exercício 2 .3.2 Simule o valor da dívida do Ricardo ao final de 6 meses.

Exercício 2 .3.3 Em quanto tempo a dívida do Ricardo se reduziria a metade da dívida

inicial? Seria possível estimar em quantos meses, ou anos, ele quitaria a dívida se

continuasse pagando somente o mínimo em cada mês?

Exercício 2. 3. 4 Em grupos, identifique os encargos cobrados nas faturas de cartão

de crédito que trouxeram e calcule o valor: a) dos encargos que incidem sobre a

mesma em caso de 10 dias de atraso. b) dos encargos no caso de pagamento

mínimo.

Nota ao professor: Algumas operadoras não deixam claros os encargos cobrados no

atraso do pagamento. Incentive os alunos a entrarem em contato com as operadoras

para esclarecer as dúvidas. Para o exercício 2.3.4 sugiro que se induza o aluno a

perceber que ao final de cada mês ele paga apenas 1 − (0,85. (1 + (0.0999 +

0,00503)) = 1 − 0,9391905 ≈ 6% da dívida do mês anterior. Se possível, utilize uma

planilhas eletrônica para mostrar que ele levará mais de sete anos para quitar esta

dívida.

2.4 Financiamento com parcelas iguais sem entrada

O o valor da parcela é o preço do produto à vista dividido em prestações

mensais, mas para a venda parcelada, cobram-se parcelas a mais, que

representariam os juros em real. E a taxa de juros, quanto vale? Para calcular os juros

de tipos de financiamento e empréstimos, primeiro precisamos entender de que forma

funciona este tipo de financiamento, o de parcelas iguais. Este sistema de

amortização é conhecido como sistema PRICE.

Exemplo 2.4.1 A Tabela 1 a seguir mostra como é feita a amortização e a atualização

de uma dívida de R$1.000,00, com juros de 4,24% a.m, divididas em 8 prestações

mensais de R$150,00, conforme Quadro 1.

Quadro 1: Descrição do exemplo 2.4.

Como o valor do dinheiro muda com o passar do tempo, neste caso 1%,

vamos escrever cada uma das cinco parcelas em um mesmo tempo. Para facilitar os

cálculos vamos colocar no 4º período. Assim,

0 → 4 ⟹ 300 × ( 1 , 01 )

4

1 → 4 ⟹ 𝑃 × ( 1 , 01 )

3

2 → 4 ⟹ 𝑃 × ( 1 , 01 )

2

3 → 4 ⟹ 𝑃 ×

1

4 → 4 ⟹ 𝑃 ×

0

Agora que todo fluxo está em uma mesma data podemos fazer operações com

as parcelas. O preço do rádio é igual a soma das parcelas, então podemos escrever

a equação:

300 ×

4

2

3

Nota-se que as parcelas da parte direita da igualdade formam uma PG de

razão 1,04. Para calcular esta soma, utilizaremos então a fórmula de soma de PG:

𝑛

1

×

𝑛

Fazendo

𝑛

= 300 ×

4

1

temos:

300 ×

4

𝑃 × ( 1 , 01

4

300 × 1 , 0406 =

𝑃 ×

𝑃 × 0 , 0406

312 , 18 × 0 , 01

O valor da prestação é R$76,89.

De maneira geral, considere um empréstimo 𝐶, financiado em 𝑛 prestações

iguais a 𝑃 com juros de 𝑖%. O fluxo de caixa ilustrado na Figura 3 representa esse

problema:

Figura 3 – Fluxo de caixa generalizando o problema de financiamento com 𝑛 parcelas iguais

Escrevendo todos os valores no tempo 𝑛 temos:

𝐶 × ( 1 +

𝑛

= 𝑃 + 𝑃 × ( 1 +

) + 𝑃 × ( 1 +

2

+ ⋯ + 𝑃 × ( 1 +

𝑛− 1

Utilizando a fórmula de soma de PG no lado direito da igualdade, temos:

𝐶 × ( 1 +

𝑛

𝑃 × (( 1 +

𝑛

𝐶 × ( 1 +

𝑛

𝑃 × (( 1 +

𝑛

𝐶 × ( 1 +

𝑛

×

𝑛

(𝐶 − 𝐸) × ( 1 +

𝑛

𝑃 × (( 1 +

𝑛

(𝐶 − 𝐸) × ( 1 +

𝑛

𝑃 × (( 1 +

𝑛

(𝐶 − 𝐸) × ( 1 +

𝑛

×

𝑛

E quando o valor da entrada tem o mesmo valor da parcela? Neste caso, o

cálculo do valor da parcela sofre uma pequena alteração. Seja um financiamento de

um capital 𝐶, financiado em 𝑛 parcelas iguais, com a primeira parcela no ato da

compra e juros de 𝑖%. A Figura 5 mostra o fluxo de caixa deste tipo de financiamento.

Figura 13 - Fluxo de caixa de um financiamento em n parcelas iguais com a primeira no ato

da compra.

Escrevendo todos os valores no tempo 𝑛 − 1 temos:

(𝐶 − 𝑃) × ( 1 +

𝑛− 1

= 𝑃 + 𝑃 × ( 1 +

) + 𝑃 × ( 1 +

2

+ ⋯ + 𝑃 × ( 1 +

𝑛− 2

𝐶 × ( 1 +

𝑛− 1

− 𝑃 × ( 1 +

𝑛− 1

) + ⋯ + 𝑃 × ( 1 +

𝑛− 2

𝐶 × ( 1 +

𝑛− 1

) + ⋯ + 𝑃 × ( 1 +

𝑛− 2

+ 𝑃 × ( 1 +

𝑛− 1

Utilizando a fórmula de soma de PG no lado direito da igualdade, temos:

𝐶 × ( 1 +

𝑛− 1

𝑃 × (( 1 +

𝑛

𝐶 × ( 1 +

𝑛− 1

𝑃 × (( 1 +

𝑛

𝐶 × ( 1 +

𝑛− 1

×

𝑛

Exemplo 2. 5 .1 Um automóvel no valor de R$20.000,00 é financiado em 10 parcelas

iguais, com juros de 1% ao mês e entrada de R$8.000,00. Calcule o valor da parcela.

Temos que

𝑛 = 10 e

Substituindo os valores na fórmula:

× ( 1 +

𝑛

×

𝑛

( 20000 − 8000 ) × ( 1 +

10

×

10

12000 × ( 1 , 01 )

10

×

10

Assim o valor da parcela é de R$1.266,98.

Exemplo 2.5. 2 Um notebook no valor de R$2.000,00 é vendido em 10 prestações

iguais e mensais, com a primeira parcela no ato da compra e juros de 2% ao mês.