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Apresentação ...................................................................................................................................................... 2
- Juros Simples ................................................................................................................................................. 3
- Juros Compostos .......................................................................................................................................... 11
- Taxa Real, Aparente, e de Inflaçã
- Custo Real Efetivo ....................................................................................................................................... 30
- Descontos ..................................................................................................................................................... 32
- Equivalência de Capitais .............................................................................................................................. 41
- Rendas Certas (Rendas Uniformes) ............................................................................................................. 51
- Rendas Perpétuas ......................................................................................................................................... 60
- VPL e TIR .................................................................................................................................................... 62
- Sistemas de Amortização ........................................................................................................................... 72
Sumário
FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
1. JUROS SIMPLES
1. (FGV / CGM Niterói - 2018) Uma fatura de cartão de crédito foi paga com dois meses de atraso,
e o valor pago, incluindo os 25% de juros correspondentes ao bimestre, foi de R$ 1.100,00.
O valor da fatura sem os juros era de
a) R$ 825,
b) R$ 842, 00
c) R$ 860,
d) R$ 874,
e) R$ 880,
Comentários:
Vamos chamar o valor da fatura de 𝒙, uma vez que não sabemos seu valor e é isto que a banca nos questiona.
A fatura 𝑥 foi paga com atraso de 1 bimestre com juros de 25% resultando em um Montante de R$ 1.100,00.
Iremos resolver esta questão com base na porcentagem e também na equação dos Juros.
Matematicamente teremos a seguinte equação:
× 𝑥 = 1. 100
Ou seja, o valor da fatura mais juros de 25% em cima da fatura resulta no Montante pago de R$ 1.100.
Resvolendo e calculando 𝑥.
× 𝑥 = 1. 100
No regime de Juros Simples, o Montante é calculado pela seguinte equação:
𝑀 = 𝐶 × ( 1 + 𝑖 × 𝑡)
c) 2,36% a.m.
d) 2,44% a.m.
e) 2,50% a.m.
Comentários:
Vamos dividir o problema em 2 e, posteriormente, resolver o sistema.
Um capital 𝐶 aplicado a juros simples produz o montante de R$ 7.200,00 em cinco meses.
Iremos aplicar diretamente a fórmula do Montante em regime de Juros Simples.
𝑀 = 𝐶 × ( 1 + 𝑖 × 𝑡)
7. 200 = 𝐶 × ( 1 + 𝑖 × 5 )
𝟕. 𝟐𝟎𝟎 = 𝑪 × (𝟏 + 𝟓𝒊) 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 (𝑰)
Um capital 𝐶 aplicado a juros simples produz o montante de R$ 7.680,00 em oito meses.
Aplicando novamente a fórmula do Montante teremos:
𝑀 = 𝐶 × ( 1 + 𝑖 × 𝑡)
7. 680 = 𝐶 × ( 1 + 𝑖 × 8 )
𝟕. 𝟔𝟖𝟎 = 𝑪 × (𝟏 + 𝟖𝒊) 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 (𝑰𝑰)
Perceba, então, que temos um Sistema composto por 2 equações (𝐼 e 𝐼𝐼) e 2 incógnitas (𝐶 e 𝑖).
Você pode resolver isolando o Capital na primeira e substituindo na segunda. Ou, armando o Sistema e
dividindo uma equação pela outra.
Vamos adotar o primeiro caminho. Iremos isolar o valor de 𝑪 na equação (𝑰) e substituir na equação (𝑰𝑰).
7. 200 = 𝐶 ×
Isolando 𝐶:
Substituindo na equação (𝐼𝐼):
7. 680 = 𝐶 × ( 1 + 8 𝑖)
×
A partir de agora é matemática básica. Vamos resolver algebricamente esta equação e obter o valor da Taxa
de Juros.
7. 680 ×
= 7. 200 ×
→ 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 𝒐𝒖 𝟐, 𝟓% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔
Gabarito: Alternativa E
3. (FGV / Banestes - 2018) Caso certa dívida não seja paga na data do seu vencimento, sobre ela
haverá a incidência de Juros de 12% a.m.. Se essa dívida for quitada com menos de um mês de
atraso, o regime utilizado será o de Juros simples.
Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no vencimento, para
quitá-la com 8 dias de atraso, será preciso desembolsar:
a) R$ 3.096,
b) R$ 3.144,
c) R$ 3.192,
d) R$ 3.200,
e) R$ 3.252,
Comentários:
A banca nos questiona qual o valor do Montante necessário para pagar uma dívida de R$ 3.000,00 com 8
dias de atraso a uma Taxa de Juros simples de 12% ao mês (30 dias).
Em Regime de Juros Simples, o Montante é calculado pela seguinte equação.
𝑀 = 𝐶 × ( 1 + 𝑖 × 𝑡)
Onde,
- Compra a prazo, sendo uma entrada no valor de R$ 2.200,00 e o pagamento de uma parcela adicional no
valor de R$ 2.250,00 após 1 mês da data da compra → Azul
Se no ato da compra a pessoa deu de entrada R$ 2.200,00, ficou faltando pagar um valor de Capital igual a
R$ 1.800,00 (diferença dos valores no tempo "0"), correto?
A pessoa deveria pagar um Capital de R$ 1.800,00. Porém, com a incidência dos Juros Simples, acabou por
pagar, 1 mês depois, um Montante de R$ 2.250,00.
Ou seja, o comprador pagou R$ 450,00 de Juros ( 2. 250 − 1. 800 ).
Em Regime de Juros Simples, os Juros são calculados pela seguinte equação:
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑡
Onde,
𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 1 𝑚ê𝑠
Iremos substituir os valores e calcular a taxa mensal de Juros da operação.
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑡
450 = 1. 800 × 𝑖 × 1
→ 𝒊 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝒐𝒖 𝟐𝟓% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔
Obs: "Professor, porque você utilizou a fórmula dos Juros Simples se no enunciado a banca não faz referência
qual a modalidade de capitaliação que está sendo adotada?"
Recorde-se, caro aluno, de que para o período igual a uma unidade de tempo (1 mês no nosso caso), o
Montante resultante pelo regime de Juros Simples é igual ao Montante em regime de Juros Compostos.
Resumindo: Para o período igual a 1 unidade de tempo, é indiferente a aplicação da fórmula dos Juros
Simples ou Juros Compostos (próxima aula).
Gabarito: Alternativa E
5. (FGV / ISS Cuiabá - 2014) O número de meses necessários para que um investimento feito na
poupança triplique de valor (assumindo que esta remunere à taxa de 6% ao ano, no regime de
juros simples) é de
a) 34
b) 200
c) 333
d) 400
e) 50
Comentários:
Quando se trata de Juros Simples, esse é o estilo mais cobrado pela FGV. Ela pergunta em quanto tempo um
Capital dobra de valor, ou triplica, ou quadriplica, etc.
Vamos resolver essa questão de 2 maneiras para que você escolha a maneira mais confortável e faça a
mesma mecânica escolhida no dia da sua prova.
Método Algébrico
O enunciado quer saber o tempo para que um investimento triplique de valor a uma taxa de Juros de 6% ao
ano.
Calculando os Juros dessa aplicação.
Iremos aplicar a fórmula dos Juros e calcular o valor do tempo necessário para o Capital triplicar.
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑡
200 = 100 × 0 , 06 × 𝑡
2 = 0 , 06 × 𝑡 → 𝒕 =
Atenção. A banca nos questiona o valor em MESES. Vamos deixar nossa resposta em fração e converter de
ano para mês.
Em 1 ano há 12 meses. Logo,
× 12 → 𝒕 = 𝟒𝟎𝟎 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
Perceba que o final da resolução (e obviamente o resultado) é igual para os 2 métodos de resolução. Muda
apenas a ideia de como proceder. Escolha o que você se sinta mais confortável.
Gabarito: Alternativa D
2. JUROS COMPOSTOS
6. (FGV / BANESTES – 2018) Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros compostos de
24% a.a. com capitalizações bimestrais. Depois de quatro meses de capitalização sem que
houvesse qualquer depósito adicional ou qualquer retirada, o proprietário desse montante faz
um saque de R$ 608,00 e o restante do dinheiro continuou a ser capitalizado nas mesmas
condições.
Seis meses após o início dessa aplicação, o valor acumulado era:
a) R$ 5.000,
b) R$ 4.998,
c) R$ 4.992,
d) R$ 4.948,
e) R$ 4.942,
Comentários:
Esta é uma questão bem completa sobre Juros Compostos que eu acredito que cairá na sua prova. Então,
mesmo que ela tenha um pouco mais de dificuldade, coloquei-a por primeiro para que você fique bem atento
à resolução.
Primeiro passo é converter a Taxa Nominal para a Taxa Efetiva.
Taxa Nominal é a taxa de juros cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de
capitalização. Observe que a taxa fornecida no enunciado é uma taxa nominal.
𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
Nunca resolva um exercício usando a taxa nominal. Sempre devemos passar para a unidade de tempo do
período de capitalização. Então tenha em mente: “ quem manda é o período de capitalização ”.
E como passamos da unidade de tempo do período da taxa nominal (ano) para a unidade de tempo do
período de capitalização (bimestre)?
Basta fazermos uma simples divisão/multiplicação.
Em 1 ano há 6 bimestres. Então, a Taxa Efetiva bimestral será um sexto da taxa anual.
𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐵𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝑩𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
✓ Essa será a taxa que devemos utilizar no exercício.
Depois desse primeiro passo (perceba que a explicação é extensa para que você possa entender o passo a
passo. Mas, na hora da prova, você consegue fazer essa passagem em apenas uma linha ou até mesmo fazer
a divisão “de cabeça”), iremos calcular o Montante após 4 meses de aplicação.
“Depois de quatro meses de capitalização sem que houvesse qualquer depósito adicional ou qualquer
retirada, o proprietário desse montante faz um saque de R$ 608,00...”
Em regime de Juros Compostos, o Montante é calculado pela seguinte equação:
𝑀 = 𝐶 × ( 1 + 𝑖)
𝑡
Onde,
Vamos substituir os valores e calcular o Montante.
𝑀 = 𝐶 × ( 1 + 𝑖)
𝑡
𝑀 = 4. 800 × ( 1 + 0 , 04 )
1
𝑀 = 4. 800 × 1 , 04 → 𝑴 = 𝟒. 𝟗𝟗𝟐
Gabarito: Alternativa C
7. (FGV / BANESTES - 2018) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao
mês. Depois de 3 meses de capitalização sem que houvesse qualquer retirada, o detentor desse
montante faz um saque de R$ 562,00 e o restante do dinheiro continua a ser capitalizado nas
mesmas condições.
Dois meses após essa retirada, o valor acumulado na aplicação é:
a) R$ 2.466,
b) R$ 2.480,
c) R$ 2.500,
d) R$ 2.541,
e) R$ 2.626,
Comentários:
Perceba que a FGV adora este estilo de cobrança. Vamos por parte.
Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao mês durante 3 meses. Iremos aplicar a
fórmula do Montante em regime de Juros Compostos e calcular o valor deste.
𝑀 = 𝐶 ×
𝑡
𝑀 = 2. 000 × ( 1 + 0 , 1 )
3
𝑀 = 2. 000 × 1 , 1
3
𝑀 = 2. 000 × 1 , 331 → 𝑴 = 𝟐. 𝟔𝟔𝟐
"o detentor desse montante faz um saque de R$ 562,00"
Então, ainda restará nas mãos do detentor um valor igual a:
"o restante do dinheiro continua a ser capitalizado nas mesmas condições por 2 meses."
Ou seja, esse valor de R$ 2.100 continuará aplicado por mais 2 meses a uma taxa de juros de 10 % ao mês
(mesmas condições).
Sendo assim, o Montante final será:
𝑀 = 𝐶 × ( 1 + 𝑖)
𝑡
𝑀 = 2. 100 ×
2
Observe que o Capital desta segunda operação é o valor restante que continua na mão do dententor do
dinheiro. Ele obteve um Montante de R$ 2.662 e retirou R$ 562. Logo, o que continua aplicado é igual a
diferença entre o que ele obteve e o que ele retirou, isto é, R$ 2.100.
Calculando o Montante final:
𝑀 = 2. 100 × ( 1 + 0 , 1 )
2
𝑀 = 2. 100 × 1 , 1
2
𝑀 = 2. 100 × 1 , 21 → 𝑴 = 𝟐. 𝟓𝟒𝟏
Gabarito: Alternativa D
8. (FGV / BANESTES – 2018) Um capital de R$ 2.662,00 é capitalizado sob regime de juros
compostos, ao longo de 4 meses, à taxa efetiva de 10% ao mês, produzindo um montante M.
Para que R$ 2.000,00 produzam o mesmo montante M, ele deve ser capitalizado nessas mesmas condições
durante um período igual a:
a) 8 meses
b) 7 meses
c) 6 meses
d) 4 meses
e) 3 meses
Comentários:
Um capital 𝐶 de R$ 2.662,00 é capitalizado sob regime de juros compostos, ao longo de 4 meses, à taxa
efetiva de 10% ao mês, produzindo um montante M.
b) 7.200 reais
c) 7.800 reais
d) 7.986 reais
e) 8.016 reais
Comentários:
Gustavo obtém o empréstimo em Regime de Juros Compostos. Nesse regime, o Montante é calculado pela
seguinte equação:
𝑀 = 𝐶 ×
𝑡
Onde,
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 10% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0 , 1
Vamos substituir os valores e calcular o Montante devido por Gustavo.
𝑀 = 𝐶 × ( 1 + 𝑖)
𝑡
𝑀 = 6. 000 ×
3
𝑀 = 6. 000 × 1 , 1
3
𝑀 = 6. 000 × 1 , 331 → 𝑴 = 𝟕. 𝟗𝟖𝟔
Gabarito: Alternativa D
10. (FGV / SEFAZ RO – 2018) A taxa efetiva trimestral, que é equivalente a uma taxa nominal de
120% ao ano, capitalizados mensalmente, é igual a
a) 21,78%
b) 30,00%
c) 33,10%
d) 46,41%
e) 50,00%
Comentários:
Primeiro passo é converter a Taxa Nominal para a Taxa Efetiva.
𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
Em 1 ano há 12 meses. Então, a Taxa Efetiva mensal será a taxa anual dividida por 12.
𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑀𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙
𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝑴𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍
Segundo passo é calcular a Taxa Efetiva trimestral equivalente à Taxa Efetiva mensal de 10%.
Ou seja, uma taxa efetiva mensal capitalizada por 3 meses (1 trimestre) resultará em que taxa efetiva
trimestral?
Para acharmos a taxa equivalente tomamos como base a potenciação.
𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙
3
𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
3
𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
3
𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
Gabarito: Alternativa C
11. (FGV / BANESTES – 2018) Um contrato de empréstimo é firmado com taxa efetiva de juros, no
regime de capitalização composta, de 44% ao bimestre. Entretanto, a redação do contrato não
faz referência a qualquer taxa efetiva e sim a uma taxa trimestral com capitalização mensal de:
a) 60,0%
b) 61,6%
c) 62,5%
d) 66,0%
e) 66,6%
Comentários:
Observe que a banca nos questiona o valor da taxa trimestral com capitalização mensal, isto é, o valor da
Taxa Nominal.
b) 12,25%
c) 12,36%
d) 12,44%
e) 12,56%
Comentários:
Primeiro passo é converter a Taxa Nominal para a Taxa Efetiva.
Taxa Nominal é a taxa de juros cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de
capitalização. Observe que a taxa fornecida no enunciado é uma taxa nominal.
𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
Em 1 ano há 4 trimestres. Então, a Taxa Efetiva trimestral será igual a:
𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑇𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝑻𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
Segundo passo é calcular a Taxa Efetiva semestral equivalente à Taxa Efetiva trimestral de 6%.
Ou seja, uma taxa efetiva trimestral capitalizada por 2 trimestres (1 semestre) resultará em que taxa efetiva
semestral?
Para acharmos a taxa equivalente tomamos como base a potenciação.
𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
2
𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
2
𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
2
𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
Gabarito: Alternativa C
13. (FGV / BANESTES - 2018) No sistema de juros compostos, uma taxa de k% ao trimestre, com
capitalização bimestral, corresponde a uma taxa efetiva quadrimestral de:
a)
2
b)
2
c)
2
d)
2
e) 1 −
2
Comentários:
Primeiro passo é converter a Taxa Nominal para a Taxa Efetiva.
Taxa Nominal é a taxa de juros cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de
capitalização. Observe que a taxa fornecida no enunciado é uma taxa nominal.
𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
Como trimestre e bimestre não são múltiplos, vamos fazer uma regra de três simples baseda em meses para
conversão.
Lembrando que para passar da Taxa Nominal para a Taxa Efetiva, tomamos como base a proporcionalidade,
isto é, passamos de uma para a outra com uma simples divisão/multiplicação.
Fazendo o produto do meio sendo igual ao produto dos extremos (multiplicando cruzado):
× 2 = 3 𝑖 → 𝑖 =
Ou seja, a Taxa Efetiva 𝑖 é igual a:
Segundo passo é calcular a Taxa Efetiva quadrimestral equivalente à Taxa Efetiva bimestral de
2 𝑘
300
Ou seja, a taxa efetiva bimestral de
2 𝑘
300
capitalizada por 2 bimestres (1 quadrimestre) resultará em que taxa
efetiva quadrimestral?
Para acharmos a taxa equivalente tomamos como base a potenciação.
𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
2
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
2
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
𝟐
