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- Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais)...........................................................................................
- Números, Operações e Problemas envolvendo as Quatro Operações
- Problemas de Raciocínio Lógico
- Regra de Três Simples..................................................................................................................................................................................................
- Frações e Operações com Frações
- Razão e Proporção
- Inequações
- Divisibilidade
- Fatoração...........................................................................................................................................................................................................................
- Potenciação, Radiciação e Porcentagem
- Equações de Primeiro e Segundo Grau
- Problemas envolvendo Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum
- Funções, Interpretação de Gráficos e Tabelas
- Noções de probabilidade
- Unidades de medida e escalas..............................................................................................................................................................................
- Expressões matemáticas
- Expressões matemáticas
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o pri- meiro número denominado multiplicando ou parcela, tan- tas vezes quantas são as unidades do segundo número de- nominadas multiplicador.
Exemplo
4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9
- 9 + 9 + 9 = 36 O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chama- dos fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.
Propriedades da multiplicação
- Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhe- cido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.
- Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m. n). p = m .(n. p) → (3. 4). 5 = 3. (4. 5) = 60
- Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 1. n = n. 1 = n → 1. 7 = 7. 1 = 7
- Comutativa: Quando multiplicamos dois números na- turais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. m. n = n. m →
- 4 = 4. 3 = 12
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m. (p + q) = m. p + m. q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividen- do é o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7
- A divisão de um número natural n por zero não é pos- sível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão m n^ é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja: m n^ = m
. m. m ... m. m → m aparece n vezes O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exem- plo: 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8 → 4^3 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação
- Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente na- tural é n, denotada por 1 n , será sempre igual a 1. Exemplos: a- 1 n^ = 1×1×...×1 (n vezes) = 1 b- 1^3 = 1×1×1 = 1 c- 1^7 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
- Se n é um número natural não nulo, então temos que n o =1. Por exemplo:
- (a) nº = 1
- (b) 5º = 1
- (c) 49º = 1
- A potência zero elevado a zero, denotada por 0 o , é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental.
- Qualquer que seja a potência em que a base é o nú- mero natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n^1 , é igual ao próprio n. Por exemplo:
- (a) n¹ = n
- (b) 5¹ = 5
- (c) 64¹ = 64
- Toda potência 10 n^ é o número formado pelo algaris- mo 1 seguido de n zeros. Exemplos: a- 10^3 = 1000 b- 10^8 = 100.000. c- 10 o^ = 1
QUESTÕES
1 - (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema de recebi- mento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito e vão sendo debi- tados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e os pagamentos na seguinte tabela:
No final do mês, Enzo observou que tinha A) crédito de R$ 7,00. B) débito de R$ 7,00. C) crédito de R$ 5,00. D) débito de R$ 5,00. E) empatado suas despesas e seus créditos.
2 - (PREF. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS
- PREF. IMARUI/2014) José, funcionário público, recebe sa- lário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? A) R$ 1800, B) R$ 1765, C) R$ 1675, D) R$ 1665,
3 – (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: A) 2 B) 5 C) 25 D) 50 E) 100
4 - (PREF. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁ-
QUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS) Em uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar uma geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: A) R$ 150,00. B) R$ 175,00. C) R$ 200,00. D) R$ 225,00.
5 - PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERA-
CIONAIS – MAKIYAMA/2013) Ontem, eu tinha 345 bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e perdi 67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bo- linhas que tenho agora, depois de participar do campeo- nato? A) 368 B) 270 C) 365 D) 290 E) 376
6 – (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas duas zo- nas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é: 1ª Zona Eleitoral 2ª Zona Eleitoral João 1750 2245 Maria 850 2320 Nulos 150 217 Brancos 18 25 Abstenções 183 175
A) 3995
B) 7165
C) 7532
D) 7575
E) 7933
7 - (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPE-
RACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Durante um mutirão para promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a: A) 2500 B) 3200 C) 1500 D) 3000 E) 2000
8 - (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERA-
CIONAIS – MAKIYAMA/2013) Em determinada loja, o paga- mento de um computador pode ser feito sem entrada, em 12 parcelas de R$ 250,00. Sendo assim, um cliente que opte por essa forma de pagamento deverá pagar pelo compu- tador um total de: A) R$ 2500, B) R$ 3000, C) R$1900, D) R$ 3300, E) R$ 2700,
Módulo : chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; as- sim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de - é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a , e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.
Adição de Números Inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associare- mos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder. Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispen- sado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Propriedades da adição de números inteiros : O con- junto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a , b , c em Z : a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutativa: Para todos a , b em Z : a + b = b + a 3 + 7 = 7 + 3
Elemento Neutro : Existe 0 em Z , que adicionado a cada z em Z , proporciona o próprio z , isto é: z + 0 = z 7 + 0 = 7
Elemento Oposto : Para todo z em Z , existe (-z) em Z , tal que z + (–z) = 0 9 + (–9) = 0
Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando:
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantida- de;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.
A subtração é a operação inversa da adição.
Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9 diferença subtraendo minuendo
Considere as seguintes situações:
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6)
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, duran- te o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça- feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = + Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3).
Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = + (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = – (–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do se- gundo.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Podería- mos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhan- do repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x , isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2
- 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = – Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b , pode ser indicado por a x b , a****. b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números inteiros, deve- mos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1) (+1) x (-1) = (-1) (-1) x (+1) = (-1) (-1) x (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
Iguais Positivo
Diferentes Negativo
Propriedades da multiplicação de números intei- ros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa : Para todos a,b,c em Z : a x (b x c) = (a x b) x c 2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Comutativa : Para todos a,b em Z : a x b = b x a 3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro : Existe 1 em Z , que multiplicado por todo z em Z , proporciona o próprio z , isto é: z x 1 = z 7 x 1 = 7
Elemento inverso : Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z –^1 =1/z em Z , tal que z x z –^1 = z x (1/z) = 1 9 x 9 –^1 = 9 x (1/9) = 1
Distributiva : Para todos a , b , c em Z : a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
Divisão de Números Inteiros
Dividendo divisor dividendo: Divisor = quociente 0 Quociente. divisor = dividendo
Sabemos que na divisão exata dos números naturais: 40 : 5 = 8, pois 5. 8 = 40 36 : 9 = 4, pois 9. 4 = 36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a di- visão exata de números inteiros. Veja o cálculo: (–20) : (+5) = q (+5). q = (–20) q = (–4) Logo: (–20) : (+5) = - 4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por ou- tro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:
- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.
- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.
- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z , pois o resultado não é um número inteiro.
- No conjunto Z , a divisão não é comutativa, não é as- sociativa e não tem a propriedade da existência do elemen- to neutro. 1- Não existe divisão por zero. Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15. 2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
Potenciação de Números Inteiros A potência an^ do número inteiro a , é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. an^ = a x a x a x a x ... x a a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:3^3 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)^5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = - (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3)^2 = (+3). (+3) = +
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: (– 8)^2 = (–8). (–8) = +
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)^3 = (–5). (–5). (–5) = –
Propriedades da Potenciação:
Produtos de Potências com bases iguais: Conserva- se a base e somam-se os expoentes. (–7)^3. (–7)^6 = (–7)3+ = (–7)^9
Quocientes de Potências com bases iguais: Conser- va-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)^8 : (+13)^6 = (+13)8 – 6^ = (+13)^2
Potência de Potência: Conserva-se a base e multipli- cam-se os expoentes. [(+4)^5 ]^2 = (+4)5. 2^ = (+4)^10
Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)^1 = +9 (–13)^1 = – Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)^0 = 1 (–35)^0 = 1
5 - (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - FCC/2012) Em um jogo de tabuleiro, Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados:
Ao término dessas quatro partidas, A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. D) Carla e Mateus empataram.
6 – (Operador de máq./Pref.Coronel Fabriciano/MG) Quantos são os valores inteiros e positivos de x para os quais é um número inteiro?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
7- (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num vôo entre Curitiba e Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números indicam a quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em cada cidade.
Curtiba +
Rio de Janeiro
Brasília -
O número de passageiros que chegou a Belém foi: A) 362 B) 280 C) 240 D) 190 E) 135
RESPOSTAS
1 - RESPOSTA:“E”. Pela definição: Fazendo w=
2 - RESPOSTA: “D”.
Geladeira + Microondas + DVD = 1213+429+399 = 2041 Geladeira + Microondas + TV = 1213+429+562 = 2204, extrapola o orçamento Geladeira +TV + DVD=1213+562+399=2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento. Troco:2200-2174=26 reais
3 - RESPOSTA: “B”.
I da propriedade das potências, temos:
II
III
4 - RESPOSTA: “D”.
Maior inteiro menor que 8 é o 7 Menor inteiro maior que -8 é o -7. Portanto: 7⋅(-7)=-
5 - RESPOSTA: “C”. Carla: 520-220-485+635=450 pontos Mateus: -280+675+295-115=575 pontos Diferença: 575-450=125 pontos
6 - RESPOSTA:“C”. Fazendo substituição dos valores de x, dentro dos con- juntos do inteiros positivos temos:
x=0 ; x=
, logo os únicos números que sa- tisfazem a condição é x= 0 e x=5 , dois números apenas.
7 - RESPOSTA:“D”. 240- 194 +158 -108 +94 = 190
NÚMEROS RACIONAIS – Q
m^ Um número racional é o que pode ser escrito na forma n , onde^ m^ e^ n^ são números inteiros, sendo que^ n^ deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na lite- ratura a notação:
Q = {
m n : m e n em Z, n diferente de zero}
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
- Q* = conjunto dos racionais não nulos ;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos ;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos ;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos ;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional pq , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2 5
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1 3
Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q , que multiplicado por todo q em Q , proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
- Elemento inverso: Para todo q = a b
em Q , q diferente de zero, existe q -1^ = b a
em Q: q × q-1^ = 1 a b
x b a
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) Divisão de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q , isto é: p ÷ q =
Potenciação de Números Racionais A potência q n^ do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. qn^ = q × q × q × q × ... × q, ( q aparece n vezes)
Exemplos:
a)
2 5
⎛ ⎝⎜^
⎞ ⎠⎟
3
2 5
⎛ ⎝⎜^
⎞ ⎠⎟^
.
2 5
⎛ ⎝⎜^
⎞ ⎠⎟^
.
2 5
⎛ ⎝⎜^
⎞ ⎠⎟^
=
8 125
b)
c) (–5)² = (–5). ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5). (+5) = 25
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.
⎝⎜^
0 = 1
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
−
⎝⎜^
1 = -^9 4
- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.
⎝⎜^
− 2
. −
⎝⎜^
2
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.
⎝⎜^
3
⎝⎜^
⎠⎟^
⎝⎜^
⎠⎟^
⎝⎜^
⎠⎟^
- Toda potência com expoente par é um número positivo.
⎝⎜^
2
⎝⎜^
⎠⎟^
⎝⎜^
⎠⎟^
‘- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.
⎝⎜^
2
⎝⎜^
3
⎝⎜^
⎠⎟^
⎝⎜^
⎠⎟^
⎝⎜^
2 + 3
⎝⎜^
5
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes
Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1 4 Representa o produto 2. 2 ou 2^2. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se √4= 2.
Exemplo 2 1 9 Representa o produto^
1 3.^
1 3 ou^
1 3
⎛ ⎝⎜^
⎞ ⎠⎟
2
. Logo, 13 é a raiz quadrada de^19 .Indica-se 1 9
Exemplo 3 0,216 Representa o produto 0,6. 0,6. 0,6 ou (0,6)^3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 3 0,216= 0,6.
Assim, podemos construir o diagrama:
N Z Q
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
O número
- 9 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10 3 como + 3
, quando elevados ao quadrado, dão 100
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.
O número
3 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado dê 2 3
Questões
1 - (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPE-
RACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Na escola onde estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina fa- vorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração repre- senta os alunos que têm ciências como disciplina favorita? A) 1/ B) 3/ C) 2/ D) 4/ E) 3/
2 - (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014)
Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um des- conto de 10 centavos. Quantos reais ela recebeu de troco? A) R$ 40, B) R$ 42, C) R$ 44, D) R$ 46, E) R$ 48,
3 - (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERA-
CIONAL – VUNESP/2013) De um total de 180 candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3estuda espa- nhol e o restante estuda alemão. O número de candidatos que estuda alemão é: A) 6. B) 7. C) 8. D) 9. E) 10.
4 - (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERA-
CIONAL – VUNESP/2013) Em um estado do Sudeste, um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário base R$ 617,16 e uma gratificação de R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou faltar um dia e foi descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou A) R$ 810,81. B) R$ 821,31. C) R$ 838,51. D) R$ 841,91. E) R$ 870,31.
5 - (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo
Obtém-se : A) ½ B) 1 C) 3/ D) 2 E) 3
6 - (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar os números marcados nos cartões em ordem cres- cente, venceu o jogador que apresentou a sequência
7 – (Prof./Prefeitura de Itaboraí) Se x = 0,181818..., então o valor numérico da expressão:
A) 34/
B) 103/
C) 104/
D) 35/
E) 106/
8 - (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as:
8 - RESPOSTA: “A”.
Mariana totalizou R$ 62,20.
9 - RESPOSTA: “A”.
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres
ou 800-600=200 mulheres
Total de pessoas detidas: 120+25=
10 - RESPOSTA: “C”.
NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta. Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito. Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p!
Propriedade
O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, R tem a seguinte propriedade: Se R for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B , de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B , então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B.
Ao conjunto formado pelos números Irracionais e pelos números Racionais chamamos de conjunto dos números Reais. Ao unirmos o conjunto dos números Irracionais com o conjunto dos números Racionais, formando o conjunto dos números Reais, todas as distâncias representadas por eles sobre uma reta preenchem-na por completo; isto é, ocupam todos os seus pontos. Por isso, essa reta é denominada reta Real.
Podemos concluir que na representação dos números Reais sobre uma reta, dados uma origem e uma unidade, a cada ponto da reta corresponde um número Real e a cada número Real corresponde um ponto na reta.
Ordenação dos números Reais A representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b , a ≤ b ↔ b – a ≥ 0
Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0
Propriedades da relação de ordem
- Reflexiva: a ≤ a
- Transitiva: a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c
- Anti-simétrica: a ≤ b e b ≤ a → a = b
- Ordem total: a < b ou b < a ou a = b
Expressão aproximada dos números Reais
Os números Irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-periódicos. As operações com esta classe de números sempre produzem erros quando não se utilizam todos os algarismos decimais. Por outro lado, é impossível utilizar todos eles nos cálculos. Por isso, somos obrigados a usar aproximações, isto é, cortamos o decimal em algum lugar e desprezamos os algarismos restantes. Os algarismos escolhidos serão uma aproximação do número Real. Observe como tomamos a aproximação de e do número nas tabelas.
Aproximação por Falta Excesso
Erro menor que π π
1 unidade 1 3 2 4 1 décimo 1,4 3,1 1,5 3, 1 centésimo 1,41 3,14 1,42 3, 1 milésimo 1,414 3,141 1,415 3, 1 décimo de milésimo
Operações com números Reais Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de intervalos fixos que determinam um número Real. É assim que vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e divisão. Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações úteis para operar com números Reais:
- Vamos tomar a aproximação por falta.
- Se quisermos ter uma ideia do erro cometido, escolhemos o mesmo número de casas decimais em ambos os números.
- Se utilizamos uma calculadora, devemos usar a aproximação máxima admitida pela máquina (o maior número de casas decimais).
- Quando operamos com números Reais, devemos fazer constar o erro de aproximação ou o número de casas decimais.
- É importante adquirirmos a idéia de aproximação em função da necessidade. Por exemplo, para desenhar o projeto de uma casa, basta tomar medidas com um erro de centésimo.
- Em geral, para obter uma aproximação de n casas decimais, devemos trabalhar com números Reais aproximados, isto é, com n + 1 casas decimais.
Para colocar em prática o que foi exposto, vamos fazer as quatro operações indicadas: adição, subtração, multiplicação e divisão com dois números Irracionais.
Valor Absoluto
Como vimos, o erro pode ser:
- Por excesso : neste caso, consideramos o erro positivo.
- Por falta : neste caso, consideramos o erro negativo. Quando o erro é dado sem sinal, diz-se que está dado em valor absoluto. O valor absoluto de um número a é designado por |a| e coincide com o número positivo, se for positivo, e com seu oposto, se for negativo. Exemplo: Um livro nos custou 8,50 reais. Pagamos com uma nota de 10 reais. Se nos devolve 1,60 real de troco, o vendedor cometeu um erro de +10 centavos. Ao contrário, se nos devolve 1,40 real, o erro cometido é de 10 centavos.
7 - (UFOP/MG – ADMINISTRADOR DE EDIFICIOS –
UFOP/2013) Uma pessoa caminha 5 minutos em ritmo normal e, em seguida, 2 minutos em ritmo acelerado e, assim, sucessivamente, sempre intercalando os ritmos da caminhada (5 minutos normais e 2 minutos acelerados). A caminhada foi iniciada em ritmo normal, e foi interrompida após 55 minutos do início. O tempo que essa pessoa caminhou aceleradamente foi: A) 6 minutos B) 10 minutos C) 15 minutos D) 20 minutos
8 - (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF.
IMARUÍ/2014) Sobre o conjunto dos números reais é CORRETO dizer: A) O conjunto dos números reais reúne somente os nú- meros racionais. B) R* é o conjunto dos números reais não negativos. C) Sendo A = {-1,0}, os elementos do conjunto A não são números reais. D) As dízimas não periódicas são números reais.
9 - (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AU-
XILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP/2013) Para numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será A) 1,111. B) 2,003. C) 2,893. D) 1,003. E) 2,561. 10 - (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CES- GRANRIO/2013) Gilberto levava no bolso três moedas de R$ 0,50, cinco de R$ 0,10 e quatro de R$ 0,25. Gilberto reti- rou do bolso oito dessas moedas, dando quatro para cada filho. A diferença entre as quantias recebidas pelos dois fi- lhos de Gilberto é de, no máximo, A) R$ 0, B) R$ 0, C) R$ 1, D) R$ 1, E) R$ 1,
Respostas
1 - RESPOSTA: “E”.
Total de unidades: 100⋅20=2000 unidades
unidades em cada prateleira.
2 - RESPOSTA: “B”.
editora A: 870/2=435 revistas publicações antigas: 435/3=145 revistas
O número de exemplares que não são da Editora A e nem são antigas são 290.
3 - RESPOSTA: “B”.
14 vezes iguais Coco inteiro: 14 Metades:14.2= Terça parte:14.3= Quarta parte:14.4= 3 cocos: 1 coco inteiro, metade dos cocos, terça parte Quantidade total Coco inteiro: 14+1= Metades: 28+2= Terça parte:42+3= Quarta parte :
4 - RESPOSTA “B”.
Sobrou 1/4 do bolo.
5 - RESPOSTA: “B”.
Aluguel:
Outras despesas:
Restam :1000-850=R$150,
6 - RESPOSTA: “D”.
Primeiro balde:
Segundo balde:
Terceiro balde:
A soma dos volumes é : 10+9+9,5=28,5 litros
7 - RESPOSTA: “C”.
A caminhada sempre vai ser 5 minutos e depois 2 minutos, então 7 minutos ao total. Dividindo o total da caminhada pelo tempo, temos:
Assim, sabemos que a pessoa caminhou 7. (5 minutos +2 minutos) +6 minutos (5 minutos+1 minuto) Aceleradamente caminhou: (7.2)+1➜ 14+1=15 minutos
8 - RESPOSTA: “D”.
A) errada - O conjunto dos números reais tem os conjuntos: naturais, inteiros, racionais e irracionais. B) errada – R* são os reais sem o zero. C) errada - -1 e 0 são números reais.
9 - RESPOSTA: “C”.
1 a 9 =9 algarismos=0,001⋅9=0,009 ml De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 99-10+1=90. OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 90 números de 2 algarismos: 0,002⋅90=0,18ml De 100 a 999 999-100+1=900 números 900 ⋅0,003=2,7ml 1000=0,004ml Somando: 0,009+0,18+2,7+0,004=2,
10 - RESPOSTA: “E”.
Supondo que as quatro primeiras moedas sejam as 3 de R$ 0,50 e 1 de R$ 0,25(maiores valores). Um filho receberia : 1,50+0,25=R$1, E as ouras quatro moedas sejam de menor valor: 4 de R$ 0,10=R$ 0,40. A maior diferença seria de 1,75-0,40=1, Dica: sempre que fala a maior diferença tem que o maior valor possível – o menor valor.
