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D119 – Identificar triângulos semelhantes mediante o
reconhecimento de relações de proporcionalidade.
EF09MA12 - Reconhecer as condições necessárias e
suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
2ª Série | Ensino Médio
Razão, proporção, números racionais.
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Matemática
EM13MAT308 - Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Números Reais. Operações com números reais. Conceitos básicos de geometria plana: ângulos, pontos, retas e planos. Medida de ângulos. Semelhança de triângulos. Proporcionalidade. Equação do 1º grau.
DESCRITOR PAEBES
HABILIDADE DO CURRÍCULO RELACIONADA AO DESCRITOR
HABILIDADES OU CONHECIMENTOS PRÉVIOS
D051_M - Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente).
A trigonometria é uma área fascinante da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos. Dentro desse vasto campo, as razões trigonométricas, ou relações trigonométricas, desempenham um papel fundamental, especialmente no contexto dos triângulos retângulos. As relações trigonométricas têm uma ampla gama de aplicações práticas em diversas áreas, incluindo engenharia, física, arquitetura, astronomia, cartografia, entre outras. Aqui estão algumas das principais aplicações:
Engenharia Civil e Arquitetura: As relações trigonométricas são usadas para calcular as dimensões e ângulos de estruturas, como pontes, edifícios, e torres de transmissão. Por exemplo, a trigonometria é usada para determinar os comprimentos de diagonais em formas como quadrados e retângulos, além de calcular ângulos de inclinação para garantir a estabilidade de estruturas.
Física : Em Física, as relações trigonométricas são essenciais para a análise de movimento periódico, como o movimento de uma partícula em uma onda, vibração de uma corda ou a oscilação de um pêndulo. Além disso, a trigonometria é fundamental para a descrição de fenômenos ondulatórios, como luz e som.
Engenharia Mecânica : Na engenharia mecânica, a trigonometria é usada em diversas aplicações, incluindo a análise de movimentos rotacionais, como a rotação de engrenagens e eixos. A trigonometria também é usada para calcular forças e momentos em sistemas mecânicos, como em mecanismos de transmissão de potência.
Esses são apenas alguns exemplos das muitas aplicações práticas das relações trigonométricas. A trigonometria desempenha um papel fundamental em diversas áreas da ciência e da tecnologia, ajudando a resolver uma ampla variedade de problemas do mundo real.
Tabela trigonomÉtrica
A tabela trigonométrica serve como um guia que apresenta os valores das funções trigonométricas para diferentes ângulos agudos (menores que 90º). Essas funções incluem seno, cosseno, tangente. Esses valores facilitam os cálculos que envolvem a trigonometria no triângulo retângulo, embora também possam ser facilmente obtidos por meio de uma calculadora científica.
CONCEITOS E CONTEÚDOS
CONCEITOS E CONTEÚDOS
Ângulos notÁveis
Ângulos notáveis são ângulos com medidas específicas frequentemente encontradas em problemas de geometria e trigonometria. Possuem valores particulares facilmente reconhecíveis e úteis em cálculos trigonométricos e na resolução de problemas geométricos. Os ângulos mais comuns são 30°, 45° e 60°, presentes em triângulos especiais como o equilátero ou isósceles. Esses ângulos têm relações trigonométricas especiais e são empregados para simplificar cálculos trigonométricos.
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Você poderá acessar no Geogebra um material interativo que tem como objetivo mostrar a variação do ângulo e como se pode determinar o Seno, Cosseno e Tangente de um triângulo retângulo.
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MATERIAL EXTRAMATERIAL EXTRA
Você poderá acessar no Geogebra um material que tem como objetivo mostrar como se pode determinar o Seno, Cosseno e Tangente de 30°, 45º e 60º.
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A medida entre o jogador 1 e o jogador 2 é a hipotenusa do triângulo retângulo.
O cosseno do ângulo de 48° é a razão entre seu cateto adjacente e a hipotenusa, onde, o cateto adjacente é a distância entre o meio de campo e a grande área.
52,5 - 16,5 = 36 m
Fazendo o cálculo do cosseno, sendo h a hipotenusa.
Durante uma partida de futebol, o jogador 1 faz um lançamento para o jogador 2 com um ângulo de 48°. Qual a distância que a bola deverá percorrer até chegar ao jogador 2?
Resolução:
Dados: sen 48° = 0, cos 48° = 0, tg 48° = 1,
A bola deverá percorrer uma distância de 54,54 m.
(Enem) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Essas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada, e uma delas pode ser observada na imagem.
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Dados: sen 15° = 0, cos 15° = 0, tg 15° = 0,
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço: A) menor que 100 m². B) entre 100 m² e 300 m². C) entre 300 m² e 500 m². D) entre 500 m² e 700 m². E) maior que 700 m².
Alternativa E
O segmento AB divide a face do prédio em dois triângulos retângulos, sabendo que o ângulo B é igual a 15º e conhecendo o cateto adjacente a ele, é possível calcular o tamanho da base utilizando a tangente.
Como a base é um quadrado, a sua área será igual ao lado ao quadrado, então, temos que: A = 29,64² = 878,53m²
Resolução:
30m
60º
Atividade 2
(CBM-SC, soldado - 2010 - Adaptada) Para socorrer uma pessoa num apartamento durante um incêndio, os bombeiros utilizarão uma escada de 30m, que será colocada conforme a figura a seguir formando com o solo um ângulo de 60º. Qual a distância do apartamento ao chão?
Dados: sen 60° = 0, cos 60° = 0, tg 60° = 1,
Atividade 3
A vista superior de um parque mostra dois caminhos para se chegar ao ponto C, a partir do ponto A. Uma das opções é ir para B, onde há bebedouros e lugares de descanso e, depois ir para C. Caso um visitante do parque queira ir direto para C, quantos metros ele terá caminhado a menos do que a primeira opção?
Dados: sen 58° = 0, cos 58° = 0, tg 58° = 1,
Atividade 4
(IFG - 2017). Teodolito é um instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, utilizado em trabalhos de construção. Uma empresa foi contratada para pintar um edifício de quatro andares. Para descobrir a área total a ser pintada ela precisa descobrir a altura do edifício. Uma pessoa posiciona o instrumento a 1,65 metros de altura, encontrando um ângulo de 30°, conforme mostra a figura. Supondo que o teodolito esteja distante 13√ metros do edifício, qual a altura, em metros, do prédio a ser pintado? (Adote : sen 30º=1/2 ; cos 30º= √3/2 ; tan 30º= √3/3 ).
A) 11,65. B) 12,65. C) 13,65. D) 14,65. E) 15,65.
ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES
Atividade 5
Atividade 6
Um caminhão sobe uma rampa inclinada 15° em relação ao plano horizontal, sabendo-se que a distância horizontal que separa o início da rampa até o ponto vertical mede 24 m, a que altura, em metros, aproximadamente, estará o caminhão depois de percorrer toda rampa?
A) 6
B)
C)
D)
E)
Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 55º com o solo. O comprimento do fio é 90m. Determine a altura da pipa em relação ao solo.
Dados: sen 55° = 0, cos 55° = 0, tg 55° = 1,
Dados: sen 15° = 0, cos 15° = 0, tg 15° = 0,
Atividade 7
(PAEBES). Um telhado será instalado entre dois prédios de um condomínio, de forma que sua inclinação em relação ao prédio maior será de 53°, conforme representado no desenho abaixo. Qual será o comprimento x desse telhado?
Dados: sen 53° = 0, cos 53° = 0, tg 53° = 1,
ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES
Atividade 10
Atividade 11
ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES ATIVIDADES PARA OS ESTUDANTES
(SAEGO). Observe abaixo o esquema que um observador montou para estimar a altura de uma torre de energia. Qual é a altura h aproximada dessa torre de energia?
A) 15,
B) 17,
C) 26,
D) 27,
E) 34,
(PAEBES). O desenho abaixo representa o projeto de um escorregador que será instalado em uma praça. Nesse projeto, estão indicados a medida da altura (1,8 m) de escorregador e o ângulo de inclinação em relação ao solo.
O comprimento do escorregador é: A) 1,44m. B) 1,5m. C) 2,16m. D) 2,25m. E) 3,0m.
Dados: sen 38° = 0, cos 38° = 0, tg 38° = 0,
Dados: sen 50° = 0, cos 50° = 0, tg 50° = 1,
Atividade 13
Atividade 12
De acordo com a figura, a altura do monumento que fica nessa praça é, em metros, de A) 18. B) 19. C) 20. D) 21. E) 22
(Telecurso 2000). Um dos pontos turísticos da cidade de Ouro Preto – Minas Gerais é a Praça Tiradentes. Um estudante resolveu medir a altura do monumento dessa praça, conforme ilustra a figura a seguir. Adote: sen 45º=√2/2 ; cos 45º= √2/2 ; tan 45º= 1).
(PROEB). Veja abaixo o desenho que representa o terreno de Mário. Ele irá construir um portão que está indicado pela medida PQ na figura abaixo para fechar esse terreno.
Qual é a medida, em metros, do portão PQ? A) 4, B) 6, C) 10 D) 13, E) 16
Dados: sen 30° = 0. cos 30° = 0, tg 30° = 0.
Atividade 1
Respostas (^) Atividade 4
Atividade 2
Atividade 3 Atividade 5
Atividade 6
Seja h a altura do balão, temos:
h = 1,73. 1, h = 3,1Km
Alternativa C
Passo 1: calcular h
Passo 4: determinar a diferença entre os dois caminhos.
Resposta: saindo de A e indo direto para C, a caminhada é 7,54 m mais curta.
Passo 2: determinar a distância .
Passo 3: determinar a distância
A distância do apartamento ao chão será de 26,10 metros
Alternativa D
Como queremos encontrar o cateto oposto ao ângulo de 30º e sabemos que a distância 13√ (do teodolito até o prédio) é o cateto adjacente ao ângulo de 30º, então, usaremos a tangente:
Pra encontrarmos a altura do edifício basta somarmos 13 + 1,65 = 14,65 metros de altura.
Pra encontrarmos a altura da pipa (cateto oposto) vamos usar o seno de 55º.
A altura da pipa em relação ao solo é 73, metros.
Pra encontrarmos a altura do caminhão após percorrer toda rampa vamos usar a tangente de 15º.
A altura do caminhão após percorrer toda rampa será 6,24 metros.
Atividade 7
Respostas
Atividade 10
Atividade 8
Atividade 11
Calculando a diferença entre os dois prédios, temos:
29 - 20 = 9 metros
O comprimento do telhado será 15 metros.
Alternativa C
Atividade 9
A Altura do edifício corresponde ao valor do cateto oposto somado com a altura do observador.
Portanto, a altura do edifício é 18,90 metros.
BONJORNO, José Roberto; JÚNIOR, José Ruy Giovanni; SOUSA; Paulo Roberto Câmara de; Prisma Matemática: Geometria e Trigonometria: Ensino Médio – 1° ed. – São Paulo: Editora FTD, 2020.
Khan Academy, acessado em 13.03.2024, www.khanacademy.org
ANDRADE, T.M. Matemática Interligada. Trigonometria, Fenômenos Periódicos e Programação. São Paulo: Scipione, 2020.
ASTH, Rafael. Exercícios sobre razões trigonométricas. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-razoes-trigonometricas/. Acesso em: 14 mar. 2024
GOUVEIA, Rosimar. Ângulos Notáveis. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/angulos-notaveis/. Acesso em: 14 mar. 2024
ROBERTO, Paulo. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo, Exercícios. Disponível em: http://www.pauloroberto.qlix.com.br/trigonometria/. Acesso em: 14 mar. 2024
HOHENWARTER, M. Geogebra. Disponível em: <www.geogebra.org>. Acessado em: 14 de mar. 2024.
