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INSTITUTO FRAY MAMERTO ESQUIÚ
ESCUELA SECUNDARIA SUPERIOR
MATEMÁTICA CICLO SUPERIOR
CUARTO AÑO
Prof. Gonzalo Iribarne (4º A)
Prof. Virginia Penedo (4º B)
Prof. Mailén García Boverio (4º C)
CICLO LECTIVO 2016
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Ejercicios de Álgebra: Ecuaciones, Inecuaciones y Funciones Cuadráticas, Resumos de Matemática
Una serie de ejercicios de álgebra que abarcan ecuaciones, inecuaciones y funciones cuadráticas. Los ejercicios incluyen ejemplos de resolución de ecuaciones, inecuaciones con módulo, análisis de funciones cuadráticas y factorización de polinomios. Útil para estudiantes de secundaria o bachillerato que buscan practicar y reforzar sus conocimientos en álgebra.
Tipologia: Resumos
2020
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INSTITUTO FRAY MAMERTO ESQUIÚ
ESCUELA SECUNDARIA SUPERIOR
MATEMÁTICA CICLO SUPERIOR
CUARTO AÑO
Prof. Gonzalo Iribarne (4º A)
Prof. Virginia Penedo (4º B)
Prof. Mailén García Boverio (4º C)
CICLO LECTIVO 2016
Mar del Plata, 9 de Marzo de 2016
Pautas de la materia. Ciclo lectivo 2016
Cada alumno debe contar con una carpeta nº 3, o cuaderno nª 5 con hojas cuadriculadas, para ser destinado para uso EXCLUSIVO de la materia. Allí se encontrarán los aspectos teóricos, las explicaciones del docente y los ejercicios dados para resolver en clase. Debe estar completo/a y prolijo/a ya que puede ser requerida para ser visada y calificada en cualquier momento del año. Al final de la misma deberán tener un folio (de utilizar cuaderno se deberá pegar un sobre en la contratapa) para guardar las evaluaciones, trabajos prácticos y tareas corregidas por el docente. Estas últimas deberán ser entregadas cada vez que el docente lo solicite para su visado y corrección. Los alumnos serán evaluados en cada uno de los comportamientos de la clase. Para ello el docente cuenta con una planilla de observación personal donde serán registradas las actitudes positivas y negativas. Los alumnos serán calificados por su ACTITUD frente a la materia. La nota conceptual se promedia COMO UNA NOTA MÁS en la finalización del trimestre y es de fundamental importancia. Para informarle a los Sres. padres del desempeño global del alumno, se utilizarán planillas de seguimiento que se encuentran al final de este módulo. Cada alumno debe asistir a clase con sus elementos de trabajo (carpeta, calculadora, instrumentos de geometría, módulo, guías de trabajos prácticos). Los elementos son de uso personal y no podrán prestarse los días de evaluación, por lo que cada alumno debe ser previsor y contar con todo lo necesario antes de comenzar la misma. Dicho día nadie podrá pedir a ningún compañero ni salir del aula a pedir ningún elemento. (Ver pautas para evaluaciones) El alumno que no asista a clase por algún motivo determinado, tiene la OBLIGACIÓN de notificarse de lo trabajado en dicho día. NO ES EXCUSA NO TRAER LAS TAREAS COMPLETAS POR HABER FALTADO. En caso de incumplimiento será calificado con la nota correspondiente. Los alumnos que por viajes familiares se ausentasen durante un determinado período, deberán asumir la responsabilidad de ponerse al día con los temas vistos durante ese tiempo. Esto incluye copiar lo explicado y resolver en las tareas asignadas. Bajo ningún concepto se responderán dudas si no se cumplen previamente las cuestiones mencionadas.
Se encuentra prohibido el uso del celular durante la clase, excepto para fines pedagógicos en actividades previamente acordadas por el docente. Todo uso indebido del mismo traerá aparejada su correspondiente sanción. Es responsabilidad del alumno informar al docente si la planilla de calificaciones del cuaderno de comunicaciones se encuentra incompleta. Si existieran casos de indisciplina el docente decidirá la ubicación de los alumnos en la clase de matemática. Los padres que deseen tener una entrevista con la docente deberán solicitarla por escrito mediante el cuaderno de comunicaciones. Una vez contestada la nota por la docente deberán confirmar asistencia. En caso de no poder concurrir deberán informar por el mismo medio o telefónicamente con una antelación no menor a 24 horas de la fecha y horario pautados.
………………………………………………………………. ………………………………… ……………………………….
FIRMA PADRE/ MADRE O TUTOR FIRMA ALUMNO FIRMA DOCENTE
Pautas para las evaluaciones
Las siguientes pautas rigen para todas las instancias de evaluación escrita, ya sean trabajos
prácticos evaluativos o evaluaciones formales.
El examen se aprueba con 7 (siete) puntos. Los materiales de trabajo son de uso personal, es decir, NO se comparten. El examen debe resolverse íntegramente en tinta azul o negra. Lo resuelto en lápiz será ignorado. Los ejercicios deben contar con la lista de cálculos auxiliares al lado de cada resolución, o su correspondiente justificación. Cualquier respuesta no justificada carece de validez y no se puntúa. Se responderán las dudas referidas exclusivamente a la consignas. No se responden dudas referidas a contenidos. En caso de que el docente lo considere necesario se llamará a los alumnos a defender sus producciones en una instancia oral. No se permite el uso de corrector. En caso de cometer algún error de debe anular el ejercicio y continuar resolviendo. Los incisos de resolución deben estar debidamente indicados. No está permitido alterar el orden de resolución. En caso de no saber resolver algún ítem, debe dejarse el espacio en blanco. En las evaluaciones que posean espacios para completar, las respuestas deben estar consignadas en dichos espacios Las respuestas deben estar remarcadas y siempre expresadas en su forma más simplificada. Dependiendo del caso se descontará puntaje por resultar incompleta la resolución. Cualquier actitud indebida durante el examen será motivo de anulación del mismo y su calificación será 1(uno). Al momento de corregir:
B−: bien menos se descuenta un 25% del puntaje del inciso R ∶ regular se descuenta un 50% del puntaje del inciso R−: regular menos se descuenta un 75% del puntaje del inciso
FIRMA ALUMNO: ………………………………………………………….
Sistemas de ecuaciones mixtos
5) Polinomios
Monomios. Operaciones entre monomios Definición de polinomios. Términos. Coeficientes. Grado. Operaciones entre polinomios: adición, sustracción, multiplicación y división. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Raíces de un polinomio: Multiplicidad. Teorema de Gauss. Regla de Ruffini Casos de factoreo: factor común, factor común por grupos, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, cuatrinomio cubo perfecto. Factoreo de polinomios
6) Semejanza de figuras planas
Semejanza de triángulos
7) Teorema de Thales
8) Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo. Resolución de triángulos rectángulos. Problemas Razones trigonométricas de ángulos obtusos
**_9) Combinatoria
- Binomio de Newton_**
11) Probabilidad Espacio muestral. Sucesos incompatibles e independientes. Probabilidad condicional
Propiedades:
Números Reales
Números Irracionales
¿Cuánto mide la hipotenusa de este triángulo rectángulo?
Utilizando el Teorema de Pitágoras:
𝐻^2 = 1 𝑚 2 + 1 𝑚 2
𝐻 = 2 𝑚
Ahora bien, si utilizamos una calculadora científica para hallar 2 , obtenemos 1,414213562. Si ese fuese el
valor exacto de 2 , al borrar el visor, volver a ingresar 1,414213562 y elevarlo al cuadrado, debería dar 2.
Sin embargo, el valor que se obtiene es 1,999999999. Por lo tanto; 1,414213562 ≠ 2 , sino que es un valor aproximado de este número.
En Internet pueden obtenerse más cifras decimales de 2 , por ejemplo:
1,
Y como puede observarse, en el desarrollo decimal no ocurre que un grupo de cifras se repita una y otra vez,
o sea que no es un número periódico, por lo tanto no es racional. Es un número irracional.
Los números irracionales no pueden escribirse como fracción, por lo tanto, no tienen un número finito de cifras decimales ni un período que se repita, o sea los números irracionales tienen infinitas cifras no periódicas
Aclaración: no son números decimales, sino que tienen una representación decimal.
Son irracionales todas las raíces de cualquier índice que no den por resultado un entero. También son irracionales todos los números que se obtienen al operar (sumar, restar, multiplicar o dividir) números irracionales con racionales.
¡Nota Importante!
No siempre la suma de dos números irracionales es otro número irracional. Ejemplo: − 2 + 2 = 0 ∈ ℚ No siempre el producto de dos números irracionales es otro número irracional. Ejemplo: 5. 5 = 5 ∈ ℚ Algunos números están definidos a través de una “ley de formación” que puede deducirse de la observación de los mismos. Por ejemplo:
a) 0,12345678910111213……………… b) 3,10110011100011110000……….. c) 2,313233343536373839310311312………… d) 26,2468101214………………………
H
1 m
1 m
Eje temático:
números y
operaciones
e) 15,248163264………………………..
El Conjunto de los números Reales
El Conjunto de los números reales (ℝ) está formado por el conjunto de los números racionales (ℚ) y el de los irracionales (𝕀). En símbolos: ℝ = ℚ ∪ 𝕀
Gráficamente:
De este modo, podemos hablar de completitud de la recta numérica: cada punto de la recta representa un número real, y todo número real está representado en la recta.
Radicación.
Raíz n-ésima de un número
Definición: Dado un número real a y un entero positivo n , se llama raíz n-ésima de a, a otro número real b , tal que, b elevado a n es igual a a.
En símbolos: 𝑛^ 𝑎= 𝑏 𝑏𝑛^ = 𝑎 (𝑛 > 0)
Casos particulares:
𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑎 ≥ 0 𝑛^ 𝑎= 𝑏 𝑦 𝑏 ≥ 0
𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑎 < 0 𝑛^ 𝑎= ∄ 𝑒𝑛
𝑆𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑎 ∈ 𝑛^ 𝑎= 𝑏 𝑦 𝑏 ∈
Cuando aplicamos el procedimiento antes descripto, el número sigue siendo el mismo (por eso se utiliza el signo igual entre las expresiones); lo único que logramos es cambiar el aspecto, o sea la forma de expresarlo. Puede verificarse con la calculadora que: (^2 8) = 2. 2 ≅ 2,828427125 …
Otros ejemplos:
(^381) 𝑎 (^14) = _____________________ = _____________________________ = __________________________
3 𝑎 6. 𝑏 2. 𝑐 17 = ________________________ = _________________________________
Radicales semejantes
Por ejemplo:
− 4 𝑎 3 𝑏^2 𝑦 − 4 3 𝑏^2 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠; − 4 𝑎 𝑦 − 4 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜𝑠.
Se llaman radicales semejantes a aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Únicamente pueden diferir sus coeficientes.
OPERACIONES CON NÚMEROS IRRACIONALES
Adición y sustracción (Suma algebraica)
Ejemplos:
4 2 −^ 2 +
2 2 −^4 2 =^ 3 +
4 −^ 1 +
2 −^4 2 =^ −^
= _____________________________
= _____________________________
= _____________________________
= _____________________________
= _________________ = _________
= ______________________________________________
= ______________________________________________
= ______________________________________________
= ______________________________________________
= ______________________________________________
= ______________________________________________
La suma algebraica de números irracionales semejantes, es otro irracional semejante a los dados, cuyo coeficiente es la suma algebraica de los coeficientes de cada uno de ellos.
En los cinco términos los radicales son semejantes.
Suma algebraica de coeficientes.
Los radicales no son semejantes aparentemente.
Factorear los radicandos.
Descomponer los exponentes en sumas para poder extraer
factores del radical.
Distribuir los radicales en el producto y simplificar índice y
exponente.
Multiplicar los coeficientes.
Como los radicales ya se transformaron en semejantes
puedo operar con los coeficientes.
Los radicales no son semejantes aparentemente.
Factorear los radicandos.
Distribuir y simplificar.
Se asocian los radicales que no se simplificaron
totalmente, porque son de igual índice.
Los radicales no son todos semejantes.
Agrupo los que son semejantes y opero con sus
coeficientes
La adición de radicales no semejantes queda
indicada.
= ____________________________ =
= _________________________ = _________ = _____________________ = ____________________ = 𝑥^2 63 𝑥^2
Potencias de exponente racional
Las raíces guardan una estrecha relación con las potencias de exponente racional no entero. Recordamos la propiedad 1 de la radicación: Exponentes racionales
𝑛 (^) 𝑎 𝑚 = 𝑛^ 𝑎𝑚= 𝑎𝑚^ 𝑛^ 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 , 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ
Todo radical puede convertirse en una potencia de exponente fraccionario, y de esa manera podemos aplicar todas las propiedades de la potenciación.
Por ejemplo: 2
3 = 23 2
3 4 7 = 734
𝑎) 5 = 𝑏) 372 = 𝑐) 5 16 = 𝑑) 832 𝑥^3 =
Para realizar estas transformaciones, debes tener en cuenta que las potencias tengan la misma base y que los ordenadores, como paréntesis, corchetes y llaves te indican el alcance de cada operación. No existe un orden estricto, por cuál propiedad comenzar. Por ejemplo:
(^32) = ____________________ = _____________________ = ____________ = _____________ = 3 1532
5.^25
5
− (^1 ) = _________________________ = __________________________________ =
= __________________________ = _______________ = ________________ = 5 30 57
División en ℝ - Racionalización de Denominadores.
Antes de abordar el tema de racionalización, vamos a recordar una propiedad de la división entre números racionales.
“Si en una división se multiplican el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no se altera”
Por ejemplo: 10020 = 5
- 4
- 4 =^
400 80 = 5^ Esta estrategia es la que usaremos para resolver la división por un número irracional.
Para resolver el problema de la división por un número irracional o una expresión algebraica irracional basta transformar el divisor o denominador irracional en un número racional. Esta operación se conoce con el nombre de racionalización de denominador. Pueden presentarse tres casos.
PRIMER CASO: El denominador irracional es una raíz cuadrada
En este caso se agrega multiplicando, al numerador y al denominador, el mismo número irracional que figura en el divisor.
𝑎)
4 3 3 2 =^
4 3 3 2.^
2 2 =^ =^ =^ =
2 𝑎^2
2 𝑎^2
2 𝑎^2
SEGUNDO CASO: El denominador irracional es una raíz de otro índice distinto de dos.
En este caso se agrega multiplicando, al numerador y al denominador, una raíz de igual índice a la dada en el divisor, pero en el radicando de dicha raíz se agrega el factor conveniente de manera que se complemente para lograr igualar al índice.
𝑎)
1 (^5 45) 𝑥 4 𝑦 3 =
1 (^5 32) .5.𝑥 4 .𝑦 3 .
(^533) .5 (^4) .𝑥.𝑦 2 (^5 33) .5 (^4) .𝑥.𝑦 2 =
5 5 =^ =
El radicando queda elevado al cuadrado y se simplifica con la raíz
Agregado
Denominador Factorear y Extraer Agregado Racional factores
Expresión algebraica racional.
Agrego raíz de igual índice; y los mismos factores con el exponente necesario para llegar a igualar el índice.
Factorear (^) Producto de radicales de igual índice: se introducen todos los factores en un radical.
Se simplifican todos los factores.
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1
NÚMEROS REALES. IRRACIONALES
1) Completar los espacios con cruces, según corresponda:
2) Descubrir la regla de formación de los siguientes números irracionales y luego
escribe los seis números siguientes:
a) 1,33343536 … b) 0,808800888000 … c) 321, 612244896 …
3) Decidir si las siguientes afirmaciones son V o F; en caso de falsedad exhiban un
contraejemplo:
- La unión del conjunto de los números enteros con el de los racionales forman el conjunto de los números reales.
- Todo número real es racional.
- Todo número racional es entero.
- Todo número irracional es real.
- Existen números reales que al elevarlos al cuadrado dan negativos.
- Existen “huecos” en la recta numérica que no son ocupados por ningún número real.
- Si a y b son números reales, entonces a es mayor que b o b es mayor que a.
- Todo número natural es real.
- Siempre consigo un resultado al calcular la raíz cuadrada de un número real.
- La suma de un racional con un irracional es un número racional.
- La multiplicación entre dos números irracionales puede dar un número racional.
4) Calcular aplicando las propiedades correspondientes. 𝑎) 2. 10. 5 = 𝑏) 125 ∶ 5 = 𝑐) 436 = 𝑑) 90 ∶ 2. 5 =
𝑒) 𝑎^12
3
𝑎^12 =
5) Simplificar al máximo cada expresión, extrayendo factores del radical:
𝑔) 8 𝑥^6 𝑎^3
𝐻) 38 𝑎^3 𝑥^4
𝑖) 200 𝑎^5 𝑏^7 𝑚^6
𝑗) 410000 𝑎^8 𝑏^8 𝑦^3
𝑥^10 𝑦^12 𝑧^6
5
6) Realizar las siguientes sumas algebraicas entre radicales:
a) 45 − 27 − 20 = b) 75 − 147 − 675 − 12 c) 175 − 243 − 63 − 2 75 = d) 29 20 − 45 − 37 125 − 98 = e) 7 450 − 320 − 143 80 − 25 800 = f) 3 54 − 3 24 + 283 3 16 = g) 3 875 − 17 3 448 + 358 3 189 =
h) 3 40 − 3 625 + 3 135 + 5
3 2 =
7) Resolver aplicando propiedad distributiva: