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Apostula do poderoso software Mathematica em português. Vale a pena conferir.
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
Filipe Antônio Marques Falcetta – RA 043576 – Cálculo 1 – MA111C Professor Márcio Antônio de Faria Rosa Universidade Estadual de Campinas – Unicamp 2º Semestre/ Segunda revisão realizada em outrubro/
O software Mathematica, ao lado de outros softwares também conhecidos (Maple, Máxima, Octave, MatLab, Mupad etc) é um CAS (Computer Algebraic System – algo como Sistema Algébrico Computacional). Um CAS é um programa que busca facilitar o cálculo em matemática simbólica, ou seja, através de um CAS, é possível calcular com a mesma formalidade do cálculo no papel, seguindo-se as mesmas regras, e, nos CASs mais modernos, utilizando-se das mesmas notações. Este tutorial foi desenvolvido para mostrar alguns conceitos do Mathematica, bem como aproveitar seus recursos para o estudo de Cálculo. A versão utilizada no tutorial é a 5..
O Mathematica começou a ser desenvolvido em 1986 por Stephen Wolfram, o qual lançou a primeira versão em 1988. Mathematica é uma linguagem de programação que suporta criação de novas funções e procedimentos – abrindo espaço para a completa edição do software, para que ele seja modificado de modo a suprir as necessidades do usuário. É implementada em uma variante do C (orientada a objetos). Neste software, a linguagem é interpretada por uma kernel (núcleo) que realiza todos os cálculos, tornando o sistema independente da plataforma que se deseja operar (de fato, existem versões para Windows, Macintosh e Linux – no mesmo disco de instalação). O Mathematica também suporta variadas interfaces (JMash, por exemplo), embora a mais comum seja a interface padrão, já bem completa e com boa receptividade do usuário (servindo tanto para usuários comuns, como para usuários que realizam cálculos avançados). Este software é ainda um poderoso editor de textos, de páginas da Web e importantíssimo para o estudo das mais variadas ciências. A versão mais recente é a 5.2 , de Julho/2005. Abaixo são listadas as mais importantes modificações do Mathematica versão a versão.
1988: Mathematica 1. Versão inicial lançada.
1989: Mathematica 1. Lançada interface para Macintosh.
Mathematica 2. Interface para Windows; Protocolo Mathlink para comunicação em rede; Detecção/correção de erros; Suporte a sons; Utilização de gráficos paramétricos em 3D.
1992: Mathematica 2. Suporte ao Windows 3.1; Melhoria do Mathlink, tanto para Unix, como para Mac.
1993: Mathematica 2. Novas interfaces separadas entre si; Mathlink para Windows; Serviço de auxílio aprimorado.
1996: Mathematica 3. Melhoria na interface e no método de cálculo; Suporte ao Windows 95.
1999: Mathematica 4. Melhoria na velocidade dos cálculos, no uso de memória; Licenças em rede para corporações.
2000: Mathematica 4. Versão para MacOS X (4.1.5 – lançada em 2001); Suporte a XML; Integração com Java.
2002: Mathematica 4. Plataforma Java integrada; Melhoria na programação de funções.
2003: Mathematica 5. Melhoria na utilização das extensões dos processadores; Início do suporte a 64-bits; Inclusão de um tutorial interativo.
2004: Mathematica 5. Criação da ferramenta de análise MathematicaMark, esta ferramenta possibilitou a abertura de um novo campo para o Mathematica, que passou a atuar na análise de
Para se fazer qualquer tipo de operação, basta digitá-la na seção notebook (da mesma forma que se faria utilizando-se um papel) seguida de < shift> +
As operações aritméticas simples são similares a todos os programas de cálculos no computador (incluindo-se a própria calculadora do Windows, por exemplo):
+ para adição;
- para subtração; ***** para multiplicação; / para divisão; ^ para potência.
O Mathematica sempre procura fazer a melhor aproximação para o resultado obtido. Por exemplo, iremos calcular a divisão 5 por 2 e a raiz de 3.
Para se obter o símbolo de raiz, basta clicar no botão correspondente na barra de ferramentas. Maneiras alternativas de se obter a raiz de um número (vistas com detalhe nas próximas seções deste tutorial):
Observe que os resultados retornados não foram nem um pouco amigáveis. Para se obter o resultado numérico, basta digitarmos N[expressão, num_casas]. O comando % retorna o resultado anteriormente obtido. Assim:
Note que não foi determinado o número de casas desejado para a divisão. Quando isso ocorre o Mathematica utiliza o padrão de 5 casas, ou até o último algarismo significativo. Já para a raiz quadrada, foi obtida com o valor numérico, na precisão esperada, de 20 casas decimais.
O Mathematica também é, por excelência, um manipulador de funções numérico-algébricas, e possui vários comandos integrados para este tipo de operação numérica.
Factor[expressão] – fatora expressões; Expand[expressão] – realiza a distributiva nos produtos;
Para excluir uma definição, seja de funções ou de variáveis, use o comando Clear[nome_funcao]
Observe:
O Mathematica testa sentenças lógicas, bastando digitá- las da forma que se faria no papel. Para elas, ele retorna True (verdadeiro) ou False (falso).
No software, tudo é muito simples:
O Mathematica apresenta uma vasta biblioteca de funções matemáticas pré-definidas , abaixo são listadas as mais utilizadas e seu significado:
Abs[x] Módulo (valor absoluto) de um número/expressão. Exp[x] Exponencial. Equivale ao número e, elevado a x. Log[x] Função logaritmo natural. Log[b,x] (^) Logaritmo de x, na base b. Sin[x] Seno Cos[x] Cosseno Tan[x] (^) Tangente Sec[x] (^) Secante Csc[x] Cossecante Cot[x] Cotangente
Funções Trigonométricas
ArcSin[x] (^) Arco Seno ArcCos[x] (^) Arco Cosseno ArcTan[x] Arco Tangente ArcSec[x] Arco Secante ArcCsc[x] Arco Cossecante ArcCot[x] (^) Arco Cotangente
Funções Trigonométricas Inversas
Sinh[x] Cosh[x] Tanh[x] Sech[x] Csch[x] Coth[x] ArcSinh[x] ArcCosh[x] ArcTanh[x] ArcSech[x] ArcCsch[x] ArcCoth[x]
O Mathematica também possui uma gama de funções hiperbólicas correspondentes à cada uma das funções trigonométricas clássicas.
Muitas vezes deseja-se fazer um gráfico de uma função, neste software isso é feito diretamente, digitando-se basicamente Plot[f[x],{x,xmín,xmáx}].
Por exemplo:
definidos com a mesma escala. Para que o gráfico seja mostrado da maneira como esperávamos devemos incluir a opção AspectRatio ->n , para que x e y tenham a mesma escala, n=1.
O Mathematica apresenta vários pacotes separados (conjuntos de instruções que não são carregados na inicialização do software, mas que podem ser utilizadas quando necessário, bastando-se que sejam previamente “chamadas”). As funções gráficas apresentam inúmeros pacotes. No plano, destacaremos dois conjuntos de instruções:
ImplicitPlot – permite que o programa faça curvas no plano, sem parametrizá-las (como elipses, hipérboles etc.)
Graphics – permite ao Mathematica realizar facilmente gráficos em coordenadas polares (de rosáceas, cardióides, espiral de Arquimedes etc.), histogramas, gráficos de barra,
logarítmicos, gráficos de setor, uma grande implementação aos tipos de gráficos-padrão que o software por si já realiza.
Para inicializar um pacote, deve-se utilizar a sintaxe: <<Graphicsnome_pacote (para pacotes gráficos, o nome entre crases).
Sintaxe dos comandos:
Observe:
Um cardióide, ou...
Como o Mathematica apresenta inúmeras opções e configurações distintas para cada comando, a linguagem apresenta um método simplificado de obter uma lista das opções que podem ser utilizadas e a sintaxe das mesmas. Basta digitar Options[comando]. Observe no software:
Esta seção do tutorial foi inteiramente revista, com novas instruções e opcões, bem como uma explicação mais aprofundada dos comandos em 3D do Mathematica.
Primeiramente será mostrada a sintaxe e o comando básico de plotar em 3D: Plot3D , comando indispensável para o estudo de Cálculo 2, mostra gráficos de 2 variáveis em 3D.
Sintaxe: Plot3D[f[x,y],{x,xmín,xmáx},{y,ymín,ymáx}]
Por exemplo:
Assim fica o gráfico em um outro ângulo de visão. A parte destacada mostra a propriedade adicionada pela ferramenta.
Existem, assim como no comando Plot , várias propriedades que podem ser adicionadas para tornarem o gráfico mais limpo. Por exemplo:
Boxed : Escolhe se o gráfico terá ou não bordas; Axes : Escolhe se o gráfico terá ou não os eixos; Shading: Escolhe se o gráfico será “pintado” ou não; PlotPoints: Determina o número de pontos de uma figura; Mesh: Retira ou coloca linhas de construção.
E muitas outras opções. Cabe ao leitor dar uma procurada nelas e utilizá-las conforme o interesse.
Observe mais um gráfico interessante:
No Cálculo 2, curvas de nível possibilitam estudar os gráficos em 3D, encontrando intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, no plano do papel. O Mathematica possibilita a construção de tais curvas utilizando-se para isso o comando ContourPlot , de sintaxe:
ContourPlot[f(x,y),{x,xmín,xmáx},{y,ymín,ymáx}]
Observe as curvas do gráfico acima:
