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MATLAB / CONTROLO
Função de Transferência -- Resposta Temporal -- Root-Locus
1 - Introdução
Este trabalho tem como principal objectivo a familiarização dos alunos com algumas das capacidades do MATLAB e da sua “Control System Toolbox ”.
2 - Apresentação do Matlab
O Matlab tendo uma interface simples e intuitiva, através de linha de comandos, apresenta as seguintes características:
- As Variáveis são tratadas como escalares, vectores ou matrizes de uma forma transparente. Pode-se pensar no MAT rix LAB oratory como uma linguagem que foi criada para a manipulação de matrizes.
- Tem funções predefinidas, que podem ser utilizadas para resolver vários tipos de problemas.
- Considera de forma diferente os caracteres maiúsculos e minúsculos
- Dispõe de um HELP a que se deve recorrer sempre que necessário.
- As funções de transferência são definidas a partir dos polinómios do numerador e denominador, os quais são representados por vectores com os seus coeficientes.
3 - Trabalho a Efectuar
NOTA: Para que o aluno compreenda devidamente cada um dos comandos do Matlab, é necessário que, antes de os utilizar, observe os seus conteúdos recorrendo ao help.
Exemplo: se desejar saber o conteúdo de uma instrução, faça: »help (^) nome da função
4 - Complexos e Matrizes
4.1 - Números Complexos
O MATLAB trabalha com números complexos. Por defeito as variáveis i e j estão definidas como − 1. Em engenharia electrotécnica utiliza-se normalmente o símbolo j para a parte imaginária.
» j a n s = 0 + 1. 0 0 0 0 i » i a n s = 0 + 1. 0 0 0 0 i
De notar que o MATLAB privilegia o símbolo i.
4.1.1 Representação dos números complexos
O MATLAB pode representar graficamente os números complexos.
» a = 2 + 3 * j » b = 3 + 4 j » c = a + b » d = a * b » c o m p a s s ( [ a , b , c , d ] )
Nota: para apresentar a janela de gráfico escrever `shg'. Para limpar a janela de gráfico escrever ‘clg’.
4.1.2 Ainda sobre números complexos
Alguma teoria! Se z é um número complexo z = x + jy , então a forma polar de z é z = rej^ θ
onde r = x^2 + y^2 é o comprimento do vector complexo z e θ é o ângulo
de z , θ = tan −^1 ( y / x )(radianos).
O MATLAB lida com a forma exponencial (ou polar) de um número complexo como com a forma cartesiana.
» z = 1 + 2 * j ; » r = a b s ( z ) » t h e t a = a n g l e ( z )
5 - Função de transferência
Considere a seguinte Função de Transferência :
G s
s s s
s s s
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
=
=
1 2 3
1 (^25 )
escreva no MATLAB:
» n u m = [ 1 1 ] » d e n = [ 1 5 6 ] em que num e den são vectores que contêm os coeficientes dos polinómios do numerador e do denominador da função de transferência.
Para obter a função de transferência de um sistema a partir da equação do numerador e denominador, escreva: » s ys = t f ( n u m , d e n )
A variável sys é um objecto tipo função de transferência.
Para ver as propriedades dos sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) escreva: » h e l p l t i p r o p s
» b = r o o t s ( d e n ) Permite encontrar as raízes do polinómio característico.
» c = p o l y( b ) Retorna o vector den.
» [ z , p , k ] = t f 2 z p ( n u m , d e n ) Permite obter os zeros, pólos e o ganho da função de transferência.
» [ n u m , d e n ] = z p 2 t f ( z , p , k ) Transforma os zeros, pólos e o ganho na função de transferência correspondente.
» [ r , p , k ] = r e s i d u e ( n u m , d e n ) Obtém os resíduos, os pólos e os termos constantes da expansão em fracções parciais da função de transferência G(s).
Para obter a função de transferência em malha fechada quando a realimentação é negativa e unitária, escreva: » s ys 1 = f e e d b a c k ( s ys , 1 )
Considere que G(s) é a função de transferência da malha para a frente e
que H s s ( ) =
1 é a função de transferência da malha de realimentação
negativa.
» n u m 1 = [ 1 ] » d e n 1 = [ 1 0 ] » s ys 1 = t f ( n u m 1 , d e n 1 )
Para obter a Função de Transferência em malha fechada do sistema faça:
» s ys m f = f e e d b a c k ( s ys , s ys 1 )
Confirme analiticamente o resultado obtido.
O MATLAB por defeito assume realimentação negativa. Se se pretende saber a função de transferência do sistema com realimentação positiva faz--se:
» s ys m f r p = f e e d b a c k ( s ys , s ys 1 , + 1 )
Para conhecer outras funções relacionadas com a simplificação de diagramas de blocos escreva:
» h e l p s e r i e s » h e l p p a r a l l e l
6 - Resposta Temporal
Considere um sistema com a seguinte função de transferência :
G s s s
( ) =
2 (^22 )
» s ys = t f ( [ 2 ] , [ 1 2 2 ] ) » [ wn , z ] = d a m p ( s ys )
Permite determinar a frequência natural não amortecida (wn ) e o coeficiente de amortecimento(z) do polinómio den.
G s H s
s s s ( ) ( ) ( ) =
1 10 que é representada no MATLAB, como:
» s ys = t f ( [ 1 1 ] , [ 1 1 0 0 ] )
Note que mesmo não aparecendo no denominador o 3º coeficiente, este deve ser colocado, no seu vector representativo, como zero.
Obtenha o Root-Locus
» r l o c u s ( s ys )
Determine as raízes da equação característica para k=10.
» k = 1 0 » r = r l o c u s ( s ys , k )
Para determinar a localização das raízes de forma interactiva no Root- locus, faça:
» r l o c f i n d ( s ys )
Para determinar a localização, no Root-locus, dos pontos com coeficiente de amortecimento igual a 0.5 e frequência natural não amortecida igual a 5 rad/s, faça:
» s ys = t f ( [ 1 ] , [ 1 1 0 5 ] ) » r l o c u s ( s ys ) » s g r i d ( 0. 5 , 5 )
» l t i vi e w
Interface do utilizador para estudar os sistemas LTI existentes no espaço de trabalho nas suas componentes de espaço de estados, função de transferência e ganho-zero-pólo.
