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MATRICES Y DETERMINANTES (16ª entrega)
1 𝐻á𝑙𝑙𝑒𝑠𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧:
𝐹 2
−𝐹 1
𝐹
3
+𝐹
1
𝐹 3
− 4 𝐹 2
𝐶
2
− 5 𝐶
1
𝐶
4
− 2 𝐶
1
𝐶
3
−𝐶
2
𝐶
4
−𝐶
2
2 𝑅𝑒𝑠𝑢é𝑙𝑣𝑎𝑛𝑠𝑒: 𝑎) |
[(
]
2
2
:(− 2 )
2
2
2
:(− 1 )
2
). ¿ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢é 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝒙 𝑒𝑠 𝑨
−𝟏
− 1
2
2
2
2
𝟐×𝟐
𝟐
𝒕
𝑀𝑢é𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝟐𝑩
𝒕
𝑨 𝑦 𝑨𝑩 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑦 ℎá𝑙𝑙𝑒𝑛𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑠.
2
− 1
𝑡
− 1
𝑡
− 1
− 1
− 1
𝑡
− 1
[𝐴
− 1
𝑡
− 1
] =
[(𝐴 − 4 𝐼) · (𝐵
− 1
− 1
] =
− 1
− 1
− 1
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
− 1
− 1
𝑡
𝑡
𝐸𝑛𝑐𝑢é𝑛𝑡𝑟𝑒𝑛𝑠𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝟐 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒𝑛: 𝑨 + 𝑰
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝑆𝑒𝑎 𝐴 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 × 2 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝟏
𝟐
𝟑
𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝟑 × 𝟑 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒 𝟖. 𝐻á𝑙𝑙𝑒𝑛𝑠𝑒:
𝑎) 𝐝𝐞𝐭(𝟐𝑨) 𝑦 𝑏) 𝐝𝐞𝐭[𝑪
𝟑
𝟏
𝟐
𝟏
]
- 𝑆𝑖 𝐴 𝑒𝑠 𝑛 × 𝑛 𝑦 det(𝐴) = ∆→ det(𝑘𝐴) = 𝑘
𝑛
𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒, é𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜.
- 𝑈𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎
𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜 é𝑙
𝑆𝑖 𝑀 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 4 × 4 →
4
𝑇𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛
𝑡
3
3
𝑡
3
3
3
10 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚í𝑛𝑒𝑠𝑒 𝑨, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝐝𝐞𝐭
det
2
2
2
2
11 𝑅𝑒𝑠𝑢é𝑙𝑣𝑎𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: |
(
𝐶
2
−𝐶
1
𝐶
3
−𝐶
1
𝐶
4
−𝑥𝐶
1
)
𝑅.𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑖ò
3 + 3
1
2
3
det
2
3
det
− 1
𝑀𝑢é𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒
𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎.
𝑇
𝑇
𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:
𝑇
[
𝑇
)]
𝑇
𝑇
𝑇
[
𝑇
𝑇
𝑇
]
𝑇
𝑇
𝑇
𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:
𝑇
= [
𝑇
]
𝑇
𝑇
𝑇
[𝐴
𝑇
𝑇
𝑇
] =
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
[𝐴 + 𝐴
𝑇
𝑇
] =
𝑇
𝑇
𝐿𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 𝐵 + 𝐶, 𝑐𝑜𝑛 𝐵 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝐶 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
1
2
𝑇
1
2
𝑇
𝑇
14 𝐻á𝑙𝑙𝑒𝑠𝑒:
𝐻á𝑙𝑙𝑒𝑛𝑠𝑒: 𝒂, 𝒃, 𝒄 𝑦 𝒅.
𝑆𝑒𝑎 𝑨 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝒏 × 𝒏 𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑨
𝟐
𝐷𝑒𝑚𝑢é𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒: ∀𝒌 ∈ ℝ, 𝐝𝐞𝐭
𝒏
𝐴 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛 × 𝑛 𝑖𝑑𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝐴
2
− 1
↔ ∆= det (𝐴) ≠ 0 )
2
= 𝐴 → det(𝐴
2
) = det(𝐴) → [det(𝐴) · det(𝐴)] = det(𝐴) → ∆
2
2
𝑆𝑖 𝐴 𝑒𝑠 𝑛 × 𝑛, 𝑒𝑛 𝑘𝐴 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 ℎ𝑎 𝑠𝑖𝑑𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑘 → det
𝑛
· det (𝐴)
→ det
𝑛
𝑛
𝑛
20 𝑆𝑖𝑛 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑟𝑟𝑢𝑠, ℎá𝑙𝑙𝑒𝑠𝑒:
(
𝐹
1
( − 1
) 𝐹
3
𝐹
2
+(− 1 )𝐹
3
)
(
( −𝑎
) ·𝐹
3
)
( 𝐹
3
1
)
(
𝑎·𝐹
1
−𝑏·𝐹
2
)
( 𝐹 2
)
21 𝑆𝑒𝑎 𝑨 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑦 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝒑, 𝒒 ∈ ℕ. 𝐷𝑒𝑚𝑢é𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝑨
𝒑
𝒒
𝒒
𝒑
𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑎𝑢𝑛𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜. 𝐴𝑞𝑢í 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎, 𝑝𝑢𝑒𝑠
𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠. 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝 ≥ 𝑞 (𝑠𝑒 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑟í𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖 𝑞 ≥ 𝑝).
𝑝
𝑞
𝑞+𝑟
𝑞
𝑞
𝑟
𝑞
𝑞
𝑟
𝑞
𝑞
𝑟+𝑞
𝑞
𝑝
). 𝑅𝑒𝑠𝑢é𝑙𝑣𝑎𝑠𝑒: 𝑿𝑴 + 𝑴 = 𝟐𝑴
𝟐
det
− 1
2
2
∃𝑀
− 1
− 1
2
− 1
− 1
2
− 1
− 1
2ª 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
2
2
4 + 1
4 + 4
𝐸𝑛 𝑒𝑙 2º:
𝐶
1
−𝐶
3
𝐶
2
−𝐶
3
| = 𝑎𝑏𝑐𝑥 + 𝑑[𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑐𝑥 + 𝑎𝑏𝑥 + 𝑐𝑏𝑥] =
:𝑎𝑏𝑐𝑑
26 𝑅𝑒𝑠𝑢é𝑙𝑣𝑎𝑠𝑒: {
𝐸 2
− 2 𝐸 1
27 𝑅𝑒𝑠𝑢é𝑙𝑣𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙: {
𝐼 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝐼≡ 1
2
2
𝑆𝑖 ∃(𝐴
2
−𝐼)
− 1
𝐵𝐶=𝐼→𝐵=𝐶
− 1
2
− 1
2
− 1
2
− 1
28 𝐻á𝑙𝑙𝑒𝑠𝑒: |
𝐹
2
−𝐹
1
𝐹
3
−𝐹
1
𝐹 4
−𝐹 1
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐹
2
𝐹
1
+𝐹
2
𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑖ò
𝐶
2
1 + 1
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐶
1
𝐹 2
+𝐹 1
𝐹
3
+𝐹
1
2
𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐶ℎ𝑖ò
2
2
2
2
2
2
2
29 𝐻á𝑙𝑙𝑒𝑠𝑒: |
2
𝑛
𝑛
𝑛
2
𝑛
𝑛
2
2
𝑛
2
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
32 𝐸𝑠𝑡ú𝑑𝑖𝑒𝑠𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑨 = (
33 𝐸𝑠𝑡ú𝑑𝑖𝑒𝑠𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑩 = (
𝑃𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛.
1
1 − 1
2
2 − 1
𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 𝑆𝑢𝑝ó𝑛𝑔𝑎𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐴
𝑛
𝑛− 1
𝑛+ 1
𝑛
𝑛+ 1
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
𝑛− 1
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
𝑛− 1
𝑛− 1
Una matriz se llama escalonada por filas o simplemente escalonada si cumple con las
siguientes propiedades:
- Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.
- El elemento delantero de cada fila diferente de cero (pivote) está a la derecha del elemento
delantero diferente de cero (pivote) de la fila anterior.
𝑆𝑒𝑎 𝐴, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑚 × 𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑚 ≤ 𝑛 → 𝑚í𝑛
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑚 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠
𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑚 > 𝑛 → 𝑚í𝑛 {𝑚, 𝑛} = 𝑛
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑠𝑖 𝐴 𝑡𝑢𝑣𝑖𝑒𝑠𝑒 𝑛 + 𝑘 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟í𝑎 𝑛 + 𝑘 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑠, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙
𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑎𝑙 ℎ𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑚á𝑠 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠.
