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ALAp 2 - Matrizes com entradas Reais
As aplicações da Álgebra linear dependem fundamentalmente de manipulações algébricas com matrizes. Sobretudo na implementação computacional de métodos da Álgebra Linear. Este capítulo está destinado a familiarizá-lo com as propriedades algébricas das matrizes. Poderíamos trabalhar a teoria de modo a admitir que as matrizes fossem formadas com entradas em C (conjunto dos números complexos) ou apenas em Q (conjunto dos números racionais), ou até mesmo com quocientes de polinômios. Tudo neste capítulo, essencialmente, permanece válido nestes casos. Mas achamos melhor fixar idéias estudando apenas matrizes com entradas em.
2.1 – Soma de matrizes e multiplicação por números.
mxn denotará o conjunto das^ Matrizes de números reais com m linhas e n colunas. Fixaremos, ao longo de todo o livro, como notação que , se A é uma matriz:
Aij denota a entrada de A na linha i e na coluna j
Ai denota a i-ésima linha de A ( Ai = (Ai1 Ai2 Ain) )
A(j)^ denota a j-ésima coluna de A (
mj
2 j
1 j (j)
A
A
A
A
Assim como é natural “somar” tabelas e “multiplicá-las” por números reais, definimos a soma de matrizes mxn e sua multiplicação por números, entrada por entrada como:
(A + B)ij = Aij + Bij
( A)ij = Aij
Por exemplo, 2 6 0
2 0 6 0 3 4
1 2 3 2 3 4
1 2 3 e 4 6 8
2 4 6 2 3 4
1 2 3 2
Vendo matrizes mxn como pontos do mn
Alguns softwares, como, por exemplo, o Fortran armazenam matrizes coluna por coluna. Ou seja, como pontos de algum mn, de tal forma que as m primeiras coordenadas correspondem à primeira coluna da matriz, as m seguintes correspondem à segunda coluna e assim por diante.. A soma de matrizes mxn e sua multiplicação por números reais funciona exatamente da mesma forma que a soma de pontos no mn^ e a multiplicação de pontos do mn por números reais.
1 2 1 1
3 2 1 0 = 4 4 0 1
1 1 2 1
3 1 2 0
4 0 4 1
(ordenando as entradas por colunas)
3
(^) =
3
1 1 2 1
3 3 6 3
Neste ponto de vista , podemos ver matrizes de m linhas e n colunas como pontos do mn
. Mais ainda, podemos identificar ( mxn , +,) com ( mn^ , +,).
(Mmxn , +,) só começa a se diferenciar de ( mn^ , +,) quando multiplicamos matrizes por vetores. Em particular, as propriedades estruturais EV1-EV6 satisfeitas pela soma de vetores bem como pela multiplicação de vetores por números reais em V = ( n,+,*) igualmente valem para a soma de matrizes e a multiplicação de matrizes por números.
Exercício da seção 2.
Exercício 2.1 – Verifique que o conjunto das matrizes Mmxn, com a soma e a multiplicação por números definidas acima satisfaz as propriedades EV1-EV6 lã da seção 1.
2.2 - Matrizes particionadas por linhas e por colunas
Freqüentemente é conveniente olhar para matrizes como particionadas em blocos de matrizes menores. Por exemplo:
A =
8
7
6
5
4 5 6 7
3 4 5 6
2 3 4 5
1 2 3 4
pode ser pensada como A = Z W
X Y , onde:
X =
2 3
1 2 , Y = 4 5 6
3 4 5
Z =
4 5
3 4 , W = 6 7 8
5 6 7
Desta forma, A fica particionada em dois blocos de matrizes 2x2 e dois blocos 2x.
A + B = (A(1)^ + B(1)^ A(2)^ + B(2)^ A(n)^ + B(n))
Igualmente, ao multiplicarmos matrizes por números, se é um número real, então
A = (A(1)^ A(2)^ .... A(n)) = ( A(1)^ A(2)^ .... A(n))
2.2.2 - Matrizes particionadas em vetores-linha
Exemplo 2.1 Produto de uma matriz 1x3 por um vetor do 3
Considere a matriz A = ( 1 2 4 ) e o vetor x = 2
do 3
Podemos formar o produto Ax, que resulta ser a matriz 1x1 dada por:
Ax = x 1 A(1)^ + x 2 A(2)^ + x 3 A(3)^ = (11 + 23 + 4*2 ) = ( 15 ) 15.
Exemplo 2.2 - Apresentamos abaixo a tabela de preços, em R$ por kg, das frutas nas prateleiras de um certo mercado.
Laranja Maçã Banana Melão Mamão Uva Goiaba Pinha Manga Sapotí 0,50 2,00 1,30 0,95 0,65 2,20 1,45 3,50 1,80 3,
Denotando por C = (0.50 2.00 3.20) a matriz 1x10 que representa os preços das
frutas e escrevendo em x =
10
2
1
x
x
x
o vetor das respectivas quantidades, em kg, compradas por
João , então C x = 0.5x 1 + 2x 2 + + 3.2 x 10 representa o gasto de João com frutas.
OBS. 2.3: Matrizes 1x1 denotadas como números reais.
Matrizes 1x1 se confundem naturalmente como números reais. Daí serem usualmente denotadas como tais. Daquí por diante, sempre que não houver confusão possível denotaremos uma matriz 1x1 sem os parênteses, apenas pelo número real que a caracteriza.
OBS. 2.4: Produtos de vetores-linha (matrizes nx1) por vetores do n
Veja que, analogamente ao que aconteceu nos exemplos 2.1 e 2.2, se A = ( (^1 2) n) é
uma matriz 1xn, e x =
n
2
1
x
x
x
é um vetor do n, o produto Ax se escreve como
Ax = ( x 1 1 + x 2 2 + + xn n) = 1 x 1 + 2 x 2 + + nxn (2.1)
Observe na fórmula 2.1, que a i-ésima coordenada de Ax se escreve como o produto da i-ésima linha de A, pelo vetor x, já que :
Ai1x 1 + Ai2 x 2 + + Ainxn = (Ai1 Ai2 Ain )
n
2
1
x
x
x
=Aix
Ou seja, se olhamos para a matriz A como particionada por linhas, o produto matriz-vetor se define pela fórmula:
Ax =
m 1 1 m 2 2 mn n
21 1 22 2 2 n n
11 1 12 2 1 n n
A x A x A x
A x A x A x
A x A x A x
A x
A x
A x
m
2
1
Na verdade, a forma mais usual de introduzir o produto matriz-vetor nos livros textos de Álgebra Linear é pela fórmula acima. Provavelmente por ser mais fácil de memorizar já que, nela, cada coordenada de Ax se escreve como o produto de uma linha de A pelo vetor x. Muito embora só venhamos a trabalhar o produto interno de vetores no capítulo 5, vale registrar (vide as fórmulas 1.2 e 2.1) que o produto matriz-vetor da linha Ai pelo vetor x se confunde com o produto interno dos vetores Ai e x, pensados como vetores do n.
Esta dualidade na forma de enxergar o produto matriz-vetor, ora pensando cada uma das coordenadas de Ax como produto de vetores no n, ora vendo-o como combinação linear das colunas de A é extremamente útil na manipulação com matrizes, e será muito explorada ao longo de todo este livro.
EXERCÍCIOS DA SEÇÃO 2.
Exerc. 2.2 - Sejam A =
1 0 1 2 1 0 , x =
0 0 1
e y =
1 2 0
. Verifique que Ax = Ay
Exerc. 2.3 - Considere o sistema de equações lineares
3 2 5
1
2 4
1 2 3
1 2
1 2 3
x x x
x x
x x x
Na tabela abaixo apresentamos as quantidades de brinquedos B 1 , B 2 e B 3 produzidas, por trimestre no ano passado, na referida fábrica (representadas em milhares de unidades):
10 Trimestre 20 Trimestre 30 Trimestre 40 Trimestre B 1 (milhares de unidades) 2,5 2,8 2,95 3, B 2 5 5.5^ 6,2^ 6, B 3 11 11,6^ 12,4^ 15,
Representamos a tabela pela matriz B = 11 11 , 6 12 , 4 15 , 2
A despesa de cada trimestre , discriminada por item, seria CB(1), CB(2), CB(3)^ e CB(4)
A despesa discriminada no ano será:
Da = CB(1)^ + CB(2)^ + CB(3)^ + CB(4)^ =
63 , 85
98 , 4
226 , 1
65 , 9
55 , 35
85 , 9
196 , 6
58 , 15
51 , 15
79 , 4
181 , 7
53 , 7
47 , 5
73 , 5
168
49 , 5
=
217 , 85
337 , 2
772 , 9
227 , 25
Observe que também poderíamos escrever Da como o produto matriz-vetor:
Da = ( CB(1)^ CB(2)^ CB(3)^ CB(4)^ )
1
1
1
1
=
63 , 85
98 , 4
226 , 1
65 , 9
51 , 15
79 , 4
181 , 7
53 , 7
51 , 15
79 , 4
181 , 7
53 , 7
47 , 5
73 , 5
168
49 , 5
1
1
1
1
=
217 , 85
337 , 2
772 , 9
227 , 25
Se no ano seguinte, no primeiro e segundo trimestres a fábrica reduz sua produção em 10% e nos demais a mantem, podemos escrever:
Dt = C( 0,9B(1)^ + 0,9B(2)^ + B(3)^ + B(4)^ ) = C(Bx), onde x =
1
1
0 , 9
0 , 9
Por outro lado, usando a linearidade, também poderíamos escrever Da como:
Da = 0,9 CB(1)^ + 0,9CB(2)^ + CB(3)^ + CB(4)^ = ( CB(1)^ CB(2)^ CB(3)^ CB(4)^ )
1
1
0 , 9
0 , 9
= Px
Ou seja, Da se escreve produto da matriz P = ( CB(1)^ CB(2)^ CB(3)^ CB(4)^ ) por x =
1
1
0 , 9
0 , 9
OBS. 2.6 - O exemplo acima ocorre com frequência. É um caso particular de uma situação na
qual temos uma função linear do p^ no n^ que leva x em Bx, e outra, do n^ no m^ que leva Bx em A(Bx). Neste caso, A é mxn, B é nxp e a função que leva x em A(Bx) é a composição das duas. Dado x no p^ e usando a linearidade do produto matriz-vetor, A(Bx) = A(x 1 B(1)^ + x 2 B(2)^ + + xpB(p)^ ) =
= x 1 AB(1)^ + x 2 AB(2)^ + + xpAB(p)^ =
= (AB(1)^ AB(2)^ AB(p)^ )x = Px
Mas isto significa que A(Bx) é também um produto matriz-vetor Px. Ou seja, o produto da matriz P = (AB(1)^ AB(2)^ AB(p)), por x. Isto motiva a seguinte definição para o produto de matrizes.
Def. 2. 2 Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz nxp.
Seu produto é a matriz mxp que, na forma particionada por colunas, se define por:
A*B = AB =( AB
(1)
AB
(2)
........................ AB
(p)
Observe que, equivalentemente, poderíamos definir AB por:
(AB)ij = (AB)ij = (Ai B(j)) = Ai1B1j+ Ai2B2j + + AinBnj* - (Produto de Ai por B(j))
Exemplo 2.4: Sejam A =
2
1 A
A
e B = 1 1
B (^1 ) B(^2 )
Pela definição: AB = (AB
(1)
| AB
(2)
Equivalentemente: AB = ( 2 ) 2
( 1 ) 2
( 2 ) 1
( 1 ) 1 A B A B
A B A B
Observe ainda que podemos pensar no produto AB como particionado por linhas
vetor Ax já foi feita tratando x como uma matriz nx1. Na verdade, o produto matriz-vetor, automaticamente o constitui como um caso particular do produto matriz-matriz AB, no caso onde B é nx 1. Nós o introduzimos antes apenas por questões didáticas. Como o objetivo central
da disciplina é estudar o produto Ax, torna-se natural convencionarmos que os vetores do n se confundam com as matrizes nx1, isto é, sejam considerados como vetores-coluna. Em resumo, estabelecemos como convenção:
Salvo menção em contrário, faremos a identificação ( n,+,) (Mnx1,+,).
Ou seja, os vetores do n , passam a ser identificados como matrizes nx1 de números reais, salvo menção em contrário. A multiplicação matriz-vetor, por exemplo, é, de fato, uma multiplicação matriz-matriz, a soma de vetores é a soma de matrizes nx1, etc. Isto nos facilitará enormemente o jogo algébrico com vetores e matrizes.
OBS. 2.8: Analogamente ao que se dá com o produto matriz-vetor Ax, se y = (y 1 ,y 2 , , yn) é
um vetor-linha (matriz 1xn) e B é uma matriz nxp então yB é um vetor-linha (matriz 1xp) que se escreve como combinação linear das linhas de B , ou seja:
yB = (y 1 y 2 .... yn) B =
(y 1 B 11 + y 2 B 21 +......+ynBn1 y 1 B 12 + y 2 B 22 +......+ynBn2 y 1 B1n + y 2 B2n +......+ynBnm )
(y 1 B 11 y 1 B 12 y 1 B1n) + (y 2 B 21 y 2 B 22 y 2 B2n) + + (ynBn1 ynBn2 ynBnn)
= y 1 B 1 + y 2 B 2 +......+ynBn
Exemplo 2.5 - Sejam y = ( -3 2 -2) e B =
1 0 1 2 2 0
Observe que yB = ( -1 4 ) = -3 (1 0) + 2 (-1 2) -2 (-2 0).
Propriedades básicas do produto de matrizes:
Para matrizes A, B e C coerentemente definidas e em :
P1 - Associativa - (AB)C = A(BC)
P2 - Linearidade à direta -
A(B + C) = AB + AC e A( B) = AB
P3 - Linearidade à esquerda -
(A + B)C = AC + BC e ( A)B = (AB)
DEM - A OBS. 2.6 e a Def. 2.2 já nos garantem que, olhando cada coluna C(j)^ como um vetor do p:
(AB)C(j)^ = A(BC(j))
Mas então, para todo j = 1, ,p, a j-ésima coluna de (AB)C coincide com a j-ésima coluna de A(BC), visto que, da definição de produto de matrizes:
((AB)C)(j)^ = (AB)C(j)^ e (A(BC))(j)^ = A(BC)(j)^ = A(BC(j))
Deixamos as demonstrações das propriedades P2 e P3 para o leitor (exerc. 2.14 ).
OBS. 2.9 : Pensando na definição 2.1, P2 pode também ser vista como linearidade da função,
PA : Mnxp Mmxp
que a cada matriz X = Xnxp, lhe associa o produto AX, para uma dada matriz A = Amxn prefixada. Daí o nome linearidade à direita. Analogamente P 3 corresponde a uma linearidade à esquerda. Diz-se ainda que o produto de matrizes AB é bilinear, como função das matrizes A e B.
OBS. 2.10 - Armadilhas do produto de matrizes
Algumas das propriedades algébricas com as quais estamos acostumados a lidar ao tratar com números reais não valem para matrizes. Isto costuma criar dificuldades na manipulação algébrica das matrizes e constituem verdadeiras armadilhas para quem começa a trabalhar com matrizes.. Destacamos duas delas como centrais:
i - O produto de duas matrizes pode não comutar. Por exemplo,
Se A =
e B =
então AB =
3 1 2 1
BA =
0 1 1 2
ii - Não vale a “lei do corte”:
Lembramos que se a, b e c são números reais, a 0 e ab = ac, então podemos “cortar” a e obter b = c.
Exercícios da seção 2.
Exerc. 2.6 - Considere as matrizes B =
1 1 1 2 e C =
1 1 0 1 2 1 .
Verifique que as colunas de BC são combinações lineares das colunas de B.
Exerc. 2.7 - Considere as matrizes B =
1 1 1 2
e C =
1 1 0 1 2 1
.
Verifique que as linhas de BC são combinações lineares das linhas de C.
Exerc 2.8 + - Demonstre as propriedades lineares P2 e P3 do produto de matrizes.
Exerc. 2.9 - Considere as matrizes A =^2 1 2
, B =
1 2 1 2
. Calcule AB e BA. A comparação
de AB com BA indica alguma diferença importante nas propriedades algébricas do produto de matrizes com relação ao produto de números reais?
Exerc. 2.10 - Considere as matrizes A =^1 0 0
e B =^0 1 1
e calcule AB. O que você
observa aí de diferente nas propriedades algébricas das matrizes com relação aos números reais?
Exerc. 2.11 - Certo ou errado? Justifique: i - Se A e B são matrizes 2x2 então AB BA ii - Se A, B e C são matrizes quadradas 3x3 não nulas e AB=AC então B=C. iii - Se A e B são 3x3 e AB = 0 então A=0 ou B = 0 iv - Se A e B são 2x2 e todas as suas entradas são positivas então AB 0 v - Se A e B são quadradas e nenhuma de suas entradas é nula então AB 0 vi - Se A é uma matriz quadrada e A^2 = 0 então A= vii- Se A = BC então toda coluna de A é combinação linear das colunas de B viii - Se A=BC então toda linha de A é combinação linear das linhas de B ix - Se A=BC então toda linha de A é combinação linear das linhas de C
Exerc. 2.12 + - Seja A uma matriz mxn e considere a função LA: Mnxp Mmxp dada por LA(X)
= AX. Mostre que LA é uma função linear, no sentido que, para cada par de matrizes X e X´, com n linhas e p colunas, e cada número real , teremos:
i - LA(X +X´) = LA(X) + LA(X´)
ii - LA( X) = LA(X)
2.4 Transposição de matrizes
A matriz transposta A
T
se obtem de A definindo :
Exemplo 2.6 : Se A =
então A
T
Ou seja, A
T
troca as linhas de A pelas suas colunas e vice-versa.
Se A =
A A
Am
1 2 ... ...
AT^ = B^ B^ B^ A^ A^ A
m T T m
( ) ( ) ( ) T ..... ( ) ( ) ....... ( ) 1 2 1 2
Formalmente, (AT)(i)^ = (Ai)T^ e (AT)i = (A(i))T
Exemplo 2.7 : Sejam x e y vetores do n, ou seja matrizes nx1.
Pensando na matriz nx1, x =
x
xn
1 , sua transposta é a matriz xT^ = (x 1 x 2 ..... xn)
Em particular o produto interno x y = x 1 y 1 + + xnyn = xTy = yTx Isto é, podemos escrever o produto interno usual entre x e y como produto das matrizes xT e y. Ou, equivalentemente como o produto das matrizes yT^ e x.
Cuidado para o fato que o produto interno de x e y é comutativo, mas o produto matricial de xT^ e y não. (Vide o exercício 2.19)
Propriedades da transposição - Se A e B são matrizes mxn, C é nxp e
i - Linearidade da transposição:
(A + B)T^ = AT^ + BT
( A)
T
= A
T
ii - (AC)
T
= C
T
A
T
iii – (AT)T^ = A
(A T )ij = Aji
OBS. 2.11 - Analogamente ao que acontece com ax = b em , para a 0, se A é invertível e à é inversa de A, ou seja, ÃA = Aà = I = Inxn , então Ax = b sempre tem uma única solução , pois:
i - x = Ãb resolve Ax = b, uma vez que, neste caso, Ax = A(Ãb) = (AÃ)b =Ib = b ii - Se y também for solução de Ax = b, então y = Iy = (ÃA)y = Ã(Ay) = Ãb.
Exemplo 2.8: Vamos achar uma inversa para a matriz A = 1 1
Procuramos uma inversa à = 2 4
1 3
x x
x x
para a matriz A, tentando obrigar que à seja
uma inversa à direita de A, isto é, que AÃ = 0 1
. Neste caso, teremos
AÃ =
2 4
1 3
x x
x x
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x
x 2 x x 2 x
Isto equivale a dizer que deveremos satisfazer simultaneamente 4 equações, quais sejam:
É fácil ver que a primeira e a segunda equações do sistema ao lado admitem como única solução x 1 = -1 e x 2 = 1 e que a terceira e a quarta equações admitem x 3 = 2 e x 4 = -1 como solução única. Ou seja, resolvendo o
sistema acima encontramos à =
Veja que, não só obtemos AÃ = 0 1
1 0 , mas também que ÃA =
0 1
1 0
Exemplo 2.9- A matriz A =
0 0 0
3 1 9
1 2 1 não é invertível.
Veja que, para toda matriz X = X3x3, (AX) 3 = A 3 X = ( 0 0 0 ) ( 0 0 1)
OBS. 2.12 - No exemplo 2.9 vimos que, diferentemente do que acontece com números reais,
há matrizes não nulas que não admitem inversas. No exemplo 2.8 obtivemos uma inversa à direita à para a matriz A, ou seja, tal que Aà = I2x2. Até aqui nada nos garantiria, a priori, que ÃA = Aà = I2x2, ou seja, que à também seja uma inversa à esquerda de A. No entanto, no exemplo acima, à também resultou uma inversa à esquerda de A. Ou seja, à resultou uma
x x 1
x 2 x 0
x x 0
x 2 x 1
3 4
3 4
1 2
1 2
inversa verdadeira de A, no sentido da definição 2.3. Além disto, obtivemos ainda que à é a única inversa que A admite.
No capítulo 3 desenvolveremos ferramentas que nos possibilitarão, não apenas caracterizar teoricamente quando uma matriz é invertível, mas também entender melhor a inversão de matrizes e calcular matrizes inversas de forma sistemática. Em particular mostraremos que não foi por coincidência que a matriz à do exemplo anterior comutava com A.. Ou seja, veremos que se A for uma matriz quadrada e à for uma inversa de um dos lados de A, então à comuta com A e resulta, portanto, uma inversa de A no sentido da definição 2.3. É relativamente simples ver que a inversa de A, se existir, é única (vide exerc. 2.23 x-xi).
No exercício 2.19, pedimos ao leitor para verificar que uma dada matriz 3x2 admite mais de uma inversa à esquerda, mas nenhuma inversa à direita. No capítulo 3 mostraremos que as matrizes que não são quadradas nunca admitem inversas dos dois lados.
Propriedades da inversão : Considere A e B nxn, invertíveis e número real 0. Então:
I1 - A também é invertível e ( A)-1^ = 1/ A-
I2 - A-1^ também é invertível e (A-1)-1^ = A
I3 - AB também é invertível e (AB)-1^ = B-1^ A-
I4 - AT^ também é invertível e (AT)-1^ = (A-1)T
Deixamos a demonstração das propriedades I1-I4 a cargo do leitor (vide exerc. 2.20+)
Exercícios da subseção 2.5.
Exerc. 2.14 + - Verifique as propriedades I1, I2, I3 e I4 da inversão de matrizes acima.
Exerc. 2.15 - Dê um exemplo de uma matriz 2x2 que não tenha inversa.
Exerc. 2.16 - Considere A =
2 0 0 3 e B =
2 0 0 0 3 0 0 0 4
. Calcule A-1^ e B-1^. Como você
generalizaria este resultado para matrizes quadradas de ordem n.?
Exerc. 2.17 Certo ou errado? Justifique:
i - A matriz identidade nxn é invertível.
ii - A matriz 0
0 0 0 0 , é invertível.
iii +- Se x 0 e Ax = 0 então A não admite inversa à esquerda. iv +- Se x y e Ax=Ay então A não admite inversa à esquerda v - Se A é uma matriz 1x3 então A não tem inversa à esquerda vi - Se A é uma matriz 1x3, não nula, então A admite uma inversa à direita vii - Nenhuma matriz admite duas inversas à direita distintas.
Se A =
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
AT^ =
0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
ATA = AAT^ = I
iii - R = sin cos
cos sin (^) (Vide exerc. 2.28)
Matrizes simétricas e matrizes ortogonais surgem naturalmente em muitas aplicações. As veremos com mais detalhes nos capítulos 5, 8 e 9. Nos exercícios a seguir situamos algumas de suas propriedades elementares.
Exercícios da subseção 2.5.
Exerc. 2.20 - Verifique que AB não é simétrica, para as matrizes A e B do exemplo 2.
Exerc. 2.21 - Seja f: 2 , dada por f(x,y) = x^2 + 2xy^2 + y^3.
(^2) f(x,y) = ( , ) ( , )
( , ) ( , )
2
2 2
2 2
2
x y y
f x y x y
f
x y y x
x y f x
f é denominada de matriz Hessiana da f em (x,y).
Calcule 2 f(x,y) e verifique que é uma matriz simétrica para todo (x,y).
Exerc. 2.22 - Verifique que R =
cos sen sen cos
é uma matriz ortogonal para todo
Exerc. 2.23 - Certo ou errado? Justifique:
i - Mostre que se A e B são matrizes simétricas, então A + B também é uma matriz simétrica.
ii - Se A é uma matriz simétrica e B não é então A+B não é uma matriz simétrica.
iii - Se A e B são matrizes simétricas AB também é simétrica.
iv - Para toda matriz A, ATA é simétrica
v - A matriz identidade nxn é ortogonal, para todo número natural n.
vi - Se A é uma matriz ortogonal então suas colunas são ortogonais, isto é, A(i)^ A(j)^ = 0, se i j.
vii - Uma matriz obtida da matriz identidade trocando de posição duas de suas linhas é
ortogonal.
viii - Se A e B são matrizes ortogonais então A + B também é uma matriz ortogonal
ix - Se A e B são matrizes ortogonais então AB também é uma matriz ortogonal
2.6 Aplicações
Nesta seção veremos alguns exemplos típicos de como se pode modelar problemas reais com matrizes, de forma a ilustrar um pouco o uso de operações algébricas com elas. Vamos tratar quaatro problemas nos exemplos a seguir. Os dois primeiros serão modelados usando grafos. Grosso modo, um grafo pode ser representado por um conjunto de pontos do plano (vértices ou nós do grafo) e de ligações entre pares de vértices (arestas ou ramos do grafo). A quantidade de fenômenos que podem ser modelados por grafos é enorme. Um exemplo natural de grafo é o das rotas de uma companhia aérea. Seus vértices são as cidades nas quais pousam suas aeronaves, e suas arestas são os trechos voados entre uma decolagem e o pouso subsequente. Abaixo apresentamos um mapa das rotas de uma companhia aérea operando no Brasil, ligando 18 capitais. Para simplificar, supomos que todos os trechos percorridos num sentido, também são percorridos no sentido inverso.
Exemplo 2.12 Grafo de rotas aéreas
Be Ma (^) S.L.
For Nat RecJ.P Mac
S.S
Vit S.P. R.J. Cur
Flo P.A.
Bra
B.H.
Cui
