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matrizes e determinantes
Tipologia: Notas de estudo
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a 12 x 2 +^ a 13 x 3 +^ a 1 n x n =^ b 1 a 11 x 1 + Matrizes Conceitos Básicos A= a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 1 n
... a 2 n a 31 a 32 a 33 a 3 n
a m 1 a m 2 a m 3 a mn
mxn = [a ij
mxn Matriz de ordem m por n de elementos a ij Consideremos o sistema ... (^) + a 21 x 1 +^ a 22 x 2 +^ a 23 x 3 +^ ... (^) + a 2 n x n =^ b 2 a 31 x 1 +^ a 32 x 2 +^ a 33 x 3 +^ ... (^) + a 3 n x n =^ b 3 ... a m 1 x 1 +^ a m 2 x 2 +^ a m 3 x 3 +^ ... (^) + a mn x n =^ b m 1
Matrizes Conceitos Básicos A mxn = [a ij
mxn Matriz de ordem m por n de elementos a ij 0 1 4 7 8 2 5 4 2 0 1 2 2 0 1 3x a 13
a 34
2
Matrizes Conceitos Básicos A mxn = [a ij
mxn Segundo a forma em: Rectangular Quadrada Coluna Linha Se o número de linhas é diferente do número de colunas Se o número de linhas é igual do número de colunas Se o número de colunas é igual a um Se o número de linhas é igual a um 3 5 2 4 4 5 0 0 2 5 2 1 1 0 2 3 4 3 3 1 3 2 0 1 3 1 0 2 3 1 1 0 1 1 2 2 (^) 1 3 Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m 4
Matrizes Conceitos Básicos A mxn = [a ij
mxn Segundo a natureza dos elementos em: Real Complexa Nula se todos os seus elementos são reais
ij ij
se pelo menos um dos seus elementos é complexo
ij ij
se todos os seus elementos são nulos
ij ij
0 0 1 1 5 2 0 1 1 5 2 i 0 0 0 0 0 0 5
Matrizes Conceitos Básicos A mxn = [a ij
mxn Segundo a natureza dos elementos em: Diagonal Escalar
ij ij
uma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos 0 0 0 5 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais
ij ij ij
0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 7
Matrizes Conceitos Básicos A mxn = [a ij
mxn Segundo a natureza dos elementos em: Simétrica Densa Dispersa 0 4 7 5 2 3 2 7 1 0 3 4 1 1 2 0 se os elementos a ij são iguais aos a ji se a maioria dos seus elementos são não nulos se a maioria dos seus elementos são nulos 8
Matrizes A , B Mm n A B B A Operações com Matrizes goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa A soma de matrizes do mesmo tipo A , B , C Mm n ( A B ) C A ( B C ) A Mm n O Mm n : A O A A Mm n B Mm n : A B O 10
Matrizes Operações com Matrizes goza das seguintes propriedades: Comutativa Associativa Tem elemento neutro Todos os elementos têm inversa A soma de matrizes do mesmo tipo
mxn
11
Matrizes A A Operações com Matrizes e os escalares e as seguintes propriedades são válidas: Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo ( ) A A A A B A B 1 A A 13
Matrizes a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 1 n
... a 2 n a 31 a 32 a 33 a 3 n
a m 1 a m 2 a m 3 a mn
mxn = [a ij
mxn Matriz de ordem m por n de elementos a ij Consideremos o sistema a 12 x 2 +^ a 13 x 3 +^ a 1 n x n =^ b 1 a 11 x 1 +^
a 21 x 1 +^ a 22 x 2 +^ a 23 x 3 +^ ... (^) + a 2 n x n =^ b 2 a 31 x 1 +^ a 32 x 2 +^ a 33 x 3 +^ ... (^) + a 3 n x n =^ b 3 ... a m 1 x 1 +^ a m 2 x 2 +^ a m 3 x 3 +^ ... (^) + a mn x n =^ b m = b 1 b 2 b 3 ... b m x 1 x 2 x 3 ... x n Operações com Matrizes 14
Matrizes 1 2 3 2 5 3 2
x 3 3 x 3
2 x (^3) Operações com Matrizes 16
Matrizes 1 2 3 2 5 3 2
x 3 3 x 3
2 x (^3)
Operações com Matrizes 17
Matrizes 1 2 3 2 5 3 2
x 3 3 x 3
2 x (^3)
Operações com Matrizes 19
Matrizes 1 2 3 2 5 3 2
x 3 3 x 3
2 x (^3)
Operações com Matrizes 20
