07/09/2023
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3. Dado o sistema linear
3𝑥 +5𝑦 +12𝑧 − 𝑤 = −3
𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 − 𝑤 = −6
2𝑦 +2𝑧 + 𝑤 = 5
2𝑧 +𝑘𝑤 = 9 ,
determine os valores de 𝑘para que o sistema seja:
(a) possível determinado; b) possível indeterminado;
c) impossível
Solução: Para o que se pede, devemos obter a matriz
LRFE equivalente à matriz ampliada do sistema
3 5 12 −1 −3
1 1 4 −1 −6
0 2 2 1 5
0 0 2 𝑘 9
𝐿1↔𝐿2
1 1 4 −1 −6
3512 −1 −3
0 2 2 1 5
0 0 2 𝑘 9
1 1 4 −1 −6
3 5 12 −1 −3
0 2 2 1 5
0 0 2 𝑘 9
𝐿2→ 𝐿2− 3𝐿1
1 1 4 −1 −6
0 2 0 2 15
0 2 2 1 5
0 0 2 𝑘 9
𝐿2→1
2𝐿2
1 1 4 −1 −6
0 1 0 1 15/2
0 2 2 1 5
0 0 2 𝑘 9
𝐿1→ 𝐿1− 𝐿2
1 0 4 −2 −27/2
0 1 0 1 15/2
0 2 2 1 5
0 0 2 𝑘 9
𝐿3→1
2𝐿3
1 0 4 −2 −27/2
0 1 0 1 15/2
0 0 1 −1/2 −5
0 0 2 𝑘 9
𝐿3→ 𝐿3− 2𝐿2
1 0 4 −2 −27/2
0 1 0 1 15/2
0 0 2 −1 −10
0 0 2 𝑘 9
1 0 4 −2 −27/2
0 1 0 1 15/2
0 2 2 1 5
0 0 2 𝑘 9
𝐿1→ 𝐿1− 4𝐿3
𝐿4→ 𝐿4− 2𝐿3
1 0 0 0 13/2
0 1 0 1 15/2
0 0 1 −1/2 −5
0 0 0 𝑘 + 1 19
1 0 4 −2 −27/2
0 1 0 1 15/2
0 0 1 −1/2 −5
0 0 2 𝑘 9
A partir desta última matriz, o que pode ou não ser feito
no processo de obter a matriz LRFE passa a depender
do valor de 𝑘, tendo as seguintes possibilidades:
(𝑖) Se 𝑘 + 1 = 0, ou seja, se 𝑘 = −1, teremos 𝑝𝐴= 4 ≠
3 = 𝑝𝐶eentão o sistema é impossível, ou seja não
possui solução;
(𝑖𝑖)Se 𝑘 + 1 ≠ 0, ou seja, se 𝑘 ≠ −1 então o processo
continua, podendo obter o 1como 4°elemento da
ultima linha e então teremos
𝐿4→1
𝑘 + 1 𝐿4
1 0 0 0 13/2
0 1 0 1 15/2
0 0 1 −1/2 −5
0 0 0 1 19
𝑘 + 1
1 0 0 0 13/2
0 1 0 1 15/2
0 0 1 −1/2 −5
0 0 0 0 19
Pela matriz acima, veja que temos 𝑝𝐴= 𝑝𝐶= 4 = 𝑛, e
nesse caso o sistema é possível determinado, ou seja
possui uma única solução.
Veja: 𝑝𝐴= 4,
mas 𝑝𝐶= 3
É claro, no entanto, que a solução, apesar de única,
dependerá diretamente do valor de 𝑘. A condição 𝑘 +
1 ≠ 0, que corresponde a 𝑘 ≠ −1, nos dá uma
infinidade de possibilidades para o valor de 𝑘, e para
cada um, tem-se uma solução diferente para o sistema.
Continuando o processo da obtenção da matriz LRFE,
teremos então:
1 0 0 0 13/2
0 1 0 1 15/2
0 0 1 −1/2 −5
0 0 0 1 19
𝑘 + 1
𝐿2→ 𝐿2− 𝐿4
1 0 0 0 13
2
0 1 0 0 15𝑘 −23
2𝑘 + 2
0 0 1 −1/2 − 5
0 0 0 1 19
𝑘 + 1
1 2
3 4
5 6
