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Apostila do mestre molinari
Tipologia: Notas de estudo
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Prof. Dr. Rodolfo Molinari Engenheiro Mecânico
2001 2003 2007 2009
2. Sistemas Excitados - Resumo da Teoria
2.1 Sistemas Amortecidos
O passo seguinte para a obtenção da solução da equação geral é retirar a restrição quanto à inexistência da força de dissipação. Assim, a equação do movimento se torna :
Como ainda não foi introduzida a força de excitação, o membro da direita na equação é nulo e, assim, ela ainda admite uma solução geral :
..
ξ ω
−
t d
n
Da mesma forma que no caso mais simples a amplitude ( Ad ) e a fase ( φ ) do movimento
são constantes dependentes de condições iniciais do movimento, mas a freqüência da oscilação depende agora das de todos os parâmetros do sistemas, que fornecem o FATOR DE AMORTECIMENTO, um número admensional dependente de todos esses parâmetros e, portanto, representativo do sistema :
m n
Km
Do fator de amortecimento e da freqüência natural harmônica podemos obter a freqüencia natural amortecida:
ω = ω 1 − ξ^2 d n
Agora, derivando a equação do deslocamento ( resposta ) obtemos :
Aceleração : x = − A. e −ξ^ ω n^ t .[( ω (^) d −ξ .ω n ). cos(ω (^) d. t −φ) − 2 .ξ.ω n ω d .sen(ω (^) d. t −φ)]
Cabem aqui algumas considerações sobre o fator de amortecimento:
radicando (^ ) 1 − ξ^2
amortecimento é igual a 1 ocorre um caso especial, chamado de amortecimento crítico, onde não ocorre a complementação de sequer um ciclo de oscilação. Toda a energia inicial é dissipada no primeiro semi-ciclo.
poder de cálculo vieram a possiblitar que todas as empresas, de um modo geral, possam hoje em dia ter acesso aos métodos científicos de controle de vibrações de origem mais complexa.
Vários métodos numéricos de cálculo apropriados para problemas de vibração vêm sendo propostos ao longo do tempo mas existe um que, sem dúvida, é o mais consagrado e utilizado de todos : é o método da Transformada de Fourier. Com ele, desde que se tenha a variação da força de excitação medida em valores numéricos adequadamente amostrados, ao longo do tempo, é possível decompor o movimento em suas componentes harmônicas e, assumindo-se a condição de linearidade, obter e combinar todas as respostas individuais a cada uma dessas componentes.
Como em geral ocorre com todo método numérico de cálculo, este também não é exato e portanto exige considerações a respeito do erro de cálculo contido nos valores obtidos. Estes procedimentos de avaliação de erro são bastante sofisticados e fogem ao escôpo deste curso. Assim, neste curso, vamos trabalhar exageradamente a favor da segurança, e adotar como medida de erro a invariabilidade do somatório das amplitudes de cada componente envolvida, controlando-a segundo um número pré-estabelecido de casas decimais.
2.3 Sistema Excitado por Força Harmônica.
Este é um caso particular de excitação, mas peculiarmente interessante por corresponder aos casos de desbalanceamento e desalinhamento e, principalmente, por ser o caso geral de excitação fragmentada pela transformada de fourier.
A equação do movimento, portanto é:
m. x + C. x + K. x = Ap. fh ( ω. t ) &r& r& r
onde f (^) h representa a função harmônica ( seno ou cosseno )
Assim, a resposta deste movimento será :
= H ω A × f (ω t −Φω)
onde:
( ) ( )^2 2 2 1 2 ..
ω − +
= e (^) ⎟ ⎠
arctan R
ω com n
Das equações acima é possível inferir a importância do parâmetro Hw , que pode assumir qualquer valor real positivo e é um multiplicador da influência da intensidade da força. Este parâmetro é dependente apenas do valor da frequencia da excitação e das características do sistema. Verifica-se portanto que, para um mesmo sistema, a intensidade do movimento de vibração, que é sua amplitude, pode variar de forma bastante abrangente sem que a intensidade da força seja alterada, bastando que sua frequência se altere.
2.4 Ressonância
Se observarmos a expressão do parâmetro do movimento: ( ) ( )^2 2 2 1 2..
ω − +
veremos que ele depende fortemente dos parâmetros dos sistema : m, C e K, presentes na definição do fator de amortecimento e na da freqüência natural harmônica, que é o denominador de R. Obviamente que também o numerador da relação, a frequência da excitação, também tem muita influência, pois é ela que pode determinar a condição de ressonância do movimento.
Podemos definir duas situações extremas para o fator de amortecimento :
ω=
ω=
Com estas duas equações pode-se traçar as curvas correspondentes à variação limítrofe do fator de amplificação para a estas duas situações, correspondentes aos dois sistemas limítrofes possíveis. Disto se pode deduzir que qualquer outro sistema com fator de amortecimento dentro do intevalo limítrofe terá sua curva de variação do fator de amplificação situada dentro da área delimitada pelos valores extremos. A figura 1.4.1 mostra este fato.
Fig. 1.4.1 : curvas limítrofes de variação Hw x R
A curva correspondente ao fator de amplificação nulo é utópica, já que não é possível obter um sistema em que não ocorra a dissipação de energia, ou seja, um sistema sem amortecimento. Entretanto, é importante observar que em todas as curvas, correspondentes aos infinitos valores possíveis para o fator de amortecimento dentro da faixa, haverá um ponto de máximo para o fator de amplificação. Esse ponto é de grande importância pois é nele que, para uma dada amplitude de excitação, irá ocorrer o maior nível de vibração. A esse ponto denominamos relação de ressonância
0
1
2
3
4
5
Relação de Freqüências
Fator de Amplificação
Rr^1 Rs
2.6 Exemplo de sistema sem excitação ( movimento livre )
Um sistema de massa igual a 30 Kg, elasticidade igual a 750 N/m e amortecimento igual a 150 N.s/m oscila livremente. Sabendo-se que no instante inicial o deslocamento foi medido igual a 0,20 m no sentido oposto ao tomado como positivo e que a velocidade medida foi 0,55 m/s, determinar as equações do deslocamento, da velocidade e da aceleração desse sistema..
SOLUÇÃO: Este é um problema básico deste tipo de movimento, onde o sistema é plenamente conhecido, pois são fornecidos todos os seus parâmetros : massa, constante elástica e constante de amortecimento ( ou elasticidade e amortecimento, respectivamente ). São também fornecidas duas condições de contorno necessárias para a determinação das constantes do movimento : a amplitude e a fase. Sua solução é, portanto, apenas um exercício de método na aplicação das equações
Assim, de imediato podemos calcular:
a) A frequência natural harmônica : rad s m
n (^) 30 5 /
b) O fator de amortecimento : 0 , 5 2 30 5
m n
Para obter as constantes basta montar o sistema das condições de contorno mas, antes, é preciso obter, por derivação da equação do deslocamento, a equação da velocidade. Assim :
= = [ Ae −ξ^ ω (ω t −φ)] = A [− ξω e −ξω (ω t −φ) − e −ξω ω (ω t −φ)] dt
d dt
dx x^ &.. n^. t^ .cos d... n.. n. t .cos d.. n. t. d .sen d.
ou seja,
Agora é possível escrever as duas condições de contorno:
Ou seja,
Operando as equações e substituindo valores já conhecidos vem, então :
.cos
. 0 , 5 5 cos 4 , 3 sen −
i.e.,
cos
Para obter a equação da aceleração é necessário derivar a expressão da velocidade :
= = {− Ae −ξ^ ω [ξ ω (ω t −φ) +ω (ω t −φ)]} dt
d dt
dx x.. n^. t.. n .cos d. d .sen d.
[ ( )] [ ( )] ⎭
dt
d e t dt
d x &^ & A.. n.. n^. t .cos d. d.. n. t .sen d.
x & & = − A .[ − (ξ .ω n )^2. e −ξ^ .ω n^. t .cos(ω (^) d. t −φ) −ξ.ω n .ω d. e −ξ.ω n. t .sen(ω (^) d. t −φ)] − − A. [ − ξ.ω n .ω d. e −ξ^ .ω n^. t .sen (ω (^) d. t −φ) + e −ξ.ω n. t .ω d^2 .cos(ω (^) d. t −φ)]
x & & = − A. e −ξ^ .ω n^. t .[ ( ω (^) d^2 −ξ^2 .ω n^2 ). cos(ω (^) d. t −φ) − 2 .ξ.ω n ω d .sen(ω (^) d. t −φ)]
Substituindo os valores conhecidos:
2.7 Exemplo de solução de sistema com excitação não harmônica.
Um sistema oscila excitado por uma força que varia com a expressão : Fe(t) = 2.t , medida desde o instante inicial até o instante t = 2 s ; Sabendo que a massa, o coef. de amortecimento e o coef. de elasticidade têm todos o valor númerico 5,0 quando medidos no SI, determinar a resposta total do movimento que no instante inicial passava pela origem com velocidade igual a 1,0 m/s. Obter precisão de duas casas decimais para o deslocamento, dada a seguinte transformada:
Se ( )^ x
⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ ℑ = ∑ − − x z
N N
h x N
N^ π π
. sen
1 ( 1 )
( )
Observação : sempre que existe excitação, harmônica ou não, existe uma componente do movimento que ocorre em função da aplicação inicial da excitação, permaneça esta agindo ou não. A esta componente dá-se o nome de “resposta transiente” pela sua característica transitória : ela existe durante um certo tempo inicial e desaparece depois, ficando o movimento sob a ação da excitação, quando se denomina então a equação do movimento de “resposta permanente”.
A resposta transitória corresponde ao movimento que o sistema teria se oscilasse livremente sujeito apenas às condições iniciais de aplicação da excitação.
Embora a resposta permanente seja sempre o principal objeto de uma análise, não se pode descartar antecipadamente a importância da resposta transiente.
Assim, para a primeira equação, a resposta será dada por:
⎟ ⎠
= ω −Φω
H t K
x 2
sen
Com o fator de amplificação sendo calculado pela expressão:
( ) ( )^2 2 2 1 2..
ω − +
= Com n
A frequência da excitação é obtida diretamente da expressão da força: 2
natural pode ser obtida dos dados dos problema : 5
m
o fator de amortecimento, constante, também pode ser obtido dos dados: 0 , 5
m n
Assim, 0 , 465
2 2 2
H ω
Também diretamente se pode obter a fase: 0 , 82
2
arctg R
arctg rad
A primeira parcela do deslocamento é, portanto:
⎟ ⎠
sen
x 1 t
; ou seja : (^) ⎟ ⎠
x 1 0 , 237 .sen t
x 3 0 , 008 .sen t
Para definir se o número de parcelas calculadas é suficiente para definir a precisão necessária, adota-se o critério dos máximos deslocamentos absolutos, onde as amplitudes das parcelas de deslocamento são somadas uma a uma até que a parcela não tenha mais influência na ordem decimal desejada. Assim, somando-se a segunda amplitude com a primeira, verifica-se que a segunda casa decimal é afetada: 0,2 3 7 0,0 2 7 0,2 6 4 Prosseguindo com a terceira parcela: 0,2 6 4 0,0 0 8 0,2 7 2 Como a segunda casa decimal também é afetada pela terceira parcela, não se pode afirmar que a precisão de duas casas tenha sido atingida. É necessário calcular mais uma parcela.
A quarta parcela será dada pela solução da equação:
Aplicando o critério: 0,2 7 2 0,0 0 3 0,2 7 5
Como não houve alteração na segunda casa decimal, podemos dizer que a quarta parcela não tem qualquer influência no valor final do deslocamento permanente quando se considera apenas duas casas decimais de precisão ( lembrar que a função seno tem máximo = 1 ). Assim, apenas as três primeiras parcelas são significativas para esse grau de precisão. É interessante notar que sempre será necessário calcular uma parcela além do necessário. Assim, a resposta permanente é :
( ) (^) ⎟
b) Resposta Transitória
A resposta transitória é dada pela solução do sistema não excitado, ou seja: m. x && T + C. x & T + K. xT = 0
A frequência natural harmônica e o fator de amortecimento já foram obtidos na etapa anterior. A
São dadas duas condições de contorno para o instante inicial que fornecem duas equações:
Substituindo os valores se obtem a equação do deslocamento transitório:
1 , 15.^0 ,^5 ..cos 0 , 86.
xT e t t
A solução total é, portanto:
( ) (^) ⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ ⎟− + + + ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ ⎟+ + ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ = −^ − 0 , 22 2
0 , 82 0 , 027 .sen. 0 , 34 0 , 008 .sen 2
0 , 237 .sen 2
x 1 , 15. e^0 ,^5. t .cos 0 , 86. t t t t
π π
π π
(continua...)
( ) ( ) ( ) ( 1 )^2 22 1
2 2
22 1 − R 2 (^) + R = 4 , 3 × 1 − R + R
Como não houve alteração no sistema, a frequência natural não muda. Portanto:
n
1 =^ e n
Substituindo:
( ) ( ) ( ) ( ) 2 1
22 1
2 1
22 1 − 4 R 1 (^) + 2 R = 4 , 3 × 1 − R + R
( ) ( ) ( ) ( 1 )^2 22 1
2 1
22 1 − 4 R 1 (^) + 2 R = 18 , 5 × 1 − R + R
1 − 8 R 1^2 + 16 R 14 + 4 R 12 = 18 , 5 × ( 1 − 2 R 12 + R 14 + R 12 )
Arrumando:
2 , 5 R 14 − 14 , 5 R 12 + 17 , 5 = 0
Esta equação fornece duas possibilidades para o valor de R 1 :
4 , 087 2 R 1 (^) = ou 1 , 712 2 R 1 =
Os valores negativos para R 1 não têm significado físico. Portanto:
R 1 (^) = 2 , 021 ou R 1 = 1 , 308
Isto fornece então dois valores para a frequência natural:
Conclui-se que existem dois sistemas possíveis para satisfazer as condicionantes deste problema.
=======================================================================
2.8.3) Um sistema de massa igual a 30 Kg e elasticidade igual a 750 N/m oscila livremente. Sabendo-se que no instante inicial o deslocamento foi medido igual a 0,2 m no sentido oposto ao tomado como positivo e que a velocidade medida foi 0,5 m/s no sentido tomado como positivo. Sabendo-se também que o ângulo de fase foi igual a π rad, determinar a constante de amortecimento desse sistema. SOLUÇÃO:
Podemos escrever as duas condições de contorno:
Simplificando, ou ainda:
A frequência natural pode ser calculada dos dados:
Agora, a obtenção da constante de amortecimento é imediata :
2.8.4) O movimento de vibração do eixo de uma bomba é descrito pela seguinte equação:
Determinar : a) o máximo valor de H (^) ω possível para essa bomba. b) O valor de H (^) ωna sua condição de trabalho dada.
Para obter o valor máximo de H (^) ω é necessário determinar o valor da freq de ressonância. Para isto
basta perceber que da equação do movimento podem ser extraidos os parâmetros do sistema. Assim:
( ) ( )^2 2 2 1 0 , 707 2 0 , 5 0 , 707
H ω R = ⇒ H ω R =^1 ,^15
( ) ( ) 2 2 2 1 42 , 86 2 0 , 5 42 , 86
H ω R = ⇒ H ω=^5 ,^4 E −^4
2.8.5) A curva da figura representa a variação do fator de amplificação Hω de um sistema, excitado por uma força harmônica, com a variação da relação de freqüências R. Sabendo que o valor máximo de Hω para esse sistema é 4,3768 e que para R=1 a freqüencia da força de excitação é 1 rad/s, determinar sua freqüência de ressonância. SOLUÇÃO :
A equação que fornece o valor máximo para o fator de Amplificação é :
( ) ( )
( ) MAX − Rr + ζ Rr = H ω 2 2 −^1 1 2 2.. 0,
1,
2,
3,
4,
5,
0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000 1,2000 1,4000 1,6000 1,8000 2,
A amplitude do movimento desbalanceado é dada por : 2
x (^) A
Considerando as condições específicas do problema é possível escrever :
2 1 1
2 2 1 2 2
1 2
1 1 2
1
K
H m e K
x (^) A xA
que, simplificando, fornece :
2 2
2 1 2 1 2
H ω (^) = × H ω × , ou seja :
( ) ( ) 2
2 2
2 2 1 2 3600
60 60
2 1800 2
1 × ×
×
× × ⇒ = × × π
π H ω H ω
H ω (^) 2 = × H ω 1 ⇒ H ω 2 = × ⇒ H ω 2 =^0 ,^35
2.8.8) Sabe-se que um dado sistema amortecido entra em ressonância quando excitado por uma força cuja frequência é igual a 2,1213 rad/s. Sabe-se tambem que, após a retirada da força, o sistema continua oscilando com frequência igual a 2,5981 rad/s até parar totalmente. Determinar o valor da frequência da oscilação livre deste sistema se dele fosse retirado o amortecedor.
SOLUÇÃO : Na condição de ressonância, a freqüência da força de excitação coincide com a freqüência de
Mas também sabe-se qual a freqüencia de oscilação do sistema quando livre, ou seja, , sem a ação
Mas : (^2) 1 2
2 , 1213
−
n = , e também 1 2
2 , 5981
ξ
ω −
n = ;
Logo: (^ )^
2 2 2 2
2
2
Substituindo em qualquer uma das equações iniciais,
ω n = ⇒ ω^ n =^3 rad/s
2.9 Exercícios Propostos
2.9.1) O rotor de um compressor tem 0,25 m de diâmetro e opera desbalanceado em 2400 r.p.m. apresentando vibração com amplitude igual a 0,03267 m. Sabe-se que sua elasticidade é 200 N/m e que o fator de amplificação nessa rotação é 1,3. Determinar o valor do raio em que deve ser colocada a massa de 0,1 Kg para balancear esse rotor. Resposta: 0,8 mm =======================================================================
2.9.2) A suspensão de um automóvel de massa 800 Kg, com mola de elasticidade 4,35 E8 N/m e amortecedor de amortecimento 2,95 E5 N.s/m roda em uma pista de perfil senoidal com distância entre cristas 0,1 m. Determinar a velocidade do veículo que provoca a pior condição operacional para as suspensões assumindo que as quatro tenham movimento idêntico e síncrono apenas vertical e que a energia seja dissipada exclusivamente nos amortecedores. Resposta: 60 Km/h =======================================================================
2.9.3) A força de excitação de um sistema cuja massa é 5,0 Kg, a elasticidade é 80 N/m e o amortecimento é 10 N.s/m foi medida durante 4 segundos representada pela expressão :
Fe ( t )= ( 16 − t )× t
2
Determinar a equação de resposta total com precisão de duas casas decimais sabendo que no instante inicial o sistema passava pela origem com velocidade igual a 0,1 m/s e desenhar o gráfico do deslocamento para todo o tempo considerado.
Resposta:
2.9.4) Neste último carnaval, a mulata globeleza, vestida apenas com alguns milímetros quadrados de tinta, conseguiu excitar não apenas a platéia masculina, mas também a suspensão do carro alegórico sobre o qual sambava ao ritmo das batidas do surdo, que era de aproximadamente 70 por minuto, quase o mesmo do coração. Por causa disto, era visível o deslocamento de meio metro entre a altura mais alta e a mais baixa da plataforma do veículo, deixando o carnavalesco da escola assustado com a possibilidade de um acidente e a conseqüente perda de pontos. Para o ano que vem ele já deixou determinado que não vai admitir mais do que 10 cm de deslocamento máximo, para cima ou para baixo. Como o mestre da bateria jamais permitirá que o ritmo seja alterado, nem o carnavalesco que a mulata seja trocada, sobrou para o engenheiro da escola de samba resolver o problema, alterando o amortecedor da suspensão do caminhão. Para isso ele vai se basear no valor do fator de amplificação atual, que ele sabe que é igual a 1,25. Qual deverá ser o futuro valor de Hω, considerando que o ritmo da bateria não vai mudar? Resposta: H ω = 0,
=======================================================================
2.9.5) Um eixo de comprimento 0,5 m e área da secção 0,001 m^2 , trabalha axialmente sob a ação de uma força harmônica de amplitude constante e igual a 150 kN mas com frequência que pode variar de uma maneira imprevisível. Para evitar uma sobrecarga que viesse a deformar permanentemente o dispositivo, o Engenheiro de manutenção instalou nele um frequenciostato com o objetivo de desligar todo o sistema quando a tensão sobre a haste atingisse 90% do seu limite de escoamento,
x (^) p = 0 , 026. e −^ t .cos ( 3 , 87. t − 1 , 57 ) + 0. 0396 .sen( t − 0 , 13 ) + 0. 0059 .sen( 2. t − 0 , 32 )
R
Variação da Amplitude
supostamente bons e um bloco de aço que ele nem se deu ao trabalho de pesar. Colocou esse sistema para oscilar livremente e verificou que a frequência da oscilação foi igual a 5,1961 rad/s. Depois removeu o amortecedor e, utilizando um motorzinho de corrente contínua retirado de um limpador de parabrisa e uma fonte de tensão variável de 0 até 12 V, excitou o sistema com várias frequências até descobrir que a máxima amplitude do deslocamento ocorria quando a rotação do motor era de 57,2958 r.p.m. Com isto ele conseguiu definir qual o amortecedor adequado para a substituição. Determinar o valor da sua constante de amortecimento. Resposta : C = 60 N.s/m =======================================================================
2.9.11) O Eng. Bolloti estava dirigindo tranqüilamente pela Rodovia dos Imigrantes em direção a São Paulo, na velocidade limite de 120 km/h, quando repentinamente surgiu uma forte vibração no volante. Como além de um bom motorista era também um bom mecânico, ele não se assustou e, calmamente, experimentou movimentar a direção, deduzindo pelo comportamento do veículo que ocorrera algum problema com a roda dianteira esquerda. Reduziu então a velocidade de modo controlado, verificando que a intensidade da vibração reduzia-se também. Aguardou a oportunidade de um longo trecho sem radares e acelerou o veículo até 140 km/h, percebendo que a partir de 135 km/h a intensidade também se reduzia. Parou então o carro e constatou que um dos seis parafusos de fixação da roda dianteira esquerda havia se desprendido. Para quebrar o galho e conseguir chegar a São Paulo sem muita vibração, mesmo sem ter outro parafuso de reposição, Bolloti colou uma bola de massa epoxi por dentro do aro da roda, depois de estimar que cada parafuso pesasse 1 N. ( a ) Qual foi a quantidade de massa epoxi que ele usou, se o diâmetro de fixação dos parafusos da roda é de 20 cm e o diâmetro do aro da roda é igual a 32 cm? ( b ) Em que posição angular relativa do aro que ele colocou a massa?
Resposta : 3978 N
2.9.12) A figura ao lado indica a variação da amplitude do movimento de vibração de um sistema que tem massa de 65 Kg, elasticidade de 585 N/m e amortecimento de 120 Ns/m quando submetido a uma força harmônica de amplitude constante, em que se faz variar a freqüência. Determinar o valor aproximado da amplitude da força de excitação.
2.9.13) No sistema da figura ao lado, se o valor de K for igual a 1000 N/m e o valor da massa suspensa for igual a 10 Kg e a da roldana 20 Kg, qual será o valor da freqüência da oscilação livre se a ele for acrescentado um elemento dissipador linear que faça com que o fator de amortecimento resultante seja igual a 0,5?
-h
Z ≤ x < 2.Z
π-x
(π/2)≤ x < π
3
x.( π - x )
π ≤ x < 2.π
cos( x )
π ≤ x < 2.π
2.h - ( h/Z ).x
Z ≤ x < 2.Z
2 2
x.( π- x )
π ≤ x < 2.π
3
3
x.( x - π ) 0 ≤ x
2
2
x^20 ≤ x
2
2
x.( π^2 - x^2 ) (^0) ≤ x
n
⏐cos(x)⏐ (^0) ≤ x ≤ 1
⏐sen(x)⏐ (^0) ≤ x ≤ 1
⏐x⏐ (^) ∀ x ∈ R
() Domínio de validade ajustado. A transformada genérica tem o domínio no conjunto complexo.*
