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MEDIDAS SEPARATRIZES
I – Introdução
As medidas separatrizes são números reais que dividem a seqüência ordenada de dados em partes que contém a mesma quantidade de elementos da série.
Dessa forma, a mediana que divide a seqüência ordenada em dois grupos, cada um deles contendo 50% dos valores da seqüência, é também uma medida separatriz.
Além da mediana, outras medidas separatrizes importantes são: os quartis, os quintis, os decis e os percentis.
Os elementos que separam a seqüência ordenada em 4 partes, cada uma contendo 25% dos elementos, são os quartis. O primeiro quartil, indicado por Q 1 , separa a seqüência ordenada deixando 25% de seus valores à esquerda e 75% à direita. O segundo quartil, Q 2 , corresponde à mediana. O terceiro quartil, Q 3 , separa a seqüência ordenada deixando 75% de seus valores à esquerda e 25% de seus valores à direita.
Os elementos que separam a seqüência ordenada em 5 partes, cada uma contendo 20% dos elementos, são os quintis. Da mesma forma que os quartis, definimos os quintis: K 1 , K 2 , K 3 , K 4.
Os elementos que separam a seqüência ordenada em 10 partes, cada uma contendo 10% dos elementos, são os decis. Da mesma forma que os quintis, definimos os decis: D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , D 5 , D 6 , D 7 , D 8 , D 9.
Os elementos que separam a seqüência ordenada em 100 partes, cada uma contendo 1% dos elementos, são os centis ou percentis. Da mesma forma que os decis, definimos os percentis: P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , ... , P 99 ,.
Se observamos que os quartis, os quintis e os decis são múltiplos dos percentis, se tivermos a fórmula para cálculos dos percentis, saberemos calcular todas as outras medidas separatrizes. Em particular
Q 1 = P 25 K 1 = P 20 D 1 = P 10
Q 2 = P 50 K 2 = P 40 D 2 = P 20
Q 3 = P 75 K 3 = P 60 D 3 = P 30
K 4 = P 80 D 4 = P 40
D 5 = P 50
D 6 = P 60
D 7 = P 70
D 8 = P 80
D 9 = P 90
II – Cálculo das medidas separatrizes
a) Variável discreta
Identificamos a medida que queremos obter com o percentil correspondente P (^) i. Calculamos i% de n, o número de elementos da seqüência, para localizar a posição do percentil i na série. Em seguida, utilizamos a freqüência acumulada da série para localizar o elemento que ocupa essa posição.
Exemplo : Vamos calcular o D 4 para a série:
xi f (^) i 2 3 4 5 5 8 7 6 10 2 Total 24
Identificamos D 4 = P 40 e calculamos 40% de 24, ou seja, = 9,6. Esta posição não-inteira significa que o P 40 é um valor compreendido entre o nono e o décimo elemento da série. Construindo a freqüência acumulada:
xi f (^) i Fi 2 3 3 4 5 8 5 8 16 7 6 22 10 2 24 **Total 24 ***
E observamos que o nono elemento é 5 e o décimo elemento também é 5.
Assim, D 4 = P 40 = = 5. Interpretação: 40% dos valores desta série são valores menores ou iguais a 5 e 60% dos valores desta série são maiores ou iguais a 5.
b) Variável contínua
Procedemos de maneira semelhante à que utilizamos para determinar a mediana e utilizamos a seguinte fórmula:
Pi = Ii +. h
a) Variável discreta
Como os valores já se apresentam ordenados, a amplitude total é a diferença entre o último e o primeiro elemento da série.
Exemplo : Vamos determinar a amplitude total da série:
xi f (^) i 2 3 4 5 5 8 7 6 10 2 Total 24
O maior valor da série 10 e o menor valor da série é 2. Portanto, a amplitude total da série é At = 10 – 2 = 8 unidades.
b) Variável contínua
Nessa situação, por desconhecermos o maior e o menor valor da série, devemos fazer um cálculo aproximado da amplitude total da série. Consideraremos como maior valor da série o ponto médio da última classe e como menor valor da série o ponto médio da primeira classe. A amplitude total é a diferença entre esses valores.
Exemplo : Vamos determinar a amplitude total da série:
Classe Int. classe f (^) i 1 0 10 16 2 10 20 18 3 20 30 24 4 30 40 35 5 40 50 12 Total 105
O ponto médio da última classe é 45 e o ponto médio da primeira classe é 5. Portanto A (^) t = 45 – 5 = 40. DESVIO MÉDIO SIMPLES
O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático de distância.
A dispersão dos dados em relação à média M (^) a de uma seqüência pode ser avaliada através dos desvios de cada elemento da seqüência em relação à média M (^) a da seqüência.
O desvio médio simples , que indicaremos por DMS, é definido como sendo uma média aritmética dos desvios de cada elemento da série para a média Ma da série.
a) Variável discreta
A fórmula para o cálculo do DMS é
DMS =
Exemplo : Vamos calcular o DMS para a série
xi f (^) i 1 2 3 5 4 2 5 1 Total 10
A média Ma da série Ma =
Para facilitar os cálculos, acrescentamos uma coluna à tabela
xi f (^) i x (^) i.fi 1 2 2 3 5 15 4 2 8 5 1 5 Total 10 30
Logo M (^) a = = 3.
Para calcular o DMS, acrescentamos mais duas colunas à tabela:
xi f (^) i x (^) i.fi |xi – M (^) a| |xi – Ma |.f (^) i 1 2 2 2 4 3 5 15 0 0 4 2 8 1 2 5 1 5 2 2 Total 10 30 * 8
Em média, cada elemento da série está afastado da média Ma = 5,1 pela quantidade de 1,15 unidades.
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
Outra maneira de estudar as diferenças xi – Ma , ao invés de olhar |x (^) i – Ma| , considerar as da forma (xi – M (^) a ) 2. Se substituirmos na fórmula do DMS, a expressão |xi – M (^) a| por (x (^) i – M (^) a) 2 , obteremos uma nova medida de dispersão chamada variância , que é denotada por. A raiz quadrada positiva da variância é o desvio padrão , que é denotado por. Assim temos,
(x) =
Na variável discreta, utilizamos os próprios elementos da série, enquanto na variável contínua utilizamos os pontos médios de cada classe.
Exemplo : Vamos calcular a variância e o desvio padrão da série representativa de uma variável discreta:
xi f (^) i 2 3 3 5 4 8 5 4 Total 20
Para calcular a média, acrescentamos uma coluna à tabela
xi f (^) i x (^) i.fi 2 3 6 3 5 15 4 8 32 5 4 20 Total 20 73
Dessa forma, Ma = = 3,65. Para calcular a variância, acrescentamos mais três colunas à tabela:
xi f (^) i x (^) i.fi x (^) i-M (^) a (x (^) i-M (^) a ) 2 (xi -M (^) a) 2 .f (^) i 2 3 6 -1,65 2,7225 8, 3 5 15 -0,65 0,4225 2, 4 8 32 0,35 0,1225 0. 5 4 20 1,35 1,8225 7, Total 20 73 * * 18,
Assim a variância vale = = 0,9275 e
o desvio padrão vale == 0,
Exemplo : Vamos calcular a variância e o desvio padrão da série representativa de uma variável contínua:
Classe Int. classe f (^) i 1 0 4 1 2 4 8 3 3 8 12 5 4 12 16 1 Total 10
Para calcular a média Ma , acrescentamos duas colunas à tabela:
Classe Int. classe f (^) i x (^) i x (^) i.fi 1 0 4 1 2 2 2 4 8 3 6 18 3 8 12 5 10 50 4 12 16 1 14 14 Total 10 * 84
Assim M (^) a = = 8,.
Para calcular o DMS, acrescentaremos mais 3 colunas à tabela:
Classe Int. classe f (^) i x (^) i xi .fi x (^) i – Ma (xi – M (^) a) 2 (xi – Ma) 2 .fi 1 0 4 1 2 2 -6,4 40,96 40, 2 4 8 3 6 18 -2,4 5,76 17, 3 8 12 5 10 50 1,6 2,56 12, 4 12 16 1 14 14 5,6 31,36 31, Total 10 * 84 * * 102,
Assim a variância vale = = 10,24 e
o desvio padrão vale == 3,. 61
O coeficiente de variação (ou desvio padrão relativo) de uma série X, indicado por CV(X), é definido por
CV(X) =
lembrando que estamos indicando agora por a média aritmética Ma (X) da série X.
A variância relativa de uma série X, indicada por V(X), é definida por
V(X) =
No exemplo citado acima, temos
CV(X) = = 0,2 = 20% enquanto CV(Y) = = 0,05 = 5%
Comparando os valores destes dois coeficientes concluímos que a série X admite maior dispersão relativa.
Como a medida de dispersão relativa leva em consideração a medida de dispersão absoluta e a média da série, é uma medida mais completa que a medida de dispersão absoluta. Assim podemos concluir que a série que tem a maior dispersão relativa tem de modo geral a maior dispersão.
No exemplo anterior podemos concluir que:
A série Y apresenta maior dispersão absoluta. A série X apresenta maior dispersão relativa. Portanto, a série X apresenta maior dispersão.
