UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENG. DE COMPUTAÇÃO E
AUTOMAÇÃO
INTRODUÇÃO À MODELAGEM
DE SISTEMAS DINÂMICOS
Professor: Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo
Natal-RN, Março de 2005
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modelagem e sistemas dinamicos, Trabalhos de Modelação Matemática e Simulação
modelagem e sistemas dinamicos
Tipologia: Trabalhos
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENG. DE COMPUTAÇÃO E
AUTOMAÇÃO
INTRODUÇÃO À MODELAGEM
DE SISTEMAS DINÂMICOS
Professor : Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo
Natal-RN, Março de 2005
ÍNDICE
- 1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................
- 2 VARIÁVEIS GENERALIZADAS E ELEMENTOS DE SISTEMAS ................
- 2.1 VARIÁVEIS DE SISTEMA .......................................................................................
- 2.1.1 ESFORÇO e FLUXO: Variáveis Generalizadas de Sistemas....................
- 2.1.2 Potência e Energia .....................................................................................
- 2.1.3 Energia Armazenada e Estado ...................................................................
- 2.2 ELEMENTOS BÁSICOS DE SISTEMAS .....................................................................
- 2.2.1 Propriedades Constitutivas de Fontes de Energia.....................................
- 2.2.2 Propriedades Constitutivas de Armazenadores de Energia.......................
- 2.2.3 Propriedades Constitutivas de Dissipadores de Energia...........................
- 2.3 ELEMENTOS ADICIONAIS DE SISTEMAS ...............................................................
- 2.1 VARIÁVEIS DE SISTEMA .......................................................................................
- FLUÍDOS, MAGNÉTICOS E TÉRMICOS ........................................................................ 3 ELEMENTOS BÁSICOS EM SISTEMAS MECÂNICOS, ELÉTRICOS, - 3.1 SISTEMAS M ECÂNICOS ...................................................................................... - 3.1.1 Translacionais .......................................................................................... - 3.1.2 Rotacionais ............................................................................................... - 3.2 SISTEMAS ELÉTRICOS ........................................................................................ - 3.3 SISTEMAS FLUIDOS ............................................................................................ - 3.4 SISTEMAS M AGNÉTICOS .................................................................................... - 3.5 SISTEMAS TÉRMICOS .........................................................................................
- 4 ELEMENTOS ESPECIAIS MULTI-PORTAS DE SISTEMAS .......................
- 4.1 CONVERSORES DE ENERGIA ...............................................................................
- 4.1.1 Transformador Elétrico............................................................................
- 4.1.2 Transformador Mecânico-Translacional .................................................
- 4.1.3 Transformador Mecânico-Rotacional ......................................................
- 4.1.4 Transformador Fluido ..............................................................................
- 4.2 ACOPLADORES DE ENERGIA ..............................................................................
- 4.2.1 Acopladores Conservadores de Potência.................................................
- 4.2.2 Acopladores Conservadores de Energia ..................................................
- 4.3 MULTI-PORTAS MODULADAS...................................................................
- 4.3.1 Bi-Portas Moduladas................................................................................
- 4.3.2 Uni-Portas Moduladas .............................................................................
- 4.1 CONVERSORES DE ENERGIA ...............................................................................
- 5 INTERCONEXÃO DE ELEMENTOS DE SISTEMAS.....................................
- 5.1 SISTEMAS M ECÂNICOS ......................................................................................
- 5.2 SISTEMAS ELÉTRICOS ........................................................................................
- 5.3 SISTEMAS FLUIDOS ............................................................................................
- 5.4 SISTEMAS TÉRMICOS .........................................................................................
- 4 ELEMENTOS ESPECIAIS MULTI-PORTAS DE SISTEMAS .......................
2 V ARIÁVEIS G ENERALIZADAS E ELEMENTOS D E SISTEMAS
Fonte (^) Sistema Saída
Portador de Energia
Portador de Energia
- Sistemas: manipuladores de energia que interagem com as entradas e saídas via portas
de energia
- dissipaçãode energia
- geraçãodeenergia
- armazenamentodeenergia
ElementosBásicos
2.1 Variáveis de Sistema
Determinam como e em que sentido a energia é transmitida.
Exemplo:
Fonte de
Energia
Elétrica
v
i
R
R
- Sistema: resistor
- Portas: fios
- Variáveis de sistema: tensão (v) e corrente (i) Potência = v.i
2.1.1 ESFORÇO e FLUXO: Variáveis Generalizadas de Sistemas
Fonte Sistema
f
e
Sentido Generalizado: esforço (e) e fluxo (f)
esforço
fluxo
- Medidores de esforço: voltímetros, termomêtros, barômetros
- Medidores de fluxo: amperímetros, medidores de vazão, dinamômetros.
Esforço ⇒ Variável ENTRE ( across variable )
Fluxo ⇒ Variável ATRAVÉS ( through variable )
2.1.2 Potência e Energia
e
f
A B
Pot = e.f (ou proporcional a)
= ∫
1
0
t
Eab t ef dt
2.1.3 Energia Armazenada e Estado
∫
t 1
0
EnergiaArmazenada= e.fdt
- armazenadoresde fluxo
- armazenadoresdeesforço Mecanismosarmazenadoresdeenergia
Esforço Acumulado (e (^) a )
= ∫
t
ea e 0
a
dt
de dt ou e= ex: indutor
∫ ∫
t
0
e
0
a
a Energiaacumulada= efdt= fde
f
e 1
f
1
e
Potência Saindo
Potência Entrando
e
2.2.2 Propriedades Constitutivas de Armazenadores de Energia
Armazenadores de Fluxo
f
e= ϕ
- (f a
)
f a = ϕ( e )
= (^) ∫ =∫
t f a
a U efdt edf 0 0
f a
e
f a
U= energia
U = co-energia*
= ϕ(e)
0
1 U ( f ) df efa U
f a a
a = (^) ∫ = −
−
fa
U
e
= (^) ∫
e U (^) 0 fa de
e
U
f (^) a
Se f (^) a = Ce (linear) temos que:
- 2 2
0 0
2 *
1 U U Ce U f de Cede Ce
U ef U Ce U
e e
a
a
= =
∫ ∫
Armazenadores de Esforço
f ϕ
= (e ) a
e
ea = ϕ( f )
= (^) ∫ =∫
t e a
a T efdt fde 0 0
f
e a
T= energia
T = co-energia*
=
f
- (e ) a
ϕ
0
1 T ( e ) de eaf T
e a a
a = (^) ∫ = −
−
f
T
ea
= (^) ∫
f T (^) 0 ea df
e a
T
f
Se ea = Lf (linear) temos que:
- 2 2
0 0
2 *
1 T T Lf T edf Lfdf Lf
T e f T Lf T
f f
a
a
= =
∫ ∫
2.2.3 Propriedades Constitutivas de Dissipadores de Energia
f
e = ϕ(f)
e = ϕ( f )
e
G= conteúdo
J= co-conteúdo
=
f
ϕ
e
(f)
ef edf fde G J
f e = (^) ∫ + (^) ∫ = + 0 0
e
G
f
; f
J
e
Se e= Rf (linear) temos que: G = J = Rf
2
3 ELEMENTOS BÁSICOS EM SISTEMAS MECÂNICOS , ELÉTRICOS ,
FLUÍDOS , MAGNÉTICOS E TÉRMICOS
3.1 Sistemas Mecânicos
Podem ser translacionais e rotacionais.
- Velocidade ⇒ entre um ponto e a referência ⇒ Variável ENTRE
- Força ⇒ da referência para um ponto ⇒ Variável ATRAVÉS
3.1.1 Translacionais
Tipos de Analogia:
Velocidade ⇒ Esforço
Força ⇒ Fluxo
(Analogia da Mobilidade) ou
(Analogia do Movimento)
Velocidade ⇒ Fluxo
Força ⇒ Esforço
(Analogia Clássica)
Massa Translacional
v velocidad e
m massa
p momento
p mv
a aceleração
F força ma dt
dv m dt
dp F
F
dp
dt
= ⇒ p = (^) ∫Fdt ⇒ Armazenador de fluxo
F
1
2
p = m v
U
U*
p
v 12
12
2 12
2
U = U = mv
Mola Translacional
= ⇒ =∫ v velocidade
x posição x vdt dt
dx v ⇒ Armazenador de esforço
F F
v 12
1 2
F
x 12
x 12 =^
ϕ (F)
T
T*
Lei de Hooke:
2 12
- 2 12 12 2
T=T
F kx k
F
k
F = kx ⇒ x = ⇒ = =
Dissipação Translacional
F F
v 12
1 2
F
v 12
= ϕ^ (v^ ) 12
F
J
G
Se F = bv 12 (b →coeficientedeatritoviscoso), então
2 12 2
J = G = bv
b
F
Potência bv
2 2 = 12 =
Se a relação constitutiva da mola for linear, então:
2 12
12 12 2
T=T
τ θ θ τ k θ
k
= k ⇒ = ⇒ =
Dissipação Rotacional
1 2
ω τ ω 1 2
τ
12
J
G
τ
ω
=ϕ(ω ) 12
τ
Se τ = bω 12 ( b → coeficiente de atrito viscoso , então)
2 12 2
J = G = b ω
b
Potência b
2 2 12
3.2 Sistemas Elétricos
- Tensão ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO
- Corrente ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO
Indutância
Armazena energia no campo magnético.
λ =ϕ( i ) λ→fluxomagnéticoconcatenado
∫
= ⇒ = vdt dt
d v λ
λ ⇒ Armazenador de esforço
v 12
1 2
i
λ
T
T*
λ = ϕ
i
(i)
Para o caso linear:
λ = Li ⇒
2
2
2
Li L
T = T = =
λ
Indutor constituído por uma bobina com N espiras:
Comprimentomédiodocircuito magnético
Áreadeseçãotransversaldocircuitomagnético
Permeabilidade
Númerodeespiras
Indutância
2
l
a
N
L
l
a
L N μ
Capacitância
Armazena energia no campo elétrico.
q = ϕ( v ) q→cargaelétrica
∫
= ⇒ q = idt dt
dq i ⇒ Armazenador de fluxo
1 2
v 12
i
v 12
U
U*
= ϕ
q
q 12
(v )
Para o caso linear:
q = Cv 12 ⇒
2 12
2
2
Cv C
q U = U = =
- Capacitor de placas paralelas:
Distânciaentreas placas
Áreadasplacas
Permissividade
Capacitância
l
a
C
d
a C
ε^ ε
= ∫
V
U PdV 0
; =∫
V
U VdP 0
Para o caso linear:
- 2
2
V = Cf P ⇒ U = U = CfP
- Reservatório de fluido
Q
H
área da seção A
P
P =ρ. g. H (ρ→densidadedofluido)
g
A
P
g
A
g
P
V AH A
C
f
- Tanque Pressurizado
Q
V t
P
V t
volume do tanque
V t
V 1 ρ
ρ
Q
Q
P
1
2
mentrada
m armazenada
mentrada = m armazenada
dt
d V dt
dV V dt
d V dt
d V Vt t t
1 2 1 1 2 ( 1 1 ) ( 2 ) 1
V t dt
d Q
2 1
Para líquidos ⇒ módulodeelasticidade
1
d ρ dP
Logo
t t t
V
P
V
Qdt = VdP ⇒ V = ⇒ Cf=
Indutância Fluida (Armazenador de Esforço)
l
A
v
P 1
P 2
Q (^) Q
Considerando o fluido contido no tubo acima como uma massa fluida rígida se
deslocando com velocidade v:
dt
dV
F = A ( P 2 − P 1 )= ma = ρ. lA
Definindo: 21 onde 21 fluido
21 P momento dt
d = Γ →
Γ 21 =∫ P 21 dt ⇒ armazenadorde esforço
Relação constitutiva:
dt
dQ
dt A
dx Q A dt
dVol Vol Ax
dt
dv = ⇒ = = ⇒Q =Av⇒ =
A
l Q A
l
dt
dQ
A
l
dt
d. L
21 f
21 ρ^ ρ^ ρ
- Para um fluxo laminar através de um tubo capilar:
Diâmetrodotubo capilar
Comprimentodotubocapilar
Viscosidadefluida
Resistênciafluida
4
d
l
R
d
l R
f
f
- Para um fluxo turbulento através de um cano longo:
dofluidoedageometriadotubo
a Constantequedependedaspropriedades 4
3 P 12 aQQ
3.4 Sistemas Magnéticos
- Força Magnetomotriz ( M ) ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO
- Fluxo Magnético (Φ) ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO
Armazenamento de energia em circuitos magnéticos ⇒ Indutância
Propriedade de Indutância ⇒ Acúmulo de fluxo magnético
- A forma complementar de armazenamento de energia magnética não é normalmente identificável.
Relutância Magnética
= (^) ∫
M ϕ( )
M Hdl H → campo magnético
M^ Φ 1
M 2
M = M - M 2 1
Φ
M
M=ϕ
J
G
(Φ)
No caso linear:
M Hl
Ba
=
- Densidadede fluxo
- Áreadaseçãotransversal
B
a
M
Ba
Hl
= ⇒ M
Hl
Ba
= Φ ⇒ M = ℜΦ
Permeabilidademagnetica
Relutanciamagnetica
μ a μ
l
a H
B
l
2
2
J = G = ℜΦ
Fontes de Energia Magnética
- Imã permanente
- Bobina com N espiras atravessada por uma corrente I ⇒ M = NI
3.5 Sistemas Térmicos
- Fluxo de calor ( q ) ⇒ Variável ENTRE ⇒ Variável de ESFORÇO
- Diferença de temperatura ( ∆Τ) ⇒ Variável ATRAVÉS ⇒ Variável de FLUXO
c calor especifico
m massadasubstancia
H quantidadedecalor
( )
p
H mcpT 2 T 1
O calor H é uma variável energia
Generalização não pode ser feita em termos de energia
Capacitância Térmica (Armazenador de Fluxo)
= ⇒ H= ∫ qdt dt
dH q (qualquer corpo)