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CAPÍTULO IV
OS MODELOS ATÔMICOS
(V.S. Bagnato)
4.1 – CONSIDERAÇOES GERAIS
Após a descoberta dos ingredientes que fazem parte do átomo, a questão fundamental era: Como tais constituintes estão distribuídos? A resposta a esta questão, levou à formulação de diversos modelos. Muitos deles não se sustentaram, por não condizerem com a realidade da matéria. Quando se chegou a um modelo, que viria a se tornar o mais evidente, novamente enfrentou-se uma questão crucial sobre a estabilidade dos elétrons coexistindo com o núcleo positivo. Esta, talvez tenha sido uma das questões chaves no estudo da estrutura da matéria, pois sua resposta exigiu coragem para mudar por completo os conceitos existentes e introduzir uma nova ciência. Neste capítulo, vamos abordar questões que são chaves para determinação de um modelo que explica a coexistência dos constituintes atômicos.
4.2 - O MODELO PLANETÁRIO INDUZIDO POR RUTHERFORD
O modelo estabelecido por Rutherford, no qual um núcleo massivo e positivo apresenta os elétrons ao seu redor, exige que tais elétrons descrevam trajetórias estáveis ao redor deste núcleo, semelhante ao modelo planetário vigente. Vamos examinar mais de perto os elétrons ao redor do núcleo num dos átomos mais simples que é o átomo de hidrogênio. Esse átomo possui um próton em seu núcleo e um elétron girando em torno dele. Por simplicidade, a trajetória do elétron é circular de raio r e ele tem uma velocidade . Para
manter o elétron estável girando em torno do núcleo, o seguinte balanço de forças deve ser obedecido:
2
2 2 r
e r
m
(4.2.1)
ou seja, a força elétrica é igual a força centrípeta como mostrado na figura 4.1.
Figura 4.1 – Modelo nucleado do átomo de Rutherford. Nesse modelo o elétron gira em torno do núcleo numa trajetória circular de raio r com velocidade . Para manter a trajetória do elétron estável, a força elétrica entre próton e elétron e a força centrípeta deve ser igual.
A velocidade do elétron está relacionada com o raio da órbita por:
mr
e (4.2.2)
Da conservação de energia temos que a energia total E é a soma da energia cinética com o potencial elétrica e é dado por
r
e E m
2 2 2
1
Ao combinar a equação (4.2.2) com a equação (4.2.3), a expressão para a energia total do elétron no átomo é reescrita como:
r
e r
e E
2 2
2
1 (4.2.4a)
ou
FCoulomb
FCoulomb
r
Figura 4.2 – Movimento espiralado, esperado para um elétron irradiando energia.
Este colapso, evidentemente, está em contradição com as observações reais dos átomos. Afinal, a matéria existe (caso houvesse “colapso”, ela se aniquilaria). Esta contradição impôs a necessidade de modificar a forma como víamos o átomo até aquele momento; as medidas de Rutherford, portanto, não pareciam indicar que o modelo planetário fosse viável. A falha básica do modelo orbital está na estabilidade das órbitas. Além disto, ao se realizar experimentos de descarga em gases, observava-se algo estranho, totalmente não intuitivo pelos modelos existentes até então. A solução para tal problema foi proposta inicialmente por Niels Bohr (1913) que foi muito bem sucedido na explicação e predição do espectro atômico observado em vários experimentos.
Antes de discutirmos modelos mais sofisticados para o átomo é necessário tecer alguns comentários sobre a observação da radiação emitida pelos átomos no que denominamos de espectro atômico.
Uma das maneiras de determinar a composição da radiação emitida pelos átomos está mostrada na figura 4.3. Aqui, uma ampola contendo certo gás (Hidrogênio, por exemplo) é submetida a uma descarga, e a luz advinda da descarga, que certamente originada nos átomos é coletada e separada através da passagem por um prisma.
Figura 4.3 – Descarga e coleta da luz de uma ampola gasosa
A radiação dos átomos pode ser obtida através de uma descarga elétrica no gás constituído pelos átomos em estudo. Durante a descarga ocorrem colisões dos elétrons com os átomos e, nestas colisões, há transferência de energia fazendo com que luz seja emitida pelos átomos. Esta luz emitida é uma assinatura dos níveis de energia do átomo e revelam toda informação da estrutura atômica. Esta radiação emitida pelos átomos pode ser bloqueada de modo que seja permitido somente um fino flash que passa por uma fenda incida sobre um prisma (ou rede de difração). Ao passar por este prisma a luz é dispersa, separando as várias porções de comprimento de onda diferentes que compõem esta radiação. Desta forma, a placa
Corrente DC
Tubo de descarga elétrica
Lente
Prisma
Anteparo Fotossensível
Ultravioleta
Luz (visível) Visível
Infravermelho
A observação do espectro atômico foi um dos mais importantes estímulos experimentais para o início das novas explicações que não apenas justificariam os átomos, mas também permitiriam o nascimento de uma nova ciência: a mecânica quântica. A comunidade científica da época procurava por um modelo que pudesse justificar todos estes resultados experimentais observados e ainda contivesse em seu corpo a precisão das linhas espectrais observadas. É neste cenário que entra o físico Niels Bohr, propondo um modelo atômico que quebrava os conceitos até então existentes.
4.3 - O MODELO ATÔMICO DE BOHR
Figura 4.5 - Niels Bohr
Em 1913, Niels Bohr verificou que jamais seria possível explicar os átomos com os conceitos existentes. Era preciso introduzir novas idéias, mesmo que chocantes. Desta forma, ele desenvolveu um modelo dinâmico que preenchia os requisitos para explicar o espectro do átomo de hidrogênio, com a vantagem de ser escrito e desenvolvido de uma forma inteligível e matematicamente simples. O então chamado modelo atômico de Bohr tem seu desenvolvimento baseado em alguns postulados básicos. É importante lembrar, que por esta época, Planck, já tinha formulado a teoria da radiação e, portanto, o conceito de fóton já estava sendo estabelecido. Os postulados são:
- Um elétron no átomo move-se ao redor do núcleo em uma órbita circular sob a influência da atração Coulombiana, obedecendo às leis clássicas da mecânica.
- Ao contrário de ser possível ao elétron existir em qualquer trajetória ao redor do núcleo, somente serão permitidas as trajetórias cujo momento
angular L é um múltiplo de
2
h
. O momento angular é dado por
L n onde n 1 , 2 , 3 .... (4.2.9)
- Apesar de estarem numa órbita constantemente acelerada, elétrons nas órbitas permitidas no postulado anterior são estáveis, não irradiando energia eletromagnética e, portanto, mantendo constante a sua energia.
- Toda vez que o elétron mudar de órbita passando de uma órbita de energia Ei para outra de energia Ef haverá emissão de energia na forma de radiação eletromagnética, cuja frequência é:
h
E E
v i^ f
onde h a constante de Planck.
Todos os postulados tentam, utilizando os conhecimentos gerados por outros modelos, justificar as observações experimentais de que existe um núcleo, de que as órbitas de elétron são estáveis e de que há emissão de radiação. O requisito da chamada quantização é introduzido no momento angular, exigindo que ele só possa assumir valores que dependem de um dado numero inteiro. Como será mostrado adiante, este fato também se reflete na energia do elétron dentro do átomo. Vamos, então, resolver (resolver os cálculos para) o átomo utilizando os postulados acima, com o que geraremos o que será chamado de modelo atômico de Bohr. Se considerarmos um átomo mono eletrônico, cujo elétron tem massa m e efetua trajetórias circulares, temos
que
r
m
r
Ze^2
2
onde foi considerado que sendo o núcleo muito mais massivo tem seu
movimento desprezível quando comparado com elétron. Segundo o postulado 2, a condição de quantização de Bohr é dado por
mr
n L m r n
2
2 2 2 2
2 2 2
2
mZe
n r m r
n r
m r
Ze
ou seja,
Figura 4.7 - Processo de mudança de órbiras permitidas. A seta azul indica o aumento da energia das órbitas e a seta ondulada vermelha representa a emissão de um fóton com energia E=hf.
Representando os vários estados numa escala energética, teríamos um diagrama como mostrado na figura 4.8.
Figura 4.8 – Diagrama com níveis de energia do átomo de Hidrogênio e suas possíveis mudanças de órbitas, aqui representadas como mudanças de energia. Acima de 13.6 eV, o elétron é arrancado de sua órbita e o átomo de hidrogênio é ionizado.
n = 1
n = 2
n = 3
Aumento da energia
das órbitas
Um fóton com
E =hf é emitido
Segundo os postulados de Bohr podemos determinar a freqüência da radiação emitida quando o elétron passa de um determinado estado Ei para outro Ef , caracterizados pelos números quânticos ni e nf. Assim, temos que:
(^322)
(^2 ) (^4) f i
f i N N
mZ e h
E E v ^ (4.2.13)
ou seja,
3 2 2
(^2 ) 4 Ni Nf
mZ e v ^ (4.2.14)
Assim, as luzes provenientes de uma descarga eletrônica em hidrogênio, correspondem aos vários agrupamentos de linhas de frequências diferentes, provenientes de emissões distintas de elétrons em diferentes estados. As linhas de Lyman, entre 1000 - 1300Å provêm de transições eletrônicas de todos estados excitadas para o estado n = 1. As linhas de Balrner, entre 4000 - 7000Å são transições cujo estado final é o estado n=2. As linhas Paschen são transições entre 10.000 - 20.000Å, que correspondem às transições que tem como estado final o estado n = 3. Estas linhas, perfeitamente em concordância com o modelo de Bohr, foram fundamentais no desenvolvimento dos conceitos básicos da estrutura atômica.
4.4 - O MODELO DE BOHR JUSTIFICADO POR ONDAS DE MATÉRIA
Simultaneamente ao desenvolvimento do modelo atômico, nascia uma nova idéia ondulatória para explicar efeitos que ocorriam com feixes de elétrons. Como sabemos, há certos efeitos que ocorrem apenas com ondas como é o caso da difração e a interferência. Tais efeitos não ocorrem em porções de massa localizadas, caracterizando as partículas massivas da mecânica. Estas partículas obedecem muito bem às leis de Newton, e tem todo seu comportamento descrito pelo conhecimento das grandezas velocidade, posição e aceleração. Acontece que experimentos realizados com feixes de elétrons, revelaram efeitos que eram inerentes a ondas. Com isto verificou-se a possibilidade, nunca antes imaginada, de partículas também se comportam como ondas. Sendo também ondas, tais partículas precisariam ter um comprimento de onda e uma freqüência a elas associadas. Um esquema do experimento de difração de elétrons em cristais esta mostrado na figura 4.9. Pode ser observado que o resultado do experimento são anéis de difração típicos de uma onda interagindo com estruturas periódicas (no caso, o próprio cristal).
de Newton, é preciso considerar a natureza ondulatória da matéria, e isto muda tudo. Devido à pequenez da constante de Planck, nem sempre é possível ver com clareza os efeitos ondulatórios dos elétrons. Como sempre acontecem com ondas, os efeitos ondulatórios são marcantes quando a onda interage com estruturas de sistemas físicos de tamanhos semelhantes ao de seu comprimento de onda. A questão que surgiu foi: Se o elétron dentro do átomo se comportar como onda, o quanto isto explica as observações e os postulados de Bohr? Os postulados de Bohr não dão indicativos da necessidade de ondas de matéria para serem explicados, mas são resultados claros do comportamento ondulatório do elétron, ou seja, são implicações diretas do conceito quântico ou ondulatório para o elétron. Assim, no átomo de hidrogênio, consideremos um elétron em órbita ao redor do núcleo; através do balanço de forças, o elétron apresenta uma velocidade descrita por
mr
e r
e r
m
2
2 2 (4.2.16)
Com esta velocidade, seu comprimento de onda de De Broglie é:
mr
e
m
h
m
h
D 2. (4.2.17)
Ao colocarmos os valores numéricos, teremos:
D 3 , 310 ^8 cm 3 , 3 Å.
O que corresponde exatamente ao perímetro da órbita clássica do elétron,
2 r 2. . 0 , 53 Å = 3,3 Å.
Nesse caso, a região na qual o elétron está confinado é da ordem do comprimento de onda e, portanto, o tratamento ondulatório é mais apropriado. Não é coincidência que para o estado de mais baixa energia tenhamos o perímetro igual a λD, pois este é o mínimo valor que podemos obter. De modo geral, o perímetro é um número inteiro de λ. Não podemos ter um número fracionário de λD, pois neste caso teríamos uma rápida aniquilação da onda ao considerarmos algumas voltas. Desta forma,
n D (^) 2 rn (4.2.18)
e substituindo o valor λ
rn
r
e m
h n 2 2
(4.2.19)
ou seja, L = nћ que é o postulado básico de Bohr. Uma visão desta onda de matéria na órbita de Bohr está mostrada na figura 4.
Figura 4.10 – Esquema representativo da onda de De Broglie para o elétron numa órbita de Bohr. É essencial a continuidade da onda para sua existência ao redor do núcleo.
Assim, através da mecânica ondulatória, as interpretações das órbitas estáveis de Bohr nada mais são do que a situação que representa interferência construtiva entre as várias partes da onda que constitui o elétron considerado.
Como outras trajetórias produzirão necessariamente interferências destrutivas da onda, elas não podem existir. O grande sucesso da teoria de Bohr para explicar o átomo de hidrogênio e sua surpreendente concordância com os resultados experimentais criou uma grande expectativa ao redor dos fundamentos envolvidos no modelo. Procurava-se obter resultados mais gerais, que descrevessem também outros sistemas físicos diferentes do átomo de hidrogênio. Os primeiros passos no sentido de estabelecer uma nova teoria , que fosse sempre válida e que se tornasse mais evidente no micromundo, foram dados por Wilson e Sommerfeld em 1916, que anunciaram determinadas regras que permitiam a quantização, ou a determinação dos estados energéticos, de qualquer sistema físico cujas coordenadas fossem funções periódicas no tempo. Após estes passos iniciais, houve uma grande avalanche de resultados, que culminaram com aquilo que seria a maior revolução na ciência: o estabelecimento da teoria quântica como explicação para os elementos que foram à base de toda a matéria do Universo.
Núcleo
r
