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PROF. DR. CL AUDIO R. LUCINDA´
Neste texto, iremos analisar o modelo inicialmente desenvolvido por Joseph Bertrand como uma resposta `as conclus˜oes do Modelo de Cournot. Dentro deste modelo, a principal vari´avel estrat´egica utilizada ´e composta pelo pre¸co cobrado por qualquer uma das empresas envolvidas.
- Modelo de Bertrand - Exposic¸˜ao Inicial Vamos supor que as firmas - para simplificar, vamos supor a existˆencia de duas firmas - que produzem bens que possam ser considerados como substitutos perfeitos nas fun¸c˜oes de uilidade dos consumidores. Consequentemente, eles comprar˜ao do produtor que cobra o menor pre¸co. Se as firmas cobrarem pre¸cos idˆenticos, devemos fazer uma hip´otese de como os consumidores se distribuem entre elas. Para tanto, iremos supor que as firmas enfrentam uma curva de demanda que ´e igual `a metade da demanda de mercado neste caso. Considerando a existˆencia de uma fun¸c˜ao demanda de mercado Q = D(P ), e supondo que cada firma tenha um custo marginal constante e igual a c, temos que a fun¸c˜ao lucro para a firma i (i = 1, 2) ´e igual a: πi(Pi, Pj ) = (Pi − c)Di(Pi, Pj ) Esta fun¸c˜ao demanda pelo produto de uma das firmas, acima denotada Ditem as seguintes propriedades:
Di(Pi, Pj ) = D(Pi), Pi < Pj Di(Pi, Pj ) = 12 D(Pi), Pi = Pj Di(Pi, Pj ) = 0 , Pi > Pj
Al´em disso, podemos afirmar que o lucro agregado de mercado, (M inpi [Pi − c])D(Pi) ´e menor do que o lucro de monop´olio. Cada firma pode garatir para si mesma um lucro positivo cobrando um pre¸co acima do custo marginal. Portanto, podemos afirmar que, qualquer que seja a solu¸c˜ao, 0 ≤ πi + π 2 ≤ πm, em que πmdenota o lucro de monop´olio. 1
Consistentemente com a an´alise exposta at´e gora, vamos supor que cada uma das companhia escolhe o seu pre¸co simultaneamente. Um Equil´ıbrio de Nash em pre¸cos - tamb´em conhecido como um equil´ıbrio de Bertrand - ´e um par de pre¸cos (P 1 ∗ , P 2 ∗ ) tal que cada uma das empresas maximiza o seu lucro dado o pre¸co cobrado pela outra. Em termos mais formais, temos que:
πi(P (^) i∗ , P (^) j∗ ) ≥ πi(Pi, P (^) j∗ )
Com isto, podemos afirmar o seguinte:
Theorem. O Jogo acima exposto somente admite um Equil´ıbrio de Nash em estrat´egias puras, em que cada empresa cobra um pre¸co exatamente igual ao custo marginal, isto ´e, P 1 ∗ = P 2 ∗ = c.
Demonstra¸c˜ao. Considere, por exemplo, que P 1 ∗ > P 2 ∗ > c. Neste caso, a firma 1 n˜ao vende nada e o seu lucro ´e zero. Por outro lado, se a firma 1 cobra um pre¸co igual a P 1 = P 2 ∗ − ε, em que ε ´e positivo e bem pequeno, ela teria a demanda completa de mercado, D(P 2 ∗ − ε) e obteria uma margem positiva igual a P 2 ∗ − ε − c. Portanto, a firma 1 n˜ao poderia estar agindo de acordo com o seu interesse cobrando um pre¸co P 1 ∗ > P 2 ∗ , logo esta possibilidade n˜ao ´e fact´ıvel. Agora suponha que P 1 ∗ = P 2 ∗ > c. O lucro da firma 1 seria 12 D(P 1 ∗ )(P 1 ∗ − c). Da mesma forma que antes, se a firma 1 cobra um pre¸co igual a P 1 = P 2 ∗ −ε, o seu lucro se tornaria D(P 1 −ε)(P 1 −c), que ´e maior se continuarmos a considerar que ε ´e pequeno. Neste caso, a participa¸c˜ao de mercado da firma aumenta de uma forma descont´ınua. Uma vez que nenhuma firma iria cobrar um pre¸co inferior ao custo marginal c, a ´unica solu¸c˜ao poss´ıvel ´e que pelo menos uma das firmas cobre exatamente este custo. Caso tiv´essemos P 1 ∗ > P 2 ∗ = c, a firma 2 poderia aumentar somente um pouco os seus pre¸cos (e ainda ficar abaixo do pre¸co cobrado pela outra), obter lucros positivos pois continuaria suprindo a demanda toda - o que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo, o teorema est´a provado. §
Podemos resumir as conclus˜oes deste modelo nas duas afirma¸c˜oes:
- As firmas cobram pre¸cos iguais aos custos marginais.
- As firmas n˜ao tˆem lucros.
Evidentemente, este resultado tem pouco apelo, na medida que ´e dif´ıcil acreditar que empresas em ind´ustrias com poucos concorrentes s˜ao incapazes de manipular os pre¸cos de mercado. Neste texto,
partir destes dados, podemos derivar a Fun¸c˜ao Melhor Resposta de cada companhia, a partir da fun¸c˜ao lucro abaixo: πi = (Pi − c)(α − βiPi + γiPj ) Consequentemente, temos as seguintes Condi¸c˜oes de Primeira Ordem associadas com a maxi- miza¸c˜ao: ∂πi ∂Pi^ =^ α^ −^2 βiPi^ +^ γiPj^ +^ cβi^ = 0 A partir destas Condi¸c˜oes de Primeira Ordem temos as seguintes Fun¸c˜oes Melhor Resposta:
P (^) i∗ = α^ +^ γi 2 Pβji^ +^ cβi
Resolvendo o sistema associado com i = 1, 2, temos ent˜ao:
P 1 ∗ = α^ + 2 β^ cβ 1 1 + 2 γβ^11
[α + cβ 2 + γ 2 P ∗ 1 2 β 2
]
P 1 ∗ = 2 β^2 α^ + 2cβ^1 β^2 +^ γ^1 α^ +^ cγ^1 β^2 +^ γ^1 γ^2 P^ 1 ∗ 4 β 1 β 2 Reorganizando: P 1 ∗ = α(2β^2 + 4 γβ^11 ) +β 2 −^ cβ γ^21 (2γ 2 β^1 +^ γ^1 ) Podemos observar que este resultado ´e bastante diferente do impl´ıcito pela se¸c˜ao anterior. Mais especificamente, temos que P 1 ∗ 6 = c. Podemos notar, portanto, que neste caso existe espa¸co para que cada uma das firmas neste mercado cobre pre¸cos acima dos custos marginais, na presen¸ca de diferencia¸c˜ao de produtos. O passo seguinte ´e analisar a existˆencia de limita¸c˜oes de capacidade produtiva para cada firma no mercado. Este ´e o objeto da se¸c˜ao subsequente.
- Modelo de Bertrand com Restric¸˜oes de Capacidade O objetivo desta se¸c˜ao ´e analisar o papel das restri¸c˜oes de capacidade por parte das firmas envolvidas em um mercado, como forma de contornar o resultado paradoxal obtido a partir da se¸c˜ao 1. Vamos supor que existam duas firmas neste mercado, com capaciade m´axima de K unidades. Em outras palavras, cada companhia possui CM gi = c caso qi < K, e CM gi → ∞,
quando qi ≥ K. Evidentemente, a escolha deste n´ıvel K j´a ´e, por si s´o, uma interessante escolha estrat´egica, mas n˜ao ´e o objetivo em quest˜ao. Inicialmente, vamos supor a seguinte fun¸c˜ao demanda:
P = a − b(q 1 + q 2 ) , P 1 = P 2 , q 1 + q 2 < ab
Com esta fun¸c˜ao, podemos definir a chamada fun¸c˜ao Demanda Residual. A demanda residual ´e a demanda que cada empresa enfrenta caso cobre um pre¸co acima da outra. Ela ´e constru´ıda a partir da hip´otese que a empresa que cobra um pre¸co mais baixo vender´a, necessariamente, a quantidade idˆentica `a sua capacidade instalada. Ou seja, podemos definir a seguinte Fun¸c˜ao Demanda Residual para a empresa 1, caso a empresa 2 cobre um pre¸co inferior:
Q 1 = ab − K − (^1) b P 1
Com esta Fun¸c˜ao Demanda Residual, podemos definir as vendas da firma 1 com rela¸c˜ao ao pre¸co:
Q 1 = min
{a b −^ K^ −^
b P^1 , K
caso P 2 < P 1 ≤ a − bK
Q 1 =^12 min
{a b −^
P 1
b , K
caso P 2 = P 1 ≤ a
Q 1 = min
{a b −^
P 1
b , K
caso P 2 > P 1 ≤ a Q 1 = 0 caso contr.
Estas equa¸c˜oes dizem o seguinte. Se a empresa 1 coloca o seu pre¸co acima da firma 2, as suas vendas s˜ao restritas pelo menor de dois valores - a demanda residual e a sua capacidade. Se as duas empresas cobram pre¸cos iguais, as suas vendas s˜ao restringidas pelo menor de dois valores
- metade da demanda de mercado ou a capacidade. E, finalmente, se a empresa 1 coloca o seu pre¸co abaixo do pre¸co da empresa 2, ela seria restrita pelo menor de dois valores - a demanda de
Melhor Resposta Firma 1 Firma 2 joga [c; a − 2 bk] a − 2 bK Firma 2 joga ]a − 2 bK; a − bK[ P 2 − ε Firma 2 joga [a − bK; +∞[ a − bK
Evidentemente, a firma 2 possui uma tabela representativa de estrat´egias bastante similar. Con- sequentemente, temos que o Equil´ıbrio de Nash neste caso seria a ado¸c˜ao de pre¸cos P 1 = P 2 = a − 2 bK. As caracter´ısticas das fun¸c˜oes melhor resposta das duas empresas est˜ao representadas no gr´afico a seguir:
Figura 1. Fun¸c˜oes Melhor Respostas - Firmas 1 e 2
Podemos notar que neste caso, tamb´em temos no Equil´ıbrio de Nash pre¸cos acima dos custos marginais, contornando assim o paradoxo de Bertrand colocado anteriormente.
- Conclus˜ao Neste pequeno texto, mostramos um dos principais modelos para compreender a intera¸c˜ao estrat´egica entre as empresas em mercados oligopolizados: o Modelo de Bertrand. Come¸camos mostrando a formula¸c˜ao mais b´asica do mesmo modelo, bem como a conclus˜ao aparentemente
paradoxal. A seguir, foram mostradas as poss´ıveis solu¸c˜oes para este assim chamado paradoxo: a diferencia¸c˜ao de produtos e a existˆencia de significativas restri¸c˜oes de capacidade.
Referˆencias
[1] TIROLE, J. (1995) The Theory of Industrial Organization. MIT Press. [2] BIERMAN, H. S. e FERNANDEZ, L. (2000) Game Theory with Economic Applications. Addison-Wesley.
