Modelo Numérico Terreno, Notas de estudo de Topografia

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MODELAGEM NUMÉRICA DE TERRENO

Carlos Alberto Felgueiras Gilberto Câmara

7.1 DEFINIÇÃO

Um Modelo Numérico de Terreno (MNT) é uma representação matemática computacional da distribuição de um fenômeno espacial que ocorre dentro de uma região da superfície terrestre. Dados de relevo, informação geológicas, levantamentos de profundidades do mar ou de um rio, informação meteorológicas e dados geofísicos e geoquímicos são exemplos típicos de fenômenos representados por um MNT.

Dentre alguns usos do MNT pode-se citar:

• Armazenamento de dados de altimetria para gerar mapas topográficos;
• Análises de corte-aterro para projeto de estradas e barragens;
• Elaboração de mapas de declividade e exposição para apoio a ánalise de geomorfologia e erodibilidade;
• Apresentação tridimensional (em combinação com outras variáveis). Para a representação de uma superfície real no computador é indispensável a elaboração e criação de um modelo digital, que pode estar representado por equações analíticas ou um rede ( grade ) de pontos, de modo a transmitir ao usuário as características espaciais do terreno.

A criação de um modelo numérico de terreno corresponde a uma nova maneira de enfocar o problema da elaboração e implantação de projetos. A partir dos modelos (grades) pode-se calcular diretamente volumes, áreas, desenhar perfis e secções transversais, gerar imagens sombreadas ou em níveis de cinza, gerar mapas de declividade e aspecto, gerar fatiamentos nos intervalos desejados e perspectivas tridimensionais.

O processo de geração de um modelo numérico de terreno pode ser dividido em 2 etapas: (a) aquisição das amostras ou amostragem e (b) geração do modelo propriamente dito ou interpolação. Após a geração do modelo, pode-se desenvolver diferentes aplicações.

A amostragem compreende a aquisição de um conjunto de amostras representativas do fenômeno de interesse. Geralmente essas amostras estão representadas por curvas de isovalores e pontos tridimensionais.

A interpolação envolve a criação de estruturas de dados e a definição de superfícies de ajuste com o objetivo de se obter uma representação contínua do fenômeno a partir das amostras. Essas estruturas são definidas de forma a possibilitar uma manipulação conveniente e eficiente dos modelos pelos algoritmos de análise contidos no SIG. As estruturas de dados mais utilizadas são a grade regular e a malha triangular.

As aplicações são procedimentos de análise executados sobre os modelos digitais. As aplicações podem ser qualitativas , tais como a visualização do modelo usando-se projeções geométricas planares ou quantitativas tais como cálculos de volumes e geração de mapas de declividades.

7.2 AMOSTRAGEM

A amostragem compreende a aquisição de um conjunto de amostras que representam a variação de um fenômeno espacial de interesse. Na definição de uma amostragem representativa, deve-se considerar a quantidade e também o posicionamento das amostras em relação ao comportamento do fenômeno a ser modelado. Uma superamostragem de altimetria numa região plana significa redundância de informação enquanto que poucos pontos em uma região de relevo movimentado significa escassez de informações.

As fontes mais comuns de amostras de modelos digitais de terrenos são: arquivos digitais, importados de outros sistemas, bases topográficas com isolinhas e pontos notáveis de máximos e mínimos, e levantamentos em campo transformados, de alguma forma, em informação digitais. Para dados de altimetria pode-se, por exemplo, realizar-se levantamentos em campo com o auxilio de GPSs (“Ground Position Systems”). Um conjunto de amostras pode ainda ser obtido a partir de pares estéreos de imagens de sensoriamento remoto.

Os dados de modelo numérico de terreno estão representados por coordenadas 3D ( x,y,z ). Quanto a posição relativa das amostras pode-se classificar a amostragem em: regular, semi-regular e irregular. A amostragem regular é aquela cuja posição espacial ( x, y ) das amostras mantém uma regularidade de distribuição. As amostragens semi-regulares são aquelas que preservam a regularidade de distribuição espacial na direção x ou y mas nunca nas duas ao mesmo tempo. Amostragem por perfis, por exemplo, apresentam regularidade em uma direção preestabelecida.

O cuidado na escolha dos pontos e a quantidade de dados amostrados estão diretamente relacionados com a qualidade do produto final de uma aplicação sobre o modelo. Para aplicações onde se requer um grau de realismo maior, a quantidade de pontos amostrados, bem como o cuidado na escolha desses pontos, ou seja a qualidade dos dados, são decisivos. Quanto maior a quantidade de pontos representantes da superfície real, maior será o esforço computacional para que estes sejam armazenados, recuperados, processados, até que se alcance o produto final da aplicação.

No caso de amostragem por isolinhas, trata-se da representação de uma superfície por meio de curvas de igual cota, cujo exemplo mais comum são as isolinhas altimétricas existentes nos mapas topográficos. Nestes mapas as isolinhas foram impressas com o uso de equipamentos, como stereoplotters , sobre uma base composta de fotografias em estéreo obtidas por aerolevantamento. Cabe ainda mencionar que nestes mapas topográficos existem pontos amostrados irregularmente que foram obtidos por trabalhos de campo. A aquisição das isolinhas pode ser efetuada por meio de digitalização manual com uso de uma mesa digitalizadora, ou através de um processo automático por meio de scanner.

A digitalização manual consiste na operação de identificação de uma isolinha com um valor de cota e em aquisição pelo operador por um processo onde segue-se a linha ao longondo mapa. Na digitalização com o uso de scanner , é obtida uma matriz de pontos onde podem ser identificadas as isolinhas e os valores de cota. Os processos de vetorização mais comuns transformam uma isolinha em uma sequência de pontos.

7.3 REDUÇÃO DE AMOSTRAS

A entrada de isolinhas na modelagem numérica, seja pela sensibilidade da mesa digitalizadora, ou pela resolução do scanner e o algoritmo de conversão, produz muitas vezes um número excessivo de pontos para representar a isolinha. O espaçamento ideal entre pontos de uma mesma isolinha deve ser a distância média entre a isolinha e as isolinhas vizinhas. Este espaçamento ideal permite gerar triângulos mais equiláteros, que permitem modelar o terreno de maneira mais eficiente.

Outra fonte de pontos redundantes ocorre quando uma linha não é digitalizada continuamente, desde de seu início até seu final. Nestes casos, o primeiro ponto de uma linha pode ser o último da linha anterior, ou estar tão próximo a ela que pode ser interpretado como se estivesse posicionado na mesma localização geográfica. O último problema pode ser resolvido com a comparação entre os valores iniciais e finais das isolinhas. Um dos pontos, assim duplicados, pode ser removido do conjunto de amostras.

Os pontos em excesso, ao longo de uma linha, podem ser eliminados utilizando um procedimento de simplificação. O problema de simplificação de linhas consiste em obter uma representação formada por menos vértices , e portanto mais compacta de uma isolinha, atendendo a alguma restrição de aproximação entre as duas representações. Essa restrição é em geral alguma medida da proximidade geométrica, tais como o máximo deslocamento perpendicular permitido ou o mínimo deslocamento angular permitido, como ilustrado na Figura 7.3.

Figura 7.3 Critérios para simplificação de isolinhas. Um dos procedimentos mais utilizados para simplificação de poligonais como isolinhas é o procedimento de Douglas-Peucker, que elimina pontos ao analisar a distância de cada ponto à uma reta que une o primeiro e o último ponto da linha. Se todos os pontos estão à uma distância menor que uma dada tolerância, a linha será representada apenas pelos primeiro e último ponto. Se algum ponto está à uma distância maior, o ponto mais distante da reta é considerado o último e o algoritmo reinicia calculando as distâncias.

Figura 7.4 Exemplo do algoritmo de Douglas-Poiker. O valor de tolerância é calculado considerando a escala original dos dados. Sabe-se que a precisão dos dados disponíveis em mapas é em torno de 0.2 mm. O valor de 0.4 mm de tolerância para eliminação de pontos permite gerar grades triangulares bem comportadas (procura-se triângulos o mais equiláteros possível). A distância máxima entre pontos da isolinha é definida a

dados e do tempo de geração da grade. Uma vez definida a resolução e consequentemente as coordenadas de cada ponto da grade, pode-se aplicar um dos métodos de interpolação para calcular o valor aproximado da elevação.

Uma malha triangular é conjunto de poliedros cujas faces são triângulos, como ilustrado na Figura 7.6. Os vértices do triângulo são geralmente os pontos amostrados da superfície. Esta modelagem, considerando as arestas dos triângulos, permite que as informações morfológicas importantes, como as descontinuidades representadas por feições lineares de relevo (cristas) e drenagem (vales), sejam consideradas durante a geração da grade triangular, possibilitando assim, modelar a superfície do terreno preservando as feições geomórficas da superfície.

Figura 7.6 Exemplo de malha triangular.

7.5 GERAÇÃO DE GRADES REGULARES

O processo de geração de uma grade regular consiste em estimar os valores de cota de cada ponto da grade a partir do conjunto de amostras de entrada. Quando se faz uso de todas as amostras para interpolar cada ponto da grade diz-se que a interpolação é global. Em geral o conjunto de amostras pode ser muito grande e não homogêneo tornando a interpolação global pouco apropriada em relação ao tempo de processamento computacional e precisão do modelo. Por exemplo, para uma grande quantidade de amostras, fica bastante difícil definir-se uma função polinomial capaz de representar satisfatoriamente todas as variações espaciais do fenômeno em estudo. Assim é muito comum utilizar-se interpolação local para o cálculo de cota de cada elemento da grade. Neste caso, o valor de cota de cada elemento da grade é estimado a partir de uma quantidade preestabelecida de amostras vizinhas mais próximas do elemento.

Um modelo de grade regular retangular pode ser gerado a partir de um conjunto de amostras regularmente espaçadas ou a partir de um conjunto de

amostras irregularmente espaçadas. O processo de geração de uma grade regular retangular a partir de outra grade também regular retangular, objetivando uma melhora na resolução da grade, é conhecido como refinamento da grade e será abordado com mais detalhes a posteriori.

7.5.1 INTERPOLADORES POR MEDIA MÓVEL

A média das cotas das amostras vizinhas, também conhecido como média móvel, é um dos esquemas de interpolação mais simples para estimação dos valores de cota dos pontos de uma grade regular retangular. A formulação geral para este tipo de interpolação é:

=

n

j

ij

j

n

j

ij i w

wz z

1

onde: zi é o valor de cota de um ponto i qualquer da grade, zj é a cota de uma amostra j vizinha do ponto i da grade e wij é um fator de ponderação. A Figura 7.7 ilustra o procedimento de estimação.

Figura 7.7 Ilustração do processo de interpolação por média móvel: (a) configuração original de amostras; (b) grade regular superposta às amostras; (c) interpolação de um valor a partir dos vizinhos; (d) grade regular resultante Variações desse esquema básico são os interpoladores: (a) por vizinho mais próximo; (b) por média simples; (c) por média ponderada; (d) por média ponderada por quadrante; (e) por média ponderada por quadrante e por cota.

Figura 7.8 - Comparação entre interpoladores de média móvel, para o mesmo conjunto de amostras. À direita, vizinho mais próximo; no centro, média simples; à esquerda, inverso do quadrado da distância.

A interpolação por média ponderada por quadrante inclui, além da ponderação, uma escolha das posições relativas das amostras que entram na estimativa do valor de cota da grade. Neste caso a idéia, como apresenta a Figura 7.9, é dividir o espaço de projeção em quadrantes, tendo como referência o ponto da grade e considerando uma quantidade fixa de amostras por quadrante. Assim pode-se utilizar, por exemplo, 1 amostra por quadrante num total de 4, ou então, 2 amostras por quadrante num total de 8, e assim por diante. Esta interpolação garante que a estimativa da cota final do ponto da grade utiliza amostras representativas de cada uma das 4 regiões definidas pelos quadrantes.

Figura 7.9± Seleção de vizinhos por quadrante. O interpolador por média ponderada por quadrante e por cota considera, além da ponderação e dos quadrantes, o valor de cota de cada amostra a ser usada na estimativa do ponto da grade. Alguns dados amostrais, como curvas de nível por exemplo, podem apresentar uma quantidade exagerada de pontos, que tem a mesma cota, para representar uma linha de contorno. O efeito final deste tipo de amostragem pode ser um modelo cheio de patamares centrados nessas curvas. Nesse caso é útil aplicar-se uma filtragem por cotas, uma amostra por cota por exemplo, das amostras que devem ser consideradas na estimativa final da cota de cada ponto da grade. A Figura 7.10 ilustra essa idéia.

Figura 7.10± Seleção de vizinhos por quadrante e por cota.

com ciclos diferentes, semeadas dentro da época recomendada, tivessem todo o seu ciclo avaliado neste estudo. Foram coletados dados de temperatura média diária e precipitação diária de 27 estações meteorológicas monitoradas pela Empresa de Pesquisa Agropecuária e Extensão Rural de Santa Catarina S. A. – Epagri, com uma série histórica de aproximadamente cinco anos, mostrados na Figura 7.11. A partir dos dados diários, foi calculada a média decendial. Esta média das 27 estações foi utilizada no cálculo de superfícies de tendência a partir de uma equação do tipo

t ( x , y )= α 1 x +α 2 y +α 3 z +α 4 (7.6)

onde t(x,y) é a temperatura calculada a partir da longitude ( x ), latitude ( y ) e altitude ( z ). Para o primeiro decêndio (11/10 a 20/10), os resultados estão mostrados na Tabela 3.1. Aa análise dos coeficiente da regressão é mostrada na Tabela 7.1,

Figura 7.11± Distribuição espacial das estações monitoradas pela Epagri. Tabela 7. Coeficientes para Estimativa de Temperatura em Santa Catarina (Decêndio de 11/10 a 20/10) Valor Teste F Teste T p-valor Comentários

Intercepto 9,475 7,169 Significativo

Latitude -0,447 0,169 -2,637 (idem)

Longitude 0,466 0,085 5,488 (idem)

Altitude -0,005 0,000 -16,162 (idem)

R^2 ajustado 0,

Teste de Normalidade dos resíduos 0,925 0,629 Aceito H 0

Como indicado na Tabela 7.1, A relação entre as variáveis independentes com a variável dependente (temperatura média decendial) foi verificada, inicialmente, pelo teste “F” e, depois, pelo teste “t” de Student. Esta análise indicou todos os coeficientes como significativos. A normalidade dos resíduos foi avaliada pelo teste de Keifer-Salmon, e aceita a hipótese.

7.5.3 REFINAMENTO DE GRADE REGULAR

O termo “refinamento” denota o processo de aumento de resolução de uma grade regular. Quando as amostras já estão no formato de grade regular o trabalho de geração de uma nova grade é bastante simplificado pelo fato de existir um relacionamento topológico preestabelecido entre as amostras. A Figura 7.12 esquematiza uma forma de cálculo do valor de cota de um novo ponto, utilizando uma interpolação bilinear. A partir das cotas dos pontos da célula da grade que contem o ponto P, pode-se estimar o novo valor de cota com uma interpolação linear, a partir de um polinômio da forma

z ( x , y )= α o (^) +α 1 x +α 2 y +α 3 xy , (7.7)

que é definido em cada célula e calculado a partir dos seus quatro pontos. O resultado é uma superfície cuja primeira derivada é descontínua; isto implica em transições bruscas entre as células da grade resultante.

Figura 7.12 - Estimação da cota do ponto P com interpolação bilinear. Para obter uma grade refinada com continuidade da primeira derivada (isto é, com bordas suaves) é necessário o uso de uma função de maior ordem, como o interpolador bicúbico:

2 3 23 3 2 32 3 13 3 31 3 03 3 30

2 2 22 2 12 2 21 2 11 02 2 00 10 01 20 x y xy xy xy x y

zxy x y x xy y x y xy xy α α α α α α

α α α α α α α α α

P

não contém, no seu interior, nenhum ponto do conjunto das amostras além dos vértices do triângulo em questão.

Figura 7.10 - Critério do circumcírculo para geração de triangulações de Delaunay: (a) T1 e T2 são triângulos de Delaunay e (b) T1 e T2 não são triângulos de Delaunay

Existem vários métodos de implementação da triangulação de Delaunay. Esses métodos podem ser classificados em dois tipos básicos: algoritmo de passo único e algoritmo de dois passos. Os algoritmos de passo único criam a triangulação de Delaunay num único etapa, aplicando o critério de Delaunay durante a construção da triangulação. Os métodos de dois passos geram uma triangulação inicial qualquer e numa segunda etapa transformam-na numa triangulação de Delaunay.

7.6.2 INCLUSÃO DE RESTRIÇÕES NO MODELO

Na construção de um modelo é muito importante que as características topográficas da superfície sejam preservadas. Assim é interessante que o conjunto de amostras de entrada contenha as linhas características da superfície tais como: linhas divisoras de águas (linhas de máximos) e linhas de drenagem (linhas de mínimos). O estrutura do modelo de grade triangular é mais propícia para a inclusão de linhas características no modelo.

Uma triangulação de Delaunay com restrições é uma triangulação que deve considerar primeiro as características topográficas da superfície e depois o critério do circumcírculo de Delaunay, conforme Felgueiras (1995).

Uma método para se gerar uma triangulação de Delaunay com restrições pode: criar uma triangulação de Delaunay pura e depois transformar essa triangulação considerando as linhas características do

modelo. As figuras abaixo mostram a transformação de dois triângulos de Delaunay, T1 e T2, para triângulos que não são de Delaunay. Na primeira figura a mudança se faz necessária a fim de evitar a criação de patamares, ou seja, triângulos cujos vértices são todos da mesma isolinha. Na segunda a mudança garante a manutenção das características topográficas da superfície.

Figura 7.11 - Evitando problema de criação de patamares: (a) Triangulação de Delaunay e (b) Triangulação com restrição

Figura 7.12 - Transformação da triangulação de Delaunay, de (a) para (b), para manter as características topográficas da superfície

7.7 GRADE RETANGULAR X GRADE TRIANGULAR

7.7.1 GRADE RETANGULAR A PARTIR DE GRADE TRIANGULAR

A partir de um modelo de grade triangular é possível criar-se um modelo de grade retangular. Para isto, inicialmente é necessária a definição dos parâmetros que definem a grade regular, ou seja, referência geográfica, resoluções espacial e tamanho da grade em número de linhas e colunas. A partir dessa definição deve-se calcular o valor de cota de cada elemento da grade. Esse valor é obtido encontrando-se o triângulo que contém o ponto da grade regular. Utilizando-se os valores de cota dos vértices desse triângulo e, opcionalmente, dos vértices de seus triângulos vizinhos pode-se estimar o valor de cota do ponto da grade regular. Essa estimativa pode usar uma interpolação linear ou uma interpolação polinomial de grau maior do que 1. Usando-se apenas os 3 vértices de um triângulo pode-se definir o plano que passa por esses 3 pontos. Dessa forma pode-se estimar o valor de cota de qualquer ponto interno a um triângulo do modelo irregular. Para se ajustar superfícies não lineares para cada triângulo deve-se utilizar os vértices do triângulo e dos seus vizinhos. Quando um ponto da grade regular não está localizado dentro de nenhum triângulo então pode-se marcá-lo como “ sem valor ”. A transformação de um modelo de grade triangular em retangular é útil quando se quer visualizar o modelo em projeção planar a partir de uma grade regular e o único modelo que se dispõe é o de grade triangular. O processo de visualização do MDT em projeção planar fornece um resultado mais realista quando se usa o modelo de grade regular ao invés da grade irregular.

7.7.2 GRADE TRIANGULAR A PARTIR DE GRADE RETANGULAR

Muitas vezes o usuário já tem um modelo de grade regular que foi gerado anteriormente ou importado de outro sistema. A partir desse modelo de grade regular, pode-se aplicar um método de redução de amostras sobre a grade criando-se um conjunto de amostras irregularmente espaçadas. Essas amostras são então utilizadas na geração do modelo de grade triangular. A transformação de grade retangular para grade triangular pode ser necessário caso existam algoritmos de análise no SIG que só trabalham sobre grades triangulares. Um exemplo típico acontece quando o SIG só consegue extrair linhas de contornos de grades triangulares.

7.7.3 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS DE GRADE

A tabela abaixo apresenta as principais diferenças entre os modelos

de grade retangular e de grade irregular triangular.

Grade Regular Retangular Grade Irregular Triangular

Apresenta regularidade na distribuição espacial dos vértices das células do modelo

Não apresenta regularidade na distribuição espacial dos vértices das células do modelo

Os vértices dos retângulos são estimados a partir das amostras

Os vértices dos triângulos pertencem ao conjunto amostral

Apresenta problemas para representar superfícies com variações locais acentuadas

Representa melhor superfícies não homogêneas com variações locais acentuadas

Estrutura de dados mais simples Estrutura de dados mais complexa

Relações topológicas entre os retângulos são explicitas

É necessário identificar e armazenar as relações topológicas entre os triângulos

Mais utilizado em aplicações qualitativas e para análises multiníveis no formato “raster”

Mais utilizado em aplicações quantitativas.

Tabela 7.1 - Comparação entre os modelos de grade retangular e

triangular.