Baixe Calculo da Constante Elástica de Molas Espirais por Meio do Peso Próprio e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Cada um dos anéis de uma mola espiral de encadernação é tratado como uma mola ideal, sem massa, associada a uma massa puntifor- me. Com o auxílio da lei de Hooke é obtida uma expressão que permite o cálculo da constante elástica da mola a partir do seu comprimento na posição horizontal, de seu comprimento quando suspensa por uma das extremidades na posição vertical, e de seu peso. Os resultados experimentais, baseados nesta modelagem, diferem dos obtidos pela forma tradicional (suspendendo massas na extremidade inferior da mola) por menos de 2%. No contexto da sala de aula, esta atividade de baixo custo pode promover um maior envolvimento dos alunos com o assunto estudado, além de permitir uma bela associação entre uma lei física (a Lei de Hooke), aplicações simples da matemática e atividades exploratórias experimentais.
L
ima et al. [1] sugerem uma variante do clássico experimento para a determinação da constante elástica de uma mola usando molas espirais de encadernação, de diâmetros idênticos, po- rém cortadas em comprimentos diferen- tes. Um estudante, ao executar o expe- rimento sugerido, observou que tudo se passava como se fosse determinada a constante elástica de cada anel individual- mente, associando-se depois um certo nú- mero destes anéis em série. Tal observação nos levou a desenvolver uma expressão que permite o cálculo da constante elástica de tais molas, distendidas apenas pela ação do próprio peso. Os resultados experimen- tais obtidos para duas molas de diâmetros diferentes mostram que a constante elás- tica calculada de forma convencional dife- re daquela obtida pelo modelo aqui desen- volvido por menos de 2%. As ferramentas matemáticas empregadas são simples, o que torna esta atividade adequada para o uso já a partir da física do nível médio.
Modelando a mola
O modelo é bastante simples: cada anel da mola é imaginado como a junção de um disco fino de massa m , munido de uma mola
sem massa e de constante k *, conforme a Fig. 1. A “mola” assim construída tem N discos e massa total M = N × m. Os anéis da mola, quando suspendida na vertical, apresentarão deformações cada vez menores, quando observados de cima para baixo. Isto se deve ao fato de que o primeiro anel é distendido pela ação da força peso dos outros N - 1 anéis abaixo dele; o segundo é distendido pela força peso dos N - 2 anéis abaixo dele, e assim sucessivamente, até o último anel. Qual a relação entre a constante k da mola e a constante k * de cada um dos N anéis? Consoante o modelo explicitado acima, a mola pode ser considerada como uma associação de N anéis idênticos, ou N molas, cada uma delas com constante k * e massa M. Sabe-se que a constante da mola, nestas condições [2] é dada por
. (^) (1)
Sabe-se também que a elongação do penúltimo anel, sob a ação do último, é dada, em módulo, por:
mg = k × Δ x, (2) expressão que nada mais é do que a mani-
Francisco Catelli Departamento de Física, Universidade de Caxias do Sul, Caxias do Sul, RS, Brasil. E-mail: [email protected]
Alex Paulo Koltz Escola de Ensino Médio do Centro Tecnológico da Universidade de Caxias do Sul, Caxias do Sul, RS, Brasil
Figura 1. Cada anel da mola real é imaginado como sendo constituído de um disco fino, de massa m , justaposto a uma pequena mola ideal, de massa desprezível e de constante k *. A massa total da mola ( M ) será então igual a N × m , onde N é o número total de anéis.
34 Constante elástica de uma mola submetida ao próprio peso Física na Escola, v. 9, n. 1, 2008
festação direta da Lei de Hooke para um único anel. A elongação total da mola, quando submetida exclusivamente à ação de seu próprio peso, será então
Δ x + 2Δ x + 3Δ x + ... + N Δ x =
= Δ L.
Por outro lado 1
o que leva a
. (^) (3)
Substituindo as Eqs. (1) e (3) na Eq. (2) e simplificando, chega-se a
. (^) (4)
Note que a expressão (4) reduz-se à forma usual da lei de Hooke (Eq. (2)) quando N é igual a 1. Entretanto, a “mola elementar”, tal como definida acima, não precisa ser equi- valente a um anel, ela poderia equivaler a meio anel, ou qualquer fração deste. Desta forma, para um número N arbitraria- mente grande de molas elementares, o termo ( N + 1)/ N tende a 1
. (^) (5)
Esta expressão mostra como calcular, a partir deste modelo simples, a constante elástica k da mola quando esta deforma exclusivamente sob a ação do próprio pe- so. Basta para isto conhecer a massa M
da mola e a elongação Δ L a que esta é sub- metida e a aceleração da gravidade, g.
Teste experimental do modelo A Eq. (5) é de fato bastante simples. Mas ela é corroborada pelo teste experi- mental? No caso de a resposta ser afir- mativa, em quais condições? Para obter respostas a estas indagações, foi desen- volvido um pequeno projeto de investi- gação. Este consistiu basicamente na obtenção experimental da constante elás- tica k da mola através do método direto, ou seja, pendurando massas gradualmen- te maiores na mola e medindo a elongação correspondente. Um gráfico da força vs. elongação permite determinar se o com- portamento da mola sob tensões crescen- tes é linear, pelo menos dentro do intervalo estudado. No caso de o requisito da linea- ridade ser satisfeito, a constante elástica da mola pode ser calculada e comparada com o valor obtido através da Eq. (5). Se estes dois valores forem iguais, dentro do erro experimental, o modelo estará então validado. Os testes foram realizados com molas de espirais de encadernação, bastante co- muns em centros de fotocópia. Foram tes- tadas duas molas, com diâmetros diferen- tes (ver Fig. 3 e demais características de cada mola na Tabela 1).
Medida direta das constantes elásticas das molas por meio da lei de Hooke A medida direta da constante elástica
das molas foi efetuada suspendendo mas- sas de 2 gramas e medindo a elongação através de um sensor de rotação (PASCO CI 6538, com polia de 50 mm de diâme- tro), ajustado para a medida de desloca- mentos, e uma polia de baixo atrito (ver Fig. 4). Para minimizar os efeitos de escor- regamento do fio de tração em relação à polia, foi empregada uma técnica de mon- tagem com duas polias, a qual pode ser visualizada na foto e no desenho da Fig. 4. Esta montagem tem a vantagem adicional de sempre manter a carga sobre a mola ao longo de sua direção axial. A resolução do sensor de rotação é de (π × 50 mm)/ 1440 = 0,101 mm. Entretanto, no cálculo da incerteza na medida das elongações das molas foi tomado o valor de ±1 mm, ten- do em vista que o sistema nem sempre retornava exatamente à posição original uma vez retirada a carga. Esta diferença para a posição original se revelou menor que ±1 mm em pelo menos duas dezenas de ciclos de carga-descarga das duas mo- las. O valor para a aceleração da gravidade foi tomado como sendo igual a (9,78 ± 0,01) m/s², tendo em vista a latitude e a altura em relação ao nível do mar do local onde foram realizadas as medições. Os resultados podem ser visualizados no gráfico da Fig. 5; as constantes elás- ticas, obtidas através de ajuste pelo méto- do dos mínimos quadrados dos dados experimentais da Tabela 2 aparecem na segunda coluna da Tabela 3. Levando em conta que se trata de molas de certo modo
Tabela 1. Características das molas estudadas: número de anéis, comprimento inicial L 0 (medido com a mola não tensionada, na posição horizontal), diâmetro (Φm) dos anéis da mola, diâmetro (Φf) do fio, e massa total ( M ) da mola.
N. anéis L o (±0,5 cm) Φm (mm) Φf (mm) M (±0,02 g) Mola 1 57,5 42 56,22 2,90 84, Mola 2 59 32 36,8 2,2 33,
Figura 2. As molas inferiores do modelo (esquerda) apresentam elongações meno- res que as superiores; o mesmo ocorre com uma mola “real”, neste caso, uma mola espiral de encadernação (direita).
Figura 3. Foto das molas empregadas nos ensaios descritos a seguir. Pequenos anéis confeccionados com fio de cobre bastante fino foram adicionados às duas extremidades das molas, de modo a fazer com que as cargas tivessem sempre a direção do eixo destas.
Referências [1] Fábio Menezes de Souza Lima, Gustavo Mulin Venceslau e Eliana dos Reis Nunes, The Physics Teacher 40 404040 40, 35 (2002). [2] R. Resnick, David Halliday and Robert Krane, Physics (Willey, Nova Iorque, 1992), v. 1, 4ª ed, p. 336.
o professor não disponha de tempo para detalhar o aspecto da propagação das incertezas (o que seria deveras interessan- te, mas nem sempre há tempo disponível para isso), os resultados obtidos pelo mé- todo tradicional e pela Eq. (5) são convin- centemente próximos, o que aponta na direção da validade do modelo. Envolvimento dos alunos: pode ser bastante intenso. Por exemplo, enquanto alguns grupos de alunos medem a cons- tante elástica através da lei de Hooke, ou- tros grupos podem fazer o mesmo por meio da Eq. (5). A confrontação dos resul- tados poderá se dar logo a seguir, ocasião em que novas possibilidades de investi- gação podem ser dis- cutidas. Por outro la- do, o envolvimento pode ser ainda maior a partir da possibili- dade de desenvolvi- mento de investiga- ções paralelas. Per- guntas muito curio- sas podem ser avalia- das. Por exemplo, ao cortar alguns anéis de uma mola, ela fica “mais dura” ou “mais macia”? Molas feitas com o mesmo fio e com o mesmo número de anéis, porém de diâmetros diferentes, possuem a mesma constante elástica? Todas as molas têm sempre um comportamento linear? E assim por diante. O custo do material: é muito baixo.
Cada mola custa por volta de R$ 1,00. Os outros ma- teriais adicionais também podem ser de baixo custo, pois apesar de ter sido usa- da neste trabalho a aquisi- ção de dados por computa- dor, isto não significa que ela seja indispensável, ao contrário. Nossa intenção com a aquisição de dados por computador foi a de chegar a incertezas as me- nores possíveis na deter- minação das constantes elásticas das molas, e assim validar de forma convin- cente o modelo. Entretanto, as elongações provocadas pela adição sucessiva de massas às molas poderão ser medidas com trenas ou réguas, com resultados bastante satisfatórios. Uma “dica” adicional: as massas podem ser improvisadas facilmente. Meça a massa de aproximadamente um metro de fio de cobre rígido, destes usados em instalações elétricas, bem como seu comprimento, o mais exatamente possível. Não é neces- sário retirar o isolamento elétrico. Um cálculo simples permitirá saber qual o comprimento de fio para o qual a massa será de - digamos - 2 gramas. A partir daí, basta cortar cuidadosamente vários pedaços de fio, todos com este compri- mento. Estes, dobrados em forma de “S”, são facilmente pendurados à mola, e uns aos outros. Os dados obtidos neste trabalho foram produzidos com massas produzi- das desta maneira, e aferidas posteriormen- te em uma balança digital. Finalmente, esta forma de trabalho, que alia pequenas doses de formalismo e inves- tigação em laborató- rio, pode ser bastante motivadora. Os alunos acabam por se sen- tir essenciais para o sucesso das inves- tigações. Algumas perguntas são brilhan- temente respondidas, pelos alunos e (ou) pelo professor, outras o são apenas em parte, e para um terceiro grupo de per- guntas, talvez não haja nenhuma respos-
Figura 5. Força vs. elongação para as duas espirais de en- cadernação mostradas na Fig. 3. A mola 1 (ver também a Tabela 3) corresponde à linha de menor inclinação (círculos azuis); a mola 2 corresponde aos círculos brancos.
ta, pelo menos ao longo da investigação. Tudo isso educa muito os alunos (e o pro- fessor também) e poderá servir de motiva- ção para algumas brilhantes carreiras na área das ciências exatas. Todo o professor se sentirá realizado e orgulhoso de sua missão quando isto acontecer.
Notas (^1) Nossa maneira predileta de “mos- trar” aos estudantes como esta expressão se justifica é explanada assim: por exem- plo, a soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5) pode ser representada por quadrados, a primeira linha com um quadrado, a segunda com dois, etc.:
Agora, “ajuste” uma segunda coleção idêntica de quadrados, invertida, de modo a formar um retângulo. Para melhor visualização, a segunda coleção é repre- sentada por quadrados azuis. Assim, o número de quadrados total será igual à “base” deste retângulo, (5 + 1, ou N + 1), vezes sua “altura” (5, ou N ); o número de quadrados brancos corresponderá à metade: , ou, generica-
mente,. (Para quem
gosta de história da matemática, é interes- sante verificar como Gauss chegou a esta expressão, em sala de aula, ainda quando jovem). (^2) Para fazer com que o comprimento inicial das molas na posição horizontal não fosse afetado pelo fato de elas não serem perfeitamente lineares, estas foram colocadas sobre duas barras paralelas, como pode ser visto na Fig. 3.
A dinâmica do experimento pode gerar grande envolvimento dos alunos: enquanto alguns medem a constante elástica através da lei de Hooke, outros podem fazer o mesmo teoricamente. A confrontação dos resultados poderá se dar logo a seguir, ocasião em que novas possibilidades de investigação podem ser discutidas
