Movimento Retilíneo e Circular: Velocidade, Aceleração e Trajetória, Provas de Física

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Cinemática

Trajetória : É o lugar geométrico dos pontos sucessivamente ocupados por

uma partícula durante o seu movimento.

No caso do movimento retilíneo a direção do vetor é constante e

coincide com a trajetória (reta).

Neste movimento, por ser constante a direção do vetor, os problemas

podem ser resolvidos através de grandezas escalares, atribuindo um

sinal positivo ou negativo ao módulo do vetor conforme a distância da

partícula ao ponto de referência- aumenta ou diminui com o tempo.

Velocidade: É um vetor, tangente à trajetória em cada ponto, orientado

no sentido do movimento, cujo modulo é a variação do espaço percorrido

por unidade de tempo.

1. Movimento retilíneo

dt

dx

t

x

v lim

t 0

D

D

D

Velocidade instantânea é a velocidade que o carro (partícula) tem

em cada instante.

É fácil perceber que no percurso de uma viatura num circuito urbano a

velocidade varia muito ao longo do tempo, dado que há períodos de

paragem em que a velocidade é nula, seguindo-se períodos em que o

carro vai aumentando gradualmente de velocidade e depois perdendo

velocidade até parar de novo. Nos vários pontos do percurso o carro terá

diferentes velocidades instantâneas e no final do percurso se dividir o

espaço percorrido pelo tempo que demorou o percurso, obtém-se a

velocidade média.

Aceleração média de uma partícula que se move de P 1 para P 2 em

movimento retilíneo é um vetor que tem a seguinte componente segundo

o eixo Ox

A aceleração instantânea será então:

𝑎 = lim ∆´𝑡→ 0

No gráfico t-x (tempo vs. espaço) representa-se o movimento retilíneo de uma

partícula em que a velocidade varia ao longo do tempo

Movimento retilíneo uniforme : caracteriza-se pela

constância da velocidade instantânea

v x x vt

dt

dx v  const .    0 

Movimento retilíneo uniformemente variado :

caracteriza-se pela constância da aceleração

a v v at

dt

dv a  const      0

.

2 0 0 0 2

1 v a t x x v t at

dt

dx v        

é o espaço inicial, porque quando t=0 tem-se:

A equação que traduz a variação do espaço com o tempo obtém-

se integrando a expressão anterior:

𝑣𝑜 É a velocidade inicial (no instante t=0)

Nalguns problemas poderá interessar utilizar uma equação onde não

esteja explicitamente o tempo, mas em que a posição do ponto pode ser

calculada conhecendo a sua velocidade e aceleração

Da equação da velocidade

v  v  at 0

tira-se que:

t=

𝑣−𝑣𝑜

𝑎

Substituindo na equação dos espaços fica::

Uma moeda é largada na origem do eixo Oy. À medida que

o movimento se desenvolve a moeda vai caminhando no

sentido negativo daquele eixo.

a) a variação dos espaços tem sinal negativo => v<

b) a variação da velocidade tem sinal negativo => a<

c) A velocidade inicial é negativa se for dado um impulso

para baixo

2 0 0 2

1 v v at e y y v t at o

    

2 0 0

2 0 0

0

2

1

2

1 y y v t gt y y v t gt

a g v v gt

      

   

serão agora escritas:

As equações do movimento

Muitas vezes considera-se uma variável h^ ^ y 0  y

2 0 0 2

1 v  v  gt e h  v t  gt

QUEDA LIVRE DE UM CORPO LANÇADO NO ESPAÇO

Quando se faz a mudança de variáveis a velocidade e também a velocidade

inicial passam a ser positivas quando são dirigidas para baixo que é o sentido em

que o valor da variável h aumenta

Explicitando t na 2ª equação e combinando depois com a 1ª fica sucessivamente:

Considerando agora a velocidade inicial nula , as equações anteriores

simplificam-se

2

2

1 v  gt e h  gt

v  2 gh

Fórmula de Torricelli que fornece diretamente a

velocidade com que um corpo chega ao solo, largado,

sem velocidade inicial, de uma altura h.

g

v h 2

2



Ou, explicitando h

g

h v g

g

h t

g

h t

2 2 2 2     

2. Aceleração

t

v a t (^) D

D  D

 

0

lim

t

v am D

D 

 

MOVIMENTO PLANO

Este movimento acontece num plano e pode ser estudado apenas com

duas dimensões, utilizando um sistema de referência Oxy. Neste caso é

fácil mostrar que o vetor velocidade é tangente à trajetória em cada ponto

Os vetores de posição são os

vetores complanares r 1 (^) er 2

 

r r 2 r 1

   D   tem a direção da

secante à curva.

t

r vm D

D 

 

t

r v t (^) D

D

D

0

Quando se calcula a velocidade instantânea lim os pontos tendem

aproximar-se e a secante tende para a tangente.

Nos movimentos não retilíneos é usual utilizar a variável s para o espaço e não

as variáveis x ou y como se fez anteriormente, dado que o movimento não se

faz na direção de um eixo coordenado.

O ponto encontra-se em A no instante t-Dt/2 com velocidade e em B no

instante t+Dt/2, com velocidade.

Se a velocidade for uniforme os dois vetores têm o mesmo módulo, v. A

variação do vetor velocidade pode ser calculada graficamente colocando os

dois vetores com origem no ponto médio P.

1

v

Adaptado de: http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/cinematica/circular3/circular3.htm

(o vector velocidade embora tenha o mesmo módulo muda de direção e sentido)

O vetor aceleração t

v a t (^) D

D  D

 

0

lim não é nulo porque agora D v ^0



Para deduzir a expressão da aceleração, considere uma partícula que

se desloca no sentido AB com velocidade v numa circunferência de

raio r.

2

v

 v 1

D v

f  2 

v

r t v

s t

D 

D D 

2

2

( ) 2 ( )

2 sen

r

v

v

r

v sen

t

v a

n média    

   D

D 

O ângulo ao centro descrito no intervalo de tempo Dt é:

O espaço percorrido pelo corpo no mesmo intervalo de tempo:

O intervalo de tempo Dt pode ser expresso em função da velocidade

A intensidade do vetor aceleração média que traduz a variação da velocidade

no intervalo de tempo Dt, pode escrever-se:

D s  r f  2  r 

Como o triângulo é isósceles, porque os módulos são iguais, tem-se:

a v v at dt

dv a (^) t  const   t   0  t

No movimento circular uniformemente variado existe, em cada ponto da

curva, uma componente normal da aceleração devido à curvatura. Há

também uma componente tangencial que é constante e que se define

como a variação da velocidade linear com o tempo.

2

2

1 s s v t at o o t

  

A equação dos espaços deduz-se de forma idêntica à do movimento retilíneo

e fica:

O vetor aceleração calcula-se com o a soma das

suas duas componentes:

a at a n t n

    

b) MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

2 2

t n

a  a  a

A figura mostra dois projéteis com diferentes movimentos no

eixo Ox, mas idênticos movimentos no eixo Oy; um corresponde

ao movimento de uma bola largada no espaço sem velocidade

inicial e o outro de uma bola lançada na horizontal com

velocidade inicial v0.

Em ambos os movimentos as bolas caem verticalmente à mesma

distância em intervalos de tempo iguais. Esta observação permite-

nos concluir que, no 2º movimento, a posição P(x,y) da bola num

instante t, pode ser determinada calculando separadamente as

suas coordenadas.

x  x 0  v 0 xt

2 0 0

y  y  v y t  gt

No caso presente a velocidade inicial do movimento

vertical é nula e o ponto parte da origem dos eixos, fica:

2

y  gt

v (^) y  v 0 y  gt

x  v 0 xt

a) Movimento segundo Ox (uniforme)

b) Movimento segundo Oy (uniformemente acelerado)

vy  gt

v (^) x  v 0 x

2. MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL