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N ´UMEROS PRIMOS
O conhecimento dos números primos e da decomposição dos números inteiros como produto de primos estão entre os conhecimentos mais úteis e importantes da Aritmética. K. F. Gauss – Estudos de Aritmética , c. 1800
1).– Conceito de número primo 2).– Primos e "talvez primos" famosos 3).– Importância dos números primos 4).– Resultados de uso frequente 5).– Como verificar se um número dado é primo 6).– Decomposição em fatores primos 7).– Exercicios e problemas
1).– Conceito de n ´ 1).– Conceito de n ´umero primoumero primo
Nestas notas, trataremos da ideia de número primo apenas no contexto dos números inteiros naturais 0 , 1 , 2 , 3 ,... (note que o zero é número natural). Em cursos universitários essa ideia é estendida para números inteiros de sinal qualquer, para polinômios, e até mesmo para outros objetos matemáticos.
Os números primos são os números naturais com exatamente dois divisores.
Número divisores quantidade de divisores
primo?
, 1, 2, 3, 4,... infinitos não 1 1 1 não
2 1, 2 2 sim 3 1, 3 2 sim 4 1, 2, 4 3 não
5 1, 5 2 sim 6 1, 2, 3, 6 4 não
Note que n ser primo não é o mesmo que ter apenas n e 1 como divisores. Com efeito, se assim fosse, como n=1 tem apenas n e 1 como divisores (neste caso, iguais), concluiríamos errôneamente que n= é primo. A definição correta de número primo proibe que 1 seja primo, pois ele tem apenas um divisor! Adiante veremos a razão de a definição ter sido feita de modo a proibir 1 ser primo.
4 0 não é primo, pois tem infinitos divisores;
4 1 não é primo, pois tem apenas um divisor: só ele;
4 2 é primo; ele é o menor primo e o único primo que é número par;
4 reciprocamente, o fato de um número ser ímpar não garante que ele seja primo; com efeito,
como 9 tem três divisores (1, 3 e 9), segue que 9 não é primo.
Teorema – (uma caracterização dos não primos) Os inteiros naturais que não são primos são os seguintes:
- o número 0
- o número 1
- e os números naturais n 2 que têm fatoração não trivial ; ou seja, que podem ser fatorados como n = a × b, onde tanto a como b são distintos de n e 1.
Prova: No terceiro caso, basta mostrar que um tal n tem no mínimo 3 divisores. Sabemos que a e b são divisores, mas não podemos afirmar que eles são distintos, de modo que precisamos achar mais outros dois. Ora, 1 e n são esses outros dois, pois n 6 = 1 e tanto a como b são 6 = 1, n.
Teorema – (uma caracterização dos primos) Os números primos são os inteiros naturais n 2 que só admitem a fatoração trivial n = 1 × n.
É importante notar que esse teorema ficaria falso se incluísse o caso n = 1, pois 1 = 1 × 1 é a única maneira de fatorarmos 1 usando dois fatores inteiros naturais.
Um conceito associado Os números naturais n 2 que têm fatoração não trivial são denominados números compostos.
Pelo primeiro teorema acima, o conjunto dos números naturais que não são primos é o conjunto formado do 0, 1 e dos números compostos. Dizendo isso de outro modo:
o conjunto de todos os números inteiros naturais é o conjunto formado pelo número 0, o número 1, os números compostos e os números primos.
4 a lista dos primos inicia com: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc.
4 a lista dos compostos inicia com: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, etc.
4 0 e 1 não são primos e nem compostos.
Cuidado: "não primo" 6 = "composto". Também observe que existem compostos ímpares.
(Recomendamos evitar o uso da expresão composto, pois há confusão nos livros. Obviamente, a fonte dessa confusão está no fato de 0 e 1 serem números naturais, e não serem nem primos e nem compostos. Alguns autores não consideram zero como número natural, mas mesmo assim eles precisam estar sempre lembrando que 1 não é primo e nem composto.)
4 Números perfeitos:
número perfeito é todo natural da forma "um + (a soma de todos seus divisores primos )". Exemplo: 6 é perfeito, pois 6 = 1 + 2 + 3; por outro lado, 4 6 = 1+2 não é perfeito. De 3 6 = 1 + 3, 5 6 = 1 + 5, 7 6 = 1 + 7, 9 6 = 1 + 3, etc., sai a conjectura ainda sem decisão que “nenhum ímpar seria perfeito”.
4 Números de gêmeos:
Números gêmeos são quaisquer dois primos da forma p , p + 2. Exemplos de primos gêmeos: 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13; note que 7 e 9 não são gêmeos, pois 9 nem é primo. É uma conjectura que “existem infinitos primos gêmeos”.
3).- Import ˆ 3).- Import ˆancia dos n ´ancia dos n ´umeros primosumeros primos
A ideia de número primo é das mais simples, mas também das mais ricas em resultados e aplicações tanto na própria Matemática como nas Ciências e Tecnologia. A principal razão de sua enorme importância reside no fato de que eles funcionam como “tijolos” com os quais podemos construir, por meio de multiplicação, qualquer outro número natural (exceto os casos triviais n=0 e n=1). Quem nos garante isso é o Teorema Fundamental da Aritmética , que adiante estudaremos.
Outra razão da importância dos números primos está na enorme quantidade de problemas difíceis que facilmente podemos formular com eles. Por exemplo, um fato que prontamente nos chama a atenção é a irregularidade da distribuição desses números. Para ter uma ideia, observe a figura abaixo que mostra todos os primos entre 2 e 100.
Conforme sugere a figura, a medida que vão crescendo, os primos tornam-se cada vez mais raros. A partir de Gauss, muitos matemáticos tentaram caracterizar a raridade e o espaçamento dos primos. Se conseguiu demonstrar que, para para qualquer comprimento que se possa imaginar, existe um intervalo com tal comprimento e no qual não existe nenhum número primo!
Por outro lado, observe que a figura acima mostra vários primos cuja diferença vale 2, por exemplo: 5-3=2, 7-5=2, 13-11=2, 19-17=2, etc.; esses são pares de números gêmeos. Isso nos sugere um outro problema: quantos são os pares de primos gêmeos? Pois bem, apesar de esse ser um problema de simples formulação, ainda se desconhece sua resposta. Usando recursos computacionais poderosos, já se verificou que de 2 a 1 000 000 000 000 000 há 1 177 209 242 304 pares de gêmeos, e se conjectura que existam infinitos deles.
Ainda nessa linha de pensamento, observe a sequência 3, 13, 23: todos são primos e têm diferença sucessiva igual a 10. Sequências (possivelmente finitas) com diferenças sucessivas iguais, como essa, são ditas progressões aritméticas de primos. Só em 2004 se conseguiu mostrar que existem infinitas progressões de números primos. O autor da proeza foi o matemático Terence Tao (foto ao lado); ele ganhou a Medalha Fields (o “Prêmio Nobel” na Matemática) não apenas por ter resolvido esse problema, como porque as técnicas que introduziu para resolvê-lo têm se mostrado de grande utilidade em outros problemas.
Mesmo um problema matemático de formulação bem simples e elementar pode requerer a introdução de métodos avançados e de grande utilidade em outras áreas da Matemática. É exatamente isso que faz a grandeza de um problema.
4).- Resultados auxiliares de uso frequente 4).- Resultados auxiliares de uso frequente
Lema – a). Se 1 … a … b … n verificam n = a · b, então a … p n … b. b). Se n 2 não for primo, então existem a e b tais que n = a · b e 2 … a … p n … b < n. Prova. a). Como 1 … a … b , temos apenas as seguintes possibilidades para o valor de
p n : ou a … b <
p n , ou p n < a … b , ou a … p n … b. Se demonstrarmos que as duas primeiras possibilidades não podem ocorrer, obrigatoriamente terá de valer a terceira. Essa demonstração será feita por contradição.
- Se valesse a … b < p n , teríamos n = ab … bb < p n p n = n , ou seja: teríamos n < n , um absurdo.
- Se valesse
p n < a … b , também teríamos um absurdo: n =
p n
p n < a
p n … ab = n.
b). É uma consequência do item anterior.
Teorema 1 – Para cada número natural n 2 , é verdade que
- n tem ao menos um divisor primo;
- e se o próprio n NÃO for primo, podemos garantir mais: ele tem um divisor primo p verificando p …
p n.
Prova. a). Se o próprio n for primo, o tal divisor é n mesmo; se n não for primo, a definição de primo nos garante que n tem um divisor entre 1 e n ; seja p o menor deles. Afirmo que tal p é o divisor procurado, pois é divisor de n e é primo. Comprovo que p é primo por contradição. Com efeito, se p não fosse primo, ele teria um divisor d verificando 1 < d < p , de modo que tal d seria um divisor de n (por quê?) e menor do que o menor deles: um absurdo! b). Para um tal n , vale o item (b) do Lema e, pela primeira parte do presente teorema, podemos escolher um divisor primo, p , para o a do Lema; este divisor verifica p …
p n.
6).– Decomposic6).– Decomposic¸ ˜¸ ˜ao ou fatoracao ou fatorac¸ ˜¸ ˜ao em fatores primosao em fatores primos
Teorema Fundamental da Aritmética Para cada número natural n 2 , temos duas alternativas:
_- ou n é primo;
- ou n pode ser escrito como o produto de primos_ (essa escritura pode ser feita de uma única maneira, exceto pela ordem de fatores). Abreviamos isso dizendo que todo número natural n 2 pode ser decomposto ( fatorado) como um produto de primos (possivelmente repetidos e possivelmente com um único fator), e essa decomposição é única, a menos da escolha da ordem dos fatores.
A escritura de um número natural n como um produto de primos é denominada "fatoração em primos de n"ou "decomposição em primos de n" , e expressões parecidas. Exemplos de decomposição em fatores primos:
6 = 2 × 3, 12 = 2 × 2 × 3, 24 = 2 × 2 × 2 × 3, 77 = 7 × 11, 3 = 3 (uma fatoração imprópria ou trivial).
Observação importante: se a definição de primo permitisse considerar um como primo perderíamos a unicidade. Por exemplo: 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3 = etc.
Prova do Teorema Fundamental.
- Existência da fatoração – Basta um exemplo numérico para percebermos a essência do argumento. Seja um não primo, 154, e mostremos que ele é o produto de primos. Como 154 não é primo, ele tem um menor divisor primo (vide Teorema 1), no caso: 2. Podemos fatorar: 154 = 2 x 77. Se 77 fosse primo, teríamos achado a fatoração em primos; como não o é, tomemos o menor divisor primo dele: é 7, de modo que 77 = 7 x 11 e daí 154 = 2 x 7 x 11. Esta é uma fatoração em primos de 154. (Se o último quociente que apareceu, o 11, não fosse primo buscaríamos seu menor divisor primo, e assim por diante; note, e isto é importante, que os quocientes sucessivos (no caso, 77 e 11) vão diminuindo, de modo que o processo sempre acaba parando num último fator primo , qualquer que seja o n que tenhamos considerado).
- Unicidade da fatoração – para não nos alongarmos demasiadamente, apesar de sua importância, omitiremos a prova da unicidade, pois é mais difícil.
Procedimento prático para decompor em primos – Para fatorar em primos um número natural:
- dividimos esse número por seu menor divisor primo;
- fazemos o mesmo com o quociente da divisão acima;
- continuamos até obter um quociente igual à unidade.
Exemplos – Seja achar a fatoração em primos de 12. Temos 12 = 2 x 6; 6 = 2 x 3, logo 12 = 2 x 2 x 3; 3 = 3 x 1, logo a resposta é 12 = 2 x 2 x 3. Seja achar a fatoração em primos de 252. Temos, sucessivamente: 252 = 2 x 126, 126 = 2 x 63, 63 = 3 x 21, 21 = 3 x 7, 7 = 7 x 1, de modo que a decomposição em primos procurada é:
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 22 × 32 × 7.
Dificuldades computacionais – Já observamos que é muito laborioso decidir a primalidade de números grandes. Mais traba- lhoso ainda é fatorar números grandes. Essa dificuldade é explorada pelos modernos siste- mas criptográficos usados em comunicações militares, diplomáticas, bancárias, celulares, etc. Supercomputadores e algoritmos matemáticos cada vez mais sofisticados são usados para se obter tais fatorações, pois com elas pode-se descobrir as chaves desses sistemas. Nesse sen- tido, são famosos os desafios RSA. Em 2012, Shi Bai e associados “venceram” o RSA-704, que consistiu em fatorar o seguinte número que pode ser escrito com 704 algarismos binários: 740375634795617128280467960974295731425931888892312890849362326389727650340282662768919 964196251178439958943305021275853701189680982867331732731089309005525051168770632990723
- Restam outros desafios, o maior deles é fatorar RSA- 2048, um número com 617 dígitos (ou 2048 binários); mais detalhes na Wikipedia – RSA Numbers.
Notação importante – Usaremos a notação fat ( n ) para denotar a fatoração em primos de um número natural n dado. Essa notação não traz ambiguidade, justamente porque n tem exatamente uma fatoração em primos (exceto pela ordem com que escrevemos os fatores). Assim, por exemplo: fat (252) = 22 × 32 × 7, fat (10) = 2 × 5, fat (1078) = 2 × 72 × 11.
Consequência muito útil dessa notação – Como ab = fat(a) x fat(b), temos que
fat ( a × b ) = fat ( a ) × fat ( b )
(Observe que mostrar que essa fórmula está correta não é imediato! Ela é uma consequência da unicidade garantida pelo Teorema Fundamental. Com efeito, como fat ( a ) × fat ( b ) certamente é "uma" fatoração em primos de a × b , pela unicidade da fatoração segue que essa fatoração tem de ser "a" fatoração em primos de a × b .)
Exemplificando, tomando a = 135, que tem fat (135) = 33 × 5, temos que fat (135^2 ) = fat (135 × 135) = fat (135) × fat (135) = (3^3 × 5)^2 = 36 × 52.
4 Decidimos a primalidade de um n 2 testando sua divisibilidade pelos primos …
p n.
4 TFAritm.: todo n 2 pode ser escrito, e de modo único, como o produto de um ou
mais primos de valor crescente.
Para guardar!
