Noções Básicas de Matemática, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

Baixe Noções Básicas de Matemática e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity! Noções Básicas de Matemática Iº Grupo: Operações Matemáticas Em matemática são conhecidas quatro operações matemáticas: Adição: é a operação aritmética que tem por fim reunir num só número dois ou mais da mesma espécie, chamados parcelas; Subtracção: é a operação aritmética que tem por fim, sendo dados dois números, saber quanto falta ao menor (subtractivo) para ser igual ao maior (aditivo); diminuição; Multiplicação: é a operação aritmética que consiste em repetir um número chamado multiplicando tantas vezes quantas são as unidades de outro número chamado multiplicador, para achar um terceiro número, que representa o produto dos dois; Multiplicação de números naturais Dados dois números naturais a e b, a multiplicação de a por b é a operação que consiste no cálculo da soma de tantas parcelas iguais ao número a quantas as unidades de b; Divisão: operação aritmética pela qual conhecemos quantas vezes uma quantidade está contida noutra; Os resultados de cada operação possuem um nome: Operação Nome do resultado Adição Soma Subtracção Diferença ou Resto Multiplicação Produto Divisão Quociente OBS: para se ter bom domínio das operações matemáticas é preciso: ler, compreender e efectua-las. IIº Grupo: Constituição de um coeficiente (número) ou de uma variável a) Constituição Coeficiente Coeficiente: cada um de dois factores considerados num monómio, a uma ou mais variáveis O coeficiente esta constituído por: ------ Um número; (que independentemente dos casos pode ser considerado como numerador ou como base); ------ Um expoente subentendido 1; (utilizado nos casos de Potência); ------ Um denominador subentendido 1; (utilizado nos casos de Fracção). 𝑛1 1 b) Constituição da Variável Variável: símbolo - geralmente uma letra - com que se designa qualquer dos elementos de um conjunto (domínio da variável). Assim como o número (coeficiente), a variável também tem a sua constituição, sendo constituída por: ------ Um coeficiente cujo valor é 1 subentendido; ----- Uma parte literal (que independentemente dos casos pode ser considerado como numerador ou como base); ------ Um expoente subentendido 1; (utilizado nos casos de Potência); ------ Um denominador subentendido 1; (utilizado nos casos de Fracção). 1𝑎1 1 IIIº Grupo: Estudo das Operações de Números com Sinais Para um melhor estudo das operações de números com sinais é preciso conhecer o funcionamento da tabela de sinais: Multiplicação Divisão (+) x (-) = - (+) ÷ (-) = - (-) x (+) = - (-) ÷ (+) = - (+) x (+) = + (+) ÷ (+) = + (-) x (-) = + (-) ÷ (-) = + Coeficiente subentendido Expoente Parte literal; Base ou Numerador Denominado r Coeficiente Denominado r Expoente b) Na Multiplicação: multiplica-se sinal com sinal e coeficiente com coeficiente. 𝑬𝒙𝟏: (+𝑛) × (−𝑚) = [(+) × (−)(𝑛 × 𝑚)] 𝑬𝒙𝟐: (−𝑛) × (+𝑚) = [(−) × (+)(𝑛 × 𝑚)] c) Na Divisão: divide-se sinal com sinal e coeficiente com coeficiente. 𝑬𝒙𝟏: (+𝑛) ÷ (−𝑚) = [(+) ÷ (−)(𝑛 ÷ 𝑚)] 𝑬𝒙𝟐: (−𝑛) ÷ (+𝑚) = [(−) ÷ (+)(𝑛 ÷ 𝑚)] b) Operação de números com variáveis de sinais diferentes: é a operação em que os coeficientes estão acompanhados de variáveis (semelhantes ou não) e possuem sinais diferentes. Propriedades ou regras resolução a) Na Subtracção: mantêm-se o sinal da variável com maior valor absoluto e subtrai-se os coeficientes (das variáveis) e coloca-se em evidência a parte literal; 𝑬𝒙𝟏: +𝑛𝑥 − 𝑚𝑥 = −(𝑛 − 𝑚)𝑥; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒏 ∈ R+ 𝑒 𝒎 ∈ R−/ 𝒏 ≠ 𝒎/𝒏 < 𝑚 𝑬𝒙𝟐: +𝑛𝑥 − 𝑚𝑥 = +(𝑛 − 𝑚)𝑥; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒏 ∈ R+ 𝑒 𝒎 ∈ R−/ 𝒏 ≠ 𝒎/𝒏 > 𝑚 b) Na Multiplicação: multiplica-se sinal com sinal, coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. 𝑬𝒙𝟏: (+𝑛𝑥) × (−𝑚𝑥) = [(+) × (−)(𝑛 × 𝑚)(𝑥 × 𝑥)] 𝑬𝒙𝟐: (−𝑛𝑥) × (+𝑚𝑥) = [(−) × (+)(𝑛 × 𝑚)(𝑥 × 𝑥)] 𝑬𝒙𝟑: (−𝑛𝑥) × (+𝑚𝑦) = [(−) × (+)(𝑛 × 𝑚)(𝑥 × 𝑦)] 𝑬𝒙𝟒: (+𝑛𝑥) × (−𝑚𝑦) = [(+) × (−)(𝑛 × 𝑚)(𝑥 × 𝑦)] c) Na Divisão: divide-se sinal com sinal, coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. 𝑬𝒙𝟏: (+𝑛𝑥) ÷ (−𝑚𝑥) = [(+) ÷ (−)(𝑛 ÷ 𝑚)(𝑥 ÷ 𝑥)] 𝑬𝒙𝟐: (−𝑛𝑥) ÷ (+𝑚𝑥) = [(−) ÷ (+)(𝑛 ÷ 𝑚)(𝑥 ÷ 𝑥)] 𝑬𝒙𝟑: (−𝑛𝑥) ÷ (+𝑚𝑦) = [(−) ÷ (+)(𝑛 ÷ 𝑚)(𝑥 ÷ 𝑦)] 𝑬𝒙𝟒: (+𝑛𝑥) ÷ (−𝑚𝑦) = [(+) ÷ (−)(𝑛 ÷ 𝑚)(𝑥 ÷ 𝑦)] OBS: nesta operação a regra de resolução na subtracção só é aplicada nos termos semelhantes ao passo que na multiplicação e divisão pode ser aplicado em termos semelhantes ou não semelhantes. NOTA1: nas operações de números com sinais iguais ou diferentes, no caso da adição e subtracção de termos não semelhantes, não existe regra de resolução, isto é, mantém-se a mesma operação. 𝑬𝒙𝟏: +𝑛 − 𝑚𝑥 = +𝑛 − 𝑚𝑥 𝑬𝒙𝟓: +𝑛𝑥 + 𝑚𝑦 = +𝑛𝑥 + 𝑚𝑦 𝑬𝒙𝟐: +𝑛 + 𝑚𝑥 = +𝑛 + 𝑚𝑥 𝑬𝒙𝟔: +𝑛𝑦 − 𝑚𝑥 = +𝑛𝑦 − 𝑚𝑥 𝑬𝒙𝟑: −𝑛𝑥 − 𝑚 = −𝑛𝑥 − 𝑚 𝑬𝒙𝟕: −𝑛𝑥 − 𝑚𝑦 = −𝑛𝑥 − 𝑚𝑦 𝑬𝒙𝟒: −𝑛𝑥 + 𝑚 = −𝑛𝑥 + 𝑚 𝑬𝒙𝟖: −𝑛𝑦 + 𝑚𝑥 = −𝑛𝑦 + 𝑚𝑥 NOTA2: Nas operações de números com sinais iguais ou diferentes, no caso da multiplicação e divisão de termos não semelhantes (com um dos termos sem variável), a regra de resolução será diferente da regra anterior; a regra será: multiplicar (se for multiplicação) ou dividir (se for divisão) sinal com sinal, coeficiente com coeficiente e manter a parte literal. 𝑬𝒙𝟏: (+𝑛𝑥) × (−𝑚) = [(+) × (−)(𝑛 × 𝑚)]𝑥 𝑬𝒙𝟐: (−𝑛) ÷ (+𝑚𝑦) = [(−) ÷ (+)(𝑛 ÷ 𝑚)]𝑦 𝑬𝒙𝟑: (−𝑛𝑦) × (−𝑚) = [(−) × (−)(𝑛 × 𝑚)]𝑦 𝑬𝒙𝟒: (+𝑥) ÷ (+𝑚𝑥) = [(+) ÷ (+)(𝑛 ÷ 𝑚)]𝑥 IVº Grupo: Estudo dos termos Em matemática básica são leccionados quatro tipos de termos: 1- Termos semelhantes: são aqueles que têm coeficientes sem variáveis ou coeficientes com variáveis cuja parte literal é igual, com sinais iguais ou diferentes. 𝑬𝒙𝟏: ∓𝑛𝑥 ± 𝑚𝑥 = ±(𝑛 − 𝑚)𝑥/𝑛 ≠ 𝑚 𝑬𝒙𝟐: ∓𝑛 ± 𝑚 = 0 /𝑛 = 𝑚 𝑬𝒙𝟑: ±𝑛𝑥 ± 𝑚𝑥 = ±(𝑛 + 𝑚)𝑥/𝑛 ≠ 𝑚 𝑬𝒙𝟒: ±𝑛𝑥 ∓ 𝑚𝑥 = 0 /𝑛 = 𝑚 𝑬𝒙𝟓: ±𝑛 ∓ 𝑚 = ±(𝑛 − 𝑚)/𝑛 ≠ 𝑚 𝑬𝒙𝟔: ±𝑛 ± 𝑚 = ±(𝑛 + 𝑚) /𝑛 ≠ 𝑚 OBS: Os termos semelhantes podem simétricos (desde que haja simetria entre eles) ou assimétricos (desde que tenham a mesma parte literal ou coeficientes sem variáveis diferentes). 2- Termos não semelhantes: são aqueles que têm coeficientes com variáveis cuja parte literal é diferente, com sinais iguais ou diferentes. 𝑬𝒙𝟏: ∓𝑛𝑦 ± 𝑚𝑥 = ∓𝑛𝑦 ± 𝑚𝑥 / 𝑛 ≠ 𝑚 𝑜𝑢 𝑛 = 𝑚 𝑬𝒙𝟐: ±𝑛𝑥 ± 𝑚𝑦 = ±𝑛𝑥 ± 𝑚𝑦/𝑛 ≠ 𝑚 𝑜𝑢 𝑛 = 𝑚 OBS: Os termos não semelhantes podem ser assimétricos (desde que tenham parte literal diferente). 3- Termos simétricos: são aqueles que têm coeficientes sem variáveis iguais ou coeficientes com variáveis iguais cuja parte literal é igual, e com sinais diferentes. 𝑬𝒙𝟏: ∓𝑛 ± 𝑚 = 0 /𝑛 = 𝑚 𝑬𝒙𝟐: ±𝑛𝑥 ∓ 𝑚𝑥 = 0 /𝑛 = 𝑚 4- Termos assimétricos: são aqueles que têm coeficientes sem variáveis ou coeficientes com variáveis cuja parte literal é igual (coeficientes diferentes, sinais iguais ou diferentes; ou coeficientes iguais, sinais iguais) ou com partes literais diferentes, e com sinais diferentes. 𝑬𝒙𝟏: ∓𝑛𝑥 ± 𝑚𝑥 = ±(𝑛 − 𝑚)𝑥 /𝑛 ≠ 𝑚 𝑬𝒙𝟐: ±𝑛𝑥 ± 𝑚𝑥 = ±(𝑛 + 𝑚)𝑥 /𝑛 ≠ 𝑚 𝑜𝑢 𝑛 = 𝑚 𝑬𝒙𝟑: ±𝑛 ∓ 𝑚 = ±(𝑛 − 𝑚)/𝑛 ≠ 𝑚 𝑬𝒙𝟒: ±𝑛 ± 𝑚 = ±(𝑛 + 𝑚) /𝑛 ≠ 𝑚 𝑜𝑢 𝑛 = 𝑚 Vº Grupo: Potenciação e Radiciação 1- Potenciação: operação binária que a cada par ordenado (k a) faz corresponder a potência ak. Potência: produto de factores iguais; ou seja: expressão gráfica desse produto, de forma ab, em que a (base) é o valor de cada um dos factores, e b (expoente) é o número desses factores; Constituição de uma Potência VIº Grupo: As Características do Zero Zero: é um algarismo que não designa por si só nenhum valor, mas que, por virtude do princípio de posição do nosso sistema numérico, decuplica o valor dos algarismos que se encontram à sua esquerda. As características do zero: a) Na Adição e Subtracção: o zero é o elemento neutro; quer dizer que qualquer número somando ou subtraindo com o zero é igual ao mesmo número. 𝑬𝒙: ±𝑛 + 0 = ±𝑛 / 𝑛 ∈ R b) Na Multiplicação e Radiciação: o zero é o elemento absolvente; isto é, qualquer número a multiplicar por zero ou qualquer raiz de zero é igual a zero. 𝑬𝒙𝟏: ±𝑛 × 0 = 0 / 𝑛 ∈ R 𝑬𝒙𝟑: √0 𝑛 = 0 / 𝑛 ∈ R+/{1} 𝑬𝒙𝟐: ±𝑛𝑥 + 0 = 0 / 𝑛 ∈ R 𝑬𝒙𝟒: √0𝑚𝑛 = 0 / 𝑛 ∈ R+/{1} c) Na Divisão: 1----- Quando zero é numerador em ele desempenha a função de elemento absolvente, isto é, zero a dividir por qualquer número é igual a zero. 𝑬𝒙𝟏: 0 ±𝑛 = 0 / 𝑛 ∈ R 𝑬𝒙𝟐: 0 ±𝑛𝑥 = 0 = 0 / 𝑛 ∈ R 2----- Quando zero é denominador a operação é indeterminada. 𝑬𝒙𝟏: ±𝑛 0 = ±∞ / 𝑛 ∈ R 𝑬𝒙𝟐: ±𝑛𝑥 0 = 0 = ±∞ / 𝑛 ∈ R d) Na Potenciação: 1- Quando zero é a base e possui um expoente positivo, desempenha a função de elemento absorvente, isto é, zero elevado a qualquer número é igual a zero. 𝑬𝒙𝟏: 0𝑚 = 0; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ R/{0} 2----- Quando zero é a base e possui um expoente negativo, a potência é indeterminada. 𝑬𝒙𝟏: 0−𝑚 = 1 0𝑚 = ∞; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ R/{0} 3---- Quando a potência tem expoente zero, a potência é igual a 1. 𝑬𝒙𝟏: ±𝑛0 = ±1; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ R/{0; 1} 𝑬𝒙𝟐: (±𝑛𝑥)0 = 1; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ R/{0; 1} 𝑬𝒙𝟑: (±𝑛)0 = 1; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ R/{0; 1} 𝑬𝒙𝟒: ±(𝑛𝑥)0 = ±1; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ R/{0; 1} 4---- Quando a potência tem os valores 0 e 1, e expoente igual a zero, a potência é indeterminada. 𝑬𝒙𝟏: 00 = ∞ 𝐹. 𝐼𝑛𝑑 𝑬𝒙𝟐: 10 = ∞ 𝐹. 𝐼𝑛𝑑 VIIº Grupo: Operações com fracções e suas regras de resolução. Fracção: parte de um todo; ou seja: é a expressão que designa uma ou mais das partes iguais em que se dividiu ou considera dividida uma grandeza tomada como unidade; Constituição de uma Fracção 𝐴 𝐵 𝐴𝑥 𝐵𝑦 Regras de Resolução: a) Na Adição: 1---- Se o denominador for igual, mantêm-se o denominador e soma-se os numeradores. 𝑬𝒙𝟏: ± 𝐴 𝐵 ± 𝐶 𝐵 = ± (𝐴+𝐶) 𝐵 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 ≠ 0 𝑬𝒙𝟐: ± 𝐴𝑥 𝐵 ± 𝐶𝑥 𝐵 = ± (𝐴+𝐶)𝑥 𝐵 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 ≠ 0 2---- Se o denominador for diferente, acha-se o denominador comum e soma- se os produtos dos numeradores pelo quociente da divisão do denominador comum pelo diferente. 𝑬𝒙𝟏: ± 𝐴 𝐵 (𝐷) ± 𝐶 𝐷 (𝐵) = ± (𝐴.𝐷+𝐶.𝐵) 𝐵𝐷 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0 𝑬𝒙𝟐: ± 𝐴𝑥 𝐵 (𝐷) ± 𝐶𝑥 𝐷 (𝐵) = ± (𝐴𝑥.𝐷+𝐶𝑥.𝐵) 𝐵𝐷 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0 𝑬𝒙𝟑: ± 𝐴 𝐵 (𝐸) ± 𝐶 𝐷 (1) = ± (𝐴.𝐸+𝐶) 𝐷 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0; 𝐷 > 𝐵; 𝐷 𝐵 𝑬𝒙𝟒: ± 𝐴𝑥 𝐵 (𝐸) ± 𝐶𝑥 𝐷 (1) = ± (𝐴𝑥.𝐸+𝐶𝑥) 𝐷 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0; 𝐷 > 𝐵; 𝐷 𝐵 Numerador Denominador inador Numerador Denominador Traço de Fracção Traço de Fracção b) Na Subtracção: 1---- Se o denominador for igual, mantêm-se o denominador e subtrai-se os numeradores. 𝑬𝒙𝟏: ∓ 𝐴 𝐵 ± 𝐶 𝐵 = ± (𝐴−𝐶) 𝐵 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 ≠ 0 𝑬𝒙𝟐: ∓ 𝐴𝑥 𝐵 ± 𝐶𝑥 𝐵 = ± (𝐴−𝐶)𝑥 𝐵 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 ≠ 0 2---- Se o denominador for diferente, acha-se o denominador comum e subtrai- se os produtos dos numeradores pelo quociente da divisão do denominador comum pelo diferente. 𝑬𝒙𝟏: ∓ 𝐴 𝐵 (𝐷) ± 𝐶 𝐷 (𝐵) = ± (𝐴.𝐷−𝐶.𝐵) 𝐵𝐷 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0 𝑬𝒙𝟐: ∓ 𝐴𝑥 𝐵 (𝐷) ± 𝐶𝑥 𝐷 (𝐵) = ± (𝐴𝑥.𝐷−𝐶𝑥.𝐵) 𝐵𝐷 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0 𝑬𝒙𝟑: ∓ 𝐴 𝐵 (𝐸) ± 𝐶 𝐷 (1) = ± (𝐴.𝐸−𝐶) 𝐷 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0; 𝐷 > 𝐵; 𝐷 𝐵 𝑬𝒙𝟒: ∓ 𝐴𝑥 𝐵 (𝐸) ± 𝐶𝑥 𝐷 (1) = ± (𝐴𝑥.𝐸−𝐶𝑥) 𝐷 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0; 𝐷 > 𝐵; 𝐷 𝐵 OBS: Na adição e na subtracção se o denominador for negativo, multiplica-se o sinal do denominador com o(s) sinal (is) do numerador (es). 𝑬𝒙𝟏: ±𝐴±𝐶 −𝐵 = −(±𝐴±𝐶) 𝐵 𝑬𝒙𝟐: ±𝐴𝑥∓𝐶𝑥 −𝐵 = −(±𝐴𝑥∓𝐶𝑥) 𝐵 c) Na Multiplicação: Multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador. 𝑬𝒙𝟏: ±𝐴 𝐵 × ±𝐶 𝐷 = (±𝐴×±𝐶) 𝐵×𝐷 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0 𝑬𝒙𝟐: ±𝐴𝑥 𝐵 × ∓𝐶𝑥 𝐷 = (±𝐴𝑥×∓𝐶𝑥) 𝐵×𝐷 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0 d) Na Divisão: Mantém-se a primeira fracção e multiplica-se com a inversa da segunda. 𝑬𝒙𝟏: ±𝐴 𝐵 ÷ ±𝐶 𝐷 = ±𝐴 𝐵 × 𝐷 ±𝐶 ; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0 𝑬𝒙𝟐: ±𝐴𝑥 𝐵 ÷ ∓𝐶𝑥 𝐷 = ±𝐴𝑥 𝐵 × 𝐷 ∓𝐶𝑥 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 𝑒 𝐷 ≠ 0