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Tipologia: Notas de aula
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Centro Universitário Augusto Motta
Curso de Engenharia Civil
Prof. Marcos Martins
Conteúdo:
Esforço normal e Cisalhamento;
Flexão;
Torção;
Linha Elástica de Vigas;
Flambagem de Colunas.
Referências:
Timoshenko, S. P. e Gere, J. E.
Mecânica dos Sólidos, vol. 1 e 2
Livros Técnicos e Científicos
Rio de Janeiro, 1983
Hibbeler, R. C.
Resistência dos Materiais, 7ª edição
Pearson Prentice Hall
São Paulo, 2010
Considere a barra prismática
2
da Figura 1(a) carregada em suas extremidades submetida a
alongamento uniforme ou tração. O diagrama de corpo livre do trecho à direita da seção mm
é apresentado na Figura 1(b).
Figura 1: Barra prismática sob tração.
igual em intensidade, contrário à força P e distribuído uniformemente ao longo da seção A,
ou seja:
Quando a barra é alongada, a tensão é de tração; caso contrário, o encurtamento implica na
apenas se a força P agir sobre o centróide
3
da seção da extremidade, caracterizando a tração
simples; caso contrário, surge o efeito da flexão, e caracteriza-se um caso de flexão
2
Uma barra prismática tem seção constante ao longo do seu eixo reto.
3
Em relação às distribuições da geometria, massa e ação da gravidade de um corpo, têm-se os conceitos
associados de centróide, centro de massa e de gravidade, respectivamente. Quando as distribuições de massa
e gravidade são constantes, todos ocupam a mesma posição.
composta. A deformação
4
produzida na barra da Figura 1 – que no caso é um alongamento,
Fazem-se as seguintes observações a respeito das expressões (1) e (2):
A distribuição de tensão uniforme ao longo da seção mm tem dimensão F/L
2
, ou seja,
força por área, cujas unidades podem ser: kgf/cm
2
, lb/pol
2
(psi), N/m
2
(Pascal) etc;
A deformação é uma quantidade adimensional, mas para efeito prático, pode ser
considerada como tendo dimensão L/L, cujas unidades podem ser mm/m, por
exemplo, ou mesmo podem ser usadas as representações % ou ‰;
Se a tensão for de tração, produz alongamento; caso contrário, a tensão de
compressão produz encurtamento.
A relação tensão-deformação para um determinado material é determinada através do teste
de tração. Os valores medidos do carregamento e deslocamento são transformados em
valores de tensões e deformações, através das equações (1) e (2), e representados
graficamente conforme o diagrama exemplificado pela Figura 2, para um aço estrutural
típico.
Figura 2: Diagrama tensão-deformação para aço estrutural típico: (a) fora de escala; (b) em escala.
4
Também chamada de alongamento/encurtamento por unidade de comprimento, específico ou relativo.
admissível ou tensão de projeto, abaixo do limite de proporcionalidade
11
. Em geral, quando
se projeta em função da tensão admissível, uma das duas equações seguintes deve ser usada
adm
1
n
e
adm
2
n
lim
adm
e
lim
representam, respectivamente, a tensão no ponto de escoamento e a tensão
máxima do material, e n 1
e n 2
, os coeficientes de segurança.
A relação de Poisson descreve o efeito pelo qual uma barra aumenta seu comprimento
enquanto diminui sua seção transversal, quando submetida à tração. Esta relação pode ser
modelada através do coeficiente de Poisson, conforme a expressão (4):
t
t
considera-se que as propriedades elásticas são iguais em todas as direções
12
. A Figura 3
apresenta um cubo de vértices abcdefgh e arestas unitárias submetido à tração longitudinal
11
Há outras situações em que a tensão admissível é fixada tomando-se um coeficiente de segurança adequado
sobre a tensão máxima do material.
12
Neste caso, o material é dito isotrópico e suas deformações laterais são iguais em qualquer direção transversal
à direção de tração.
Figura 3: Variação do volume de um cubo unitário sujeito à tração.
De acordo com a Figura 3, as deformações longitudinais e transversais são respectivamente,
modelada conforme a equação (5):
Como não é razoável admitir-se que um corpo diminua de volume quando tracionado, pode-
coeficiente de Poisson é o mesmo para tração e compressão
13
O segmento OA da Figura 2 é regido pela equação (6) a seguir, também conhecida como lei
de Hooke:
13
Na compressão, a variação de volume é negativa, visto que a deformação é de encurtamento, e portanto,
negativa.
(a) (b) (c)
Figura 4: Barras carregadas axialmente com (a) várias cargas intermediárias, (b) com várias seções
transversais diferentes e (c) com seção transversal e carregamento variando continuamente.
Para o caso indicado pela Figura 4(b), o princípio da superposição produz:
ଵ
ଵ
ଶ
Para o caso indicado pela Figura 4(d), o alongamento produzido por cada trecho infinitesimal
dx é calculado por:
x
x
P dx
onde P x
é a carga atuante no elemento infinitesimal e A x
a sua área da seção transversal.
Assim, o cálculo do deslocamento total da barra é dado por:
L
x
x
L
P dx
d
0 0
A Figura 5(b) a seguir apresenta o diagrama carga-deslocamento para uma barra sob tração
simples – ilustrada pela Figura 5(a) –, carregada estaticamente
16
e obedecendo a lei de
Hooke
17
. Durante o carregamento, a força P produz trabalho que é transformado em energia
potencial (ou energia de deformação) armazenada na barra. Se a carga P for lentamente
removida, a energia de deformação é consumida ao recuperar a configuração inicial da
barra
18
Vale ressaltar que a força aplicada na barra varia linearmente de zero até seu valor máximo.
A idéia de “variação” induz a se pensar que a carga é dinâmica visto que seu valor se altera
conforme sua aplicação, ou seja, varia com o tempo. Entretanto, como essa variação é lenta
e gradual – e no caso, aplicada linearmente – os efeitos dinâmicos inerciais são desprezados
e o regime de carregamento é dito estático. O parâmetro tempo dá lugar ao conceito de
“incremento” de carga ou “passo” de carga.
Figura 5: Diagrama carga-deslocamento de barra tracionada.
16
A expressão “carregada estaticamente” corresponde a “carregada lentamente”, ou seja, de forma que os
efeitos inerciais sejam irrelevantes ao experimento.
17
Neste caso, o coeficiente angular corresponde à rigidez da barra.
18
Durante o processo de carga e descarga, a barra funciona como uma mola ao se alongar e recuperar seu
comprimento inicial, respectivamente.
O conceito de energia de deformação apresentado aplica-se a todo os demais tipos de
deformação – cisalhante, torcional e flexional – e não apenas à deformação axial conforme
apresentado.
Considere a conexão da Figura 6(a), composta por uma barra A, um garfo C e um parafuso
B. A Figura 6(b) apresenta o diagrama de corpo livre do parafuso apenas e a Figura 6(c), o
diagrama de corpo livre do trecho central do parafuso submetido à ação do cisalhamento
direto.
Figura 6: Ilustração de cisalhamento.
O valor da tensão cisalhante média
20
no parafuso é calculado conforme a equação (15), onde
A é a área da seção transversal do parafuso:
méd
A Figura 7(a) apresenta um cubo elementar em equilíbrio submetido a cisalhamento puro,
onde as tensões de cisalhamento – distribuídas nas faces em que atuam – ocorrem aos pares
de mesma intensidade e sentidos opostos. A Figura 7(b) apresenta o plano abcd em linha
cheia e a sua distorção correspondente em linha tracejada. Observa-se que não há variação
do plano em um paralelogramo e é chamado de deformação de cisalhamento.
20
A distribuição exata das tensões cisalhantes no parafuso não é facilmente determinada.
Figura 7: Tensão e deformação de cisalhamento.
O diagrama tensão-deformação de cisalhamento do material é construído através das tensões
de cisalhamento e ângulos de distorção correspondentes. Este diagrama consta de limite de
proporcionalidade, ponto de escoamento e tensão máxima de cisalhamento. Na região
elástica, a lei de Hooke do cisalhamento do material é dada por:
onde G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento
21
do material.
21
Também conhecido por módulo de elasticidade transversal.
