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Parte IV

Relatividade Restrita

Captulo 9

Princpios da Relatividade

Conte udo

9.1 Breve Interl udio........................... 108 9.2 Relatividade da Mec^anica de Newton: Transformac~oes de Galileu................................. 108 9.3 Princpio da Relatividade: Transformac~oes de Lorentz.... 113

9.1 Breve Interl udio

A teoria da relatividade restrita esta baseada sobre dois princpios simples que,

como veremos, levaram a imp ortantes conseq u^encias fsicas: as leis da fsica s~ao sempre as mesmas em to dos os referenciais inerciais (princpio da relatividade); a velo cidade da luz e a mesma em to dos os referenciais inerciais. A mec^anica de Newton sempre foi uma teoria relativstica, no sentido de que as leis da mec^anica p ermanecem sempre as mesmas em qualquer referencial inercial, p ossuindo a relatividade das transformc~oes de Galileu. Einstein intro duziu a ideia revolucionaria, mas que tem se mostrado correta ate ho je, que to da a fsica e de fato relativstica, p ossuindo a relatividade das tranformac~oes de Lorentz. Veremos durante essa parte do curso como esses dois princpios da Relatividade Re- strita ou Esp ecial nos levam a mo di car a mec^anica, de forma que ela passe a ser valida em to dos os referenciais inerciais da mesma forma que o eletromagnetismo ja o era, p or construc~ao.

9.2 Relatividade da Mec^anica de Newton: Trans-

formac~oes de Galileu

Pergunta: Como dois observadores em referenciais inerciais medem um comprimento e um intervalo de temp o dados? Na mec^anica newtoniana, as medidas de intervalos de temp o e espaco s~ao absolutas, de acordo com as transformac~oes de Galileu.

CAPITULO 9. PRINCIPIOS DA RELATIVIDADE 110

C 0

C 0

C 1

C 2

C 3

C 1

C 2

S (^) S´

Figura 9.2: Esquema dos relogios Ci (i = 0 ; 1 ; 2 ; 3) sincronizados no referencial S e dos relogios C (^) i^0 (i = 0 ; 1 ; 2) sincronizados no referencial S 0.

8

<

:

x^0 = x v t y 0 = y z 0 = z t^0 = t

onde a ultima relac~ao expressa a universalidade do temp o, ou seja, o temp o e absoluto, indep endente do referencial. Diferenciando (9.1) com relac~ao a t = t^0 leva imediatamente a transformac~ao classica de velo cidades, que relaciona as comp onentes da velo cidade de uma partcula no referencial S com suas comp onentes no referencial S 0 :

8 <

:

u^01 = u 1 v u^02 = u 2 u^03 = u 3

Vemos que uma partcula em rep ouso em S tem movimento retilneo e uniforme em S 0. Uma partcula que se move com velo cidade constante em S tambem se move com velo cidade constante em S 0. N~ao somente a 1 a^ como a 2 a^ e a 3 a^ leis de Newton s~ao validas em to dos os referenciais inerciais. Vemos que, derivando novamente a Eq.( 9.2) em relac~ao a t = t^0 , obtemos

8 < :

a^01 = a 1 a^02 = a 2 a^03 = a 3

Acelerac~ao e invariante p elas transformac~oes de Galileu. Desta forma, as leis de New- ton e as equac~oes de movimento da mec^anica p ermanecem exatamente as mesmas em

CAPITULO 9. PRINCIPIOS DA RELATIVIDADE 111

z

y

x

z´

y’

x´

Evento

v

S S´

Figura 9.3: Esquema de dois referenciais Cartesianos, o referencial S e o referencial S 0 movendo com velovidade v na direc~ao x em relac~ao a S e um evento visto p or estes dois referenciais.

qualquer referencial inercial. A invari^ancia das leis da mec^anica leva a covari^ancia de suas equac~oes, o que signi ca que as equac~oes da mec^anica ter~ao a mesma forma em qualquer referencial inercial. A relatividade da mec^anica newtoniana signi ca que nenhum exp erimento mec^anico, realizado inteiramente em um sistema de refer^encia inercial, p o de dizer ao observador qual o movimento do sistema em relac~ao a qualquer outro sistema inercial. Comparando medidas entre dois sistemas diferentes, p o demos falar da velo cidade relativa de um em relac~ao ao outro, mas n~ao de uma velo cidade absoluta do sistema.

? Demo: Interfer^ometro de Michelson e Morley

E o resto da fsica? Em esp ecial, seria o eletromagnetismo tambem invariante p or transformac~oes de Galileu? Na teoria eletromagnetica aparece uma constante c, com di- mens~ao de velo cidade, que foi de nida originalmente ap enas a partir de grandezas eletro- magneticas, e que p o de ser determinada p or exp eri^encia de lab oratorio. A teoria previa a propagac~ao de ondas eletromagneticas no vacuo com velo cidade c. Vejamos como as trans- formac~oes de Galileu n~ao preservam a forma da equac~ao de onda do eletromagnetismo. Se em S temos @ 2 F @ x^2

c^2

@ 2 F

@ t^2

p elas transformac~oes de Galileu como x = f (x^0 ; t^0 ), p o demos escrever

@ F @ x

@ F

@ x^0

@ x^0 @ x

@ F

@ t^0

@ t^0 @ x

@ F

@ x^0

!

@ 2 F

@ x^2



@ 2 F

@ x^0

Mas p o demos escrever tambem que

@ F @ t

@ F

@ t^0

@ t^0 @ t

@ F

@ x^0

@ x^0 @ t

@ F

@ t^0

v

@ F

@ x^0

CAPITULO 9. PRINCIPIOS DA RELATIVIDADE 113

L

L

fonte

C

E

B

E

B

u

C

Figura 9.4: Esquema para o exp erimento de Michelson e Morley.

Como a diferenca esp erada dep endia de u^2 =c^2 , e n~ao era p ossvel ter uma precis~ao desta ordem na igualdade de comprimento dos bracos do interfer^ometro, o aparato era girado de forma a inverter a p osic~ao dos bracos e cancelar qualquer diferenca devida a imprecis~ao na medida de L. N~ao foram observadas mudancas nas franjas de interfer^encia devidas a velo cidade da Terra em relac~ao ao eter. Seria uma conspirac~ao da natureza? Para Poincare tratava-se de uma conspirac~ao t~ao completa da natureza que so p o deria ser uma lei. A velo cidade da luz deveria ser constante ... contrariamente o esp erado usando as transformac~oes de Galileu para a velo cidade. Exp erimentos mo dernos ja conseguiram estab elecer a const^ancia da velo cidade da luz em 1,7 partes em 1015!

9.3 Princpio da Relatividade: Transformac~oes de Lorentz

Lorentz descobriu que as seguintes transformac~oes de co ordenadas deixavam as equac~oes de Maxwell, e logo o eletromagnetismo, com a mesma forma nos dois referenciais inerciais S e S 0 :

x^0 = (x ct); y 0 = y ; z 0 = z ;

t^0 = (t c

x); (9.6)

onde

v c

CAPITULO 9. PRINCIPIOS DA RELATIVIDADE 114

e

=

p 1 2

;  1 ; (9.8)

ou inversamente,

x = (x^0 + ct^0 ); y = y 0 ; z = z 0 ;

t = (t^0 + c

x^0 ): (9.9)

Observamos que as Transformac~oes de Lorentz (TL):

1. s~ao lineares em t e x;
2. para a con gurac~ao padr~ao de S e S 0 n~ao afetam as co ordenadas y e z ;
3. n~ao afetam a velo cidade da luz, conforme veremos mais adiante (c e uma constante nas equac~oes de Maxwell);
4. se reduzem as transformac~oes de Galileu para v << c.

Vejamos o que acontece com a equac~ao de onda, Eq. (9.4), se utilizarmos as trans- formaco es de Lorentz no lugar das de Galileu

@ F @ x

@ F

@ x^0

@ x^0 @ x

@ F

@ t^0

@ t^0 @ x

@ F

@ x^0

c

@ F

@ t^0

logo

@ 2 F @ x^2

@ x^0

 @ F @ x^0

c

@ F

@ t^0

 @ x^0 @ x

@ t^0

 @ F @ x^0

c

@ F

@ t^0

 @ t^0 @ x

= 2

@ 2 F

@ x^0

2

2 c

@ F

@ x^0

@ F

@ t^0

2 2 c^2

@ 2 F

@ t^0

mas p o demos escrever tambem que

@ F @ t

@ F

@ t^0

@ t^0 @ t

@ F

@ x^0

@ x^0 @ t

@ F

@ t^0

c

@ F

@ x^0

ou seja,

1 c^2

@ 2 F

@ t^2

c^2

@ t^0

 @ F @ t^0

c

@ F

@ x^0

 @ t^0 @ t

c^2

@ x^0

 @ F @ t^0

c

@ F

@ x^0

 @ x^0 @ t

=

2 c^2

@ 2 F

@ t^0

@ 2 F

@ x^0

2

2 c

@ 2 F

@ x^0 @ t^0

Usando Eqs.(9.10) e (9.11) vemos que

 (^2) 2 2

 (^) @ 2 F @ x^0

 (^2)

c^2

2 2 c^2

 @ 2 F @ t^0

Captulo 10

Conseq u^encias Cinematicas

Conte udo

10.1 Relatividade da simultaneidade.................. 116 10.2 Contrac~ao de Lorentz........................ 117 10.3 Dilatac~ao do temp o......................... 117 10.4 Transformac~ao de velo cidades................... 120 10.5 Invari^ancia da Causalidade..................... 121 10.6 Conseq u^encia Algebrica das Transformac~oes de Lorentz... 123

Veremos aqui algumas das conseq u^encias para a cinematica do princpio da relatividade de Einstein.

10.1 Relatividade da simultaneidade

Se dois eventos o correm ao mesmo temp o em S , mas em lugares diferentes, eles n~ao o correm ao mesmo temp o em S 0.

Evento 1 : (x 1 ; t 1 ) Evento 2 : (x 2 ; t 2 )

 S

Mas t 1 = t 2 )
t = 0. Usando as relac~oes abaixo:

t^01 =

 t 1 c

x 1

 ;

t^02 =

 t 2 c

x 2

 ;

obtemos

t^01 t^02 = c

(x 2 x 1 ) :

CAPITULO 10. CONSEQ U ENCIAS^ CINEM ATICAS 117

10.2 Contrac~ao de Lorentz

Sup onha que uma barra esteja deitada no eixo x^0 , em rep ouso no referencial S 0 :

x^02 x^01 = L 0  (x 2 x 1 ) + c (t 1 t 2 ) | {z } =

onde o ultimo termo da express~ao acima e nulo, p ois medimos a p osic~ao no mesmo ins- tante. Portanto, temos:

L =

L 0

Ob jetos em movimento s~ao sempre menores (mais curtos) p or um fator 1 = comparado

com seu comprimento em rep ouso L 0. Direc~oes p erp endiculares a direc~ao do movimento n~ao ser~ao afetadas.

10.3 Dilatac~ao do temp o

? Demo: Detetor de m uons

Sup onha que um relogio na origem S 0 marque um intervalo T 0 , p or simplicidade de t^0 = 0 a t^0 = T 0. Qual sera o intervalo de temp o corresp ondente medido p or um observador em S? O intervalo de temp o comeca em t^0 = t = 0 e termina em t^0 = T 0 em x^0 = 0 ), p elas TL

T = T 0 :

S marca um intervalo mais longo p or um fator : o mecanismo de relogios em movimento

avanca mais lentamente. To das as partculas instaveis, como, p or exemplo, n;   , t^em uma especie de relogio proprio (temp o de vida media), e estes relogios realmente correm mais devagar quando a partcula esta em movimento.

Como entender a medida de temp o entre dois referenciais? (Veja pg. 79 do livro \O que e a Teoria da Relatividade?", L. Landau e Y. Rumer)

Um passageiro via ja no trem de Einstein ao longo de uma estrada de ferro sem m. A dist^ancia entre duas estac~oes e 8,64  108 km. O trem que move-se a uma velo cidade de 2,4  105 km/s levara 1 h (3.600 s) para vencer esta dist^ancia. Ha um relogio em ambas as estac~oes (sincronizados). O passageiro que embarca na primeira estac~ao acerta seu relogio com o da estac~ao. Chegando a segunda estac~ao observa que seu relogio esta atrasado. Ha um paradoxo aqui? Para entender melhor o que acontece admitamos o seguinte. O passageiro no trem constro e um relogio com uma lanterna e um esp elho no teto da cabine. Para isso ele envia com a lanterna colo cada no assoalho do vag~ao um feixe de luz em direc~ao ao teto. O esp elho colo cado no teto re ete a luz de volta a lanterna. Cada vez que ela volta

CAPITULO 10. CONSEQ U ENCIAS^ CINEM ATICAS 119

2 d =
tp c!
tp = 2 d=c

tp = e o temp o que a luz levou de D ate B e de volta ate D para o passageiro do trem.

Assim se
tp = 6 s, d = 9  105 km.

Para um observador na plataforma

AB  B C 

s

d^2 +

 v
to 2

 2

to e o temp o que a luz levou de A ate C para o observador na plataforma

AB + B C = 2

s

d^2 +

 v
to 2

 2 =
to c!
to =

2 d c

p 1 v 2 =c^2

=
tp!

Para v = 2 ; 4  105 km/s, =

. Logo
to = 6 s. Entre a partida e a chegada do

trem os dois observadores medem temp os diferentes:

Para um observador na plataforma

O temp o escorrido foi
t = 1 h = 60 min :

A dist^ancia entre as estac~oes e

L 0 = v
t = 2 ; 4  105 km/s  3 : 600 s = 8 ; 64  108 km :

Como ele v^e o trem em movimento, o intervalo de temp o medido p or ele corresp onde a um intervalo de temp o
t^0 medido p elo passageiro no trem

t =
t^0!
t^0 =

t = 36 min :

Para o passageiro do trem

A dist^ancia entre as estac~oes e

L^0 =

L 0

= 8 ; 64  108 km=(5=3) = 5 ; 184  108 km ;

p ois para ele as estac~oes est~ao em movimento. Assim o temp o escorrido entre as duas

estac~oes e

t = L^0 =v = 5 ; 184  108 = 2 ; 4  105 s = 36 min :

CAPITULO 10. CONSEQ U ENCIAS^ CINEM ATICAS 120

Relogios em movimento andam mais devagar!

Mas a plataforma esta em movimento do p onto de vista do passageiro do trem. Por que ent~ao n~ao e o relogio da plataforma que atrasa e sim o dele? N~ao s~ao os dois p ontos de vista equivalentes? Em princpio sim, mas de fato n~ao. A raz~ao e que inicialmente a comparac~ao dos relogios e feita no mesmo referencial de rep ouso do trem e da estac~ao, em seguida o trem precisa sofrer acelerac~ao para atingir a velo cidade v , nalmente o trem precisa desacelerar para parar na outra estac~ao e comparar seu relogio novamente com o da estac~ao no mesmo referencial de rep ouso inicial. Neste caso ca claro quem esta em rep ouso, quem esta em movimento. Lembre que, em geral, comparando dois referenciais inerciais, n~ao ha como sab er quem esta em movimento!

10.4 Transformac~ao de velo cidades

Um dado imp ortante e fundamental e que as TL cont^em o fato exp erimental que a ve- lo cidade da luz n~ao dep ende da velo cidade da fonte: e sempre igual a c! Consideremos uma partcula movendo-se com velo cidade ~u = (ux ; 0 ; 0)

ux =

dx dt

como vista p or um observador na origem do referencial S. Um observador na origem do referencial S 0 vera a mesma partcula com velo cidade ~u^0 x = (u^0 x ; 0 ; 0), onde usando as TL

u^0 x =

dx^0 dt^0

dx cdt

dt c

dx

ux v

(1 c

ux )

de onde se deduz que, se a partcula em quest~ao for um foton, isto e, uma partcula com velo cidade ux = c em S , ent~ao em S 0 o foton sera visto com velo cidade

u^0 x =

c v 1

= c (!)

Um corolario e que nenhuma partcula p o de mover-se mais rapido do que a luz! De fato isso nunca foi observado exp erimentalmente.

Caso Geral:

Uma partcula com velo cidade ~u = (ux ; uy ; uz ), segundo um observador na origem do referencial S , tem velo cidade ~u^0 = (u^0 x ; u^0 y ; u^0 z ) para um observador na origem do referencial S 0 , que se move com velo cidade ~v = (v ; 0 ; 0) em relac~ao a S , tal que

u^0 x =

dx^0 dt^0

dx cdt

dt c

dx

ux v

(1 c

ux )

u^0 y =

dy 0 dt^0

uy

(1 c

ux )

CAPITULO 10. CONSEQ U ENCIAS^ CINEM ATICAS 122

Figura 10.4: Gra co do comp ortamento assintotico da velo cidade de uma partcula v no referencial S e v 0 no referencial S 0 , mostrando na medida em que S 0 se aproxima da velo cidade da luz, a partcula tem velo cidade proxima a c

Figura 10.5: Esquema do sistema de co ordenadas S e S 0 para os eventos P e Q ao longo do eixo x.

t^0 =


t

v c^2

x

 =
t

 1

v
x c^2
t

 =
t =
t

 1

v c^2

U

 :

Para que
t^0  0! (1 v U =c^2 )  0! v  c^2 =U. Mas Umax = c! v  c! Logo, a invers~ao de causa e efeito n~ao se realiza nunca, o que e garantido p elo fato de que consideramos c como sendo a maior velo cidade para transp orte de informac~ao. A igualdade so se realiza se v = c, em um referencial a velo cidade da luz.

CAPITULO 10. CONSEQ U ENCIAS^ CINEM ATICAS 123

10.6 Conseq u^encia Algebrica das Transformac~oes de

Lorentz

As transformac~oes de Galileu deixam a norma de um vetor (no espaco 3-D ao qual esta- mos habituados) invariante. Existe algo equivalente na relatividade? Conforme veremos, p o demos de nir uma generalizac~ao de vetor, cuja norma p ermanece invariante p or uma TL. Consideremos as TL para intervalos de espaco e de temp o

x^0 = (
x v
t)
y 0 =
y
z 0 =
z
t^0 =


t

v c^2

x

 :

Po demos de nir uma generalizac~ao de intervalo, combinando os intervalos espaciais e tem-

p orais de maneira apropriada. Ha outras de nic~oes que p o deriam ser adotadas e que s~ao encontradas em alguns livros texto. Seja
s^2 de nido como abaixo 







s^2 = c^2
t^2
x^2
y 2
z 2.

Veri ca-se explicitamente que

s^02 = c^2
t^02
x^02
y 02
z 02 = c^2
t^2
x^2
y 2
z 2 =
s^2 :

s^2 p ortanto e um invariante de Lorentz. Uma de nic~ao natural para a norma de vetor

invariante que buscamos e

p
s^2. As comp onentes do vetor s~ao x = (ct; x; y ; z ) e sua norma e calculada como

kxk^2 = c^2 t^2 x^2 y 2 z 2 :

Como
s^2 tem carater absoluto, p o demos usar seu sinal para classi car os intervalos. O espaco usual 3-D p o de ser generalizado para um espaco-temp o 4-D, conhecido como espaco de Minkoswki, onde os eventos fsicos ser~ao designados p or quatro co ordenadas e onde as dist^ancias ou intervalos entre dois eventos s~ao calculados como de nido acima. A cada evento fsico corresp onde um conjunto de direc~oes preferenciais de nidas p elos caminhos da luz atraves desse p onto. Para um evento E = (ct; x; y ) em um referencial inercial S , to dos os eventos vizinhos em (ct + c
t; x +
x; y +
y ) p o dem ser divididos em tr^es classes:


s^2 < 0: se um evento Q satis zer esta condic~ao, ent~ao n~ao ha referencial em que a separac~ao espacial entre E e Q seja nula, p ois
s^2 = c^2 (tQ tE )^2 (xQ xE )^2 (yQ yE )^2 < 0. De fato, o valor absoluto da separac~ao espacial entre estes dois

Captulo 11

Efeito Doppler

Conte udo

11.1 Efeito Doppler Relativstico.................... 125 11.2 Limite de baixas velo cidades.................... 128 11.3 Deduc~ao Alternativa........................ 128 11.4 Efeito Doppler Transverso..................... 129 11.5 Alguns Exemplos........................... 130

Vimos em x2.10 que a freq u^encia das ondas sonoras dep ende das velo cidades da fonte e do observador. Para deduzir as relac~oes para o efeito Doppler encontradas naquele captulo usamos as transformac~oes de Galileu que, como vimos aqui, n~ao s~ao validas para referenciais inerciais com velo cidades proximas a da luz. Como a luz visvel e de fato uma onda eletromagnetica que se propaga com velo cidade c no vacuo, e de se esp erar que ela, assim como o som, tambem sofra um desvio Doppler de sua freq u^encia. No entanto, ja sab emos que c n~ao dep ende da velo cidade da fonte ou do observador. Como ca ent~ao o efeito Doppler para a luz visvel e as demais ondas eletromagneticas que se propagam a velo cidade c? Veremos aqui que a Relatividade adiciona uma correc~ao ao Efeito Doppler otico classico, um relogio afastando-se de nos aparecera ainda mais lento, um atomo aparecera ainda mais desviado para o vermelho gracas a dilatac~ao temp oral! Em princpio isto tambem o corre com o som (Efeito Doppler ac ustico) mas, enquanto atomos vibrando facilmente movem-se a velo cidades grandes, os emissores de som di cilmente encontram-se neste caso, o que p o de fazer com que essa correc~ao n~ao seja necessaria na pratica.

11.1 Efeito Doppler Relativstico

Vamos sup or que uma fonte, p or exemplo um transmissor de radar, esteja lo calizada na origem do sistema de refer^encia S , e que um observador O 0 , se mova relativamente a S com velo cidade v , de forma que ele esteja em rep ouso no referencial S 0. Cada pulso transmitido p elo radar move-se com velo cidade c. Um primeiro pulso e enviado em t = 0, quando o observador esta em x = x 0. Um segundo pulso, apos um p ero do de vibrac~ao, e enviado em t = . A freq u^encia de vibrac~ao da fonte, medida em

CAPITULO 11. EFEITO DOPPLER 126

S e  = 1 =.

x 0

t 2

x 1 x 2

t 1

O

t

x

pulso 1

S

pulso 2

observador

τ

Figura 11.1: Esquema: Efeito Doppler Relativstico.

Segundo S :

Admitiremos aqui que o observador esteja afastando-se do radar. Nesse caso, o obser- vador intercepta o primeiro pulso em (t 1 ; x 1 ) e o segundo pulso em (t 2 ; x 2 ), conforme a Fig. 11.1. Vemos que

x 1 = ct 1 = x 0 + v t 1! t 1 =

x 0 c v e

x 2 = c(t 2  ) = x 0 + v t 2! t 2 =

x 0 c v

c  c v

Logo o intervalo entre o O 0 observar o primeiro e o segundo pulso e, segundo o referencial S ,

t 2 t 1 =

c  c v

e a dist^ancia p ercorrida p elo observador O 0 entre as duas observac~oes e naturalmente:

x 2 x 1 =

v c  c v

Segundo S 0 :