NOVAS SEQUENCIA Com programação na HP Prime, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

Baixe NOVAS SEQUENCIA Com programação na HP Prime e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity!

CONTRA CAPA

Pref´acio `a 1 .a^ Edi¸c~ao

Este livro desenvolve novos tipos de seq¨uˆencias que s˜ao generaliza¸c˜oes das progress˜oes aritm´eticas e geom´etricas. Tem, portanto, o objetivo de aprofundar o que existe a respeito de tais seq¨uˆencias. Onde n˜a aprofun- damos, simplificamos, como ´e o caso do Princ´ıpio da Dualidade, o qual possui aplica¸c˜oes em teoria dos conjuntos e ´algebra de Boole, agora estamos aplicando-o pela primeira vez − assim cremos − no estudo das progress˜oes aritm´eticas e geom´etricas.

O leitor encontrar´a novidades do primeiro ao ´ultimo cap´ıtulo do presente trabalho. Por exemplo, j´a no primeiro cap´ıtulo deduzimos uma f´ormula ge- ral e n˜ao recursiva para a soma de potˆencias dos n´umeros naturais. N˜ao tenho conhecimento de que exista uma f´ormula fechada para esta soma. Em 1713 apareceu na revista Ars Conjectandi (Arte de Conjecturar) uma f´ormula recursiva (isto ´e, n˜ao fechada) para o referido somat´orio. A f´ormula em quest˜ao ´e atribu´ıda a Jacobi Bernoulli (1654-1705).

Citamos ainda as progress˜oes aritm´eticas planas e espaciais; uma genera- liza¸c˜ao que nos permitir´a v´arias aplica¸c˜oes na resolu¸c˜ao de novos problemas n˜ao s´o da matem´atica como tamb´em da computa¸c˜ao.

Por exemplo deduzimos, com o aux´ılo das progress˜oes aritm´eticas espa- ciais, uma f´ormula que nos permite a representa¸c˜ao de um inteiro positivo em qualquer base num´erica; em particular na bin´aria.

No que concerne `a computa¸c˜ao, de h´a muito existe uma controv´ersia a respeito do uso de calculadoras pelos estudantes e em que fase isto deve se dar. Concernente a isto, sou da opini˜ao de que os alunos devem us´a-la desde que a priori saibam “fazer na m˜ao”. Neste sentido e t˜ao somente neste o aluno, a meu ver, est´a apto a usar uma calculadora, em particu- lar program´avel. A prop´osito, eu penso que os pais deveriam dar a seus filhos, juntamente com o video-game, uma calculadora program´avel, pois desta forma est˜ao lhes abrindo as portas de uma alternativa profissional que ´e a da programa¸c˜ao e, como se isto n˜ao bastasse, porque a programa¸c˜ao desenvolve a inteligˆencia, logicamente falando.

Quando come¸car a programar? Acredito que desde o primeiro grau, por exemplo, quando da resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes do 2 o^ grau ou na resolu¸c˜ao de sistemas lineares.

H´a algum tempo tenho o sonho de ver estudantes, de todos os n´ıveis, com calculadoras program´aveis em sala de aula e programando os problemas em tempo real.

Ainda com respeito ao uso de computadores, pe¸co permiss˜ao para ex- por meu pensamento a respeito de uma outra quest˜ao: Demonstra¸c˜oes via computador. Aqui entramos no campo subjetivo, isto ´e, alguns aceitam enquanto outros n˜ao, demonstra¸c˜oes com aux´ılio computacional. Eu, par- ticularmente, me incluo dentre os que n˜ao aceitam tais demonstra¸c˜oes e

gostaria de justificar minha op¸c˜ao: Primeiramente devemos ter em consi- dera¸c˜ao que todo processo computacional consta de duas partes: software e hardware. Software ´e l´ogica e, portanto, podemos atingir 100% de confian¸ca no mesmo, isto ´e, podemos sem dificuldade atingir um grau de confiabilidade total no software. O problema come¸ca a aparecer quando nos voltamos para o hardware, que ´e F´ısica. Sabemos que os computadores utilizam a ´algebra Booleana, isto ´e, ope- ram com os s´ımbolos “0” e “1” os quais, a n´ıvel de circuito, s˜ao inter- preta¸c˜oes de n´ıveis de tens˜ao (por exemplo “1” = 5V, “0” = 0V, ou ainda, [ 0, 0 .8 ] ≡ “0” e [2, 5] ≡ “1”) e, como ´e sabido, o funcionamento dos chips depende da temperatura. Em outras palavras, que confiabilidade devemos dispensar a uma demonstra¸c˜ao que ´e fun¸c˜ao da temperatura?. Embora a de- pendˆencia da temperatura possa ser minimizada ao m´aximo, o que se exige de uma demonstra¸c˜ao ´e que dependa de argumentos l´ogicos apenas. Para os que insistem na validade de tais demonstra¸c˜oes quero lembrar que uma demonstra¸c˜ao feita em uma esta¸c˜ao fria seria mais confi´avel que outra feita em uma esta¸c˜ao quente. Mas se insistirem em que as condi¸c˜oes clim´aticas da sala poderiam ser rigorosamente controladas, sugiro que as demonstra¸c˜oes venham acompanhadas de um relat´orio sobre tais controles. Para a transmiss˜ao de dados (a qual ocorre tanto a n´ıvel externo quanto a n´ıvel interno ao computador) passamos a ter problemas com ru´ıdo. Uma fonte inevit´avel de ru´ıdo el´etrico ´e o movimento t´ermico de el´etrons em ma- teriais condutores − fio, resistores, etc. − Tanto este ´e um aspecto que preocupa os engenheiros de comunica¸c˜oes que surgiu uma disciplina assaz importante que se chama “codifica¸c˜ao com controle de erros” o que prova que os sistemas computacionais n˜ao garantem 100% de confiabilidade, que ´e o que se exige de uma demonstra¸c˜ao matem´atica.

E ´´obvio que o computador foi e sempre ser´a ´util tanto a matem´atica apli- cada quantoa pura. Por exemplo para nos auxiliar a formular conjecturas, ou refut´a-las, mas nunca para demonstrar teoremas. Por exemplo, certa feita assisti a uma palestra na qual um matem´atico ha- via utilizado um computador, durante v´arios dias, para “demonstrar”a n˜ao primalidade de um dos n´umeros de Fermat (n´umeros da forma Fn = 2^2 n + 1). Sa´ı da palestra com a “confian¸ca aumentada” mas n˜ao convencido de que o n´umero em quest˜ao de fato n˜ao era primo. Gostaria de chamar a aten¸c˜ao de alguns matem´aticos para mais um as- pecto: Sabe-se que na m´usica alguns nascem, ou melhor, tˆem o dom de int´erpretes (s˜ao excelentes int´erpretes) mas n˜ao comp˜oem nada. E, reci- procamente, outros h´a que tˆem o dom da composi¸c˜ao mas que n˜ao s˜ao int´erpretes; ambos s˜ao importantes para o universo musical. Na matem´atica, como tamb´em nas outras ciˆencias (F´ısica, por exemplo), acontece algo semelhante: h´a uma esp´ecie de gˆenios que s˜ao os int´erpretes,

Desabafo (Desobstruindo o Peito e a Garganta)

Quero deixar registrado aqui minha indigna¸c˜ao no que diz respeito ao tratamento dispensado a este trabalho por ´org˜aos e pessoas competentes, que poderiam tˆe-lo apoiado e n˜ao o fizeram.

Se este livro tivesse que depender do apoio destas entidades, h´a muito tempo que o mesmo teria ido parar nas latas de lixo ou, quem sabe, reciclado como papel higiˆenico para limpar a bunda destas mesmas pessoas.

H´a quase dez (10) anos peregrino com este livro − desde o manuscrito − embaixo do sovaco `a procura de apoio. N˜ao encontrando, continuei tra- balhando no mesmo, assim ´e que alguns resultados s´o consegui demonstrar recentemente (1999); mas mesmo esta ´ultima vers˜ao do livro foi rejeitada. E como foi poss´ıvel esta edi¸c˜ao?

Dei aulas por trˆes meses em Bras´ılia; almo¸cando na rodovi´aria − sopa de R$ 1, 00 (hum real) − e andando a p´e para economizar no ˆonibus, juntei o suficiente para pagar uma tiragem de 400 exemplares.

Est´a saindo sem revis˜ao t´ecnica, sem revis˜ao gramatical, etc.; pois apoio me faltou em todos estes sentidos. Eu pr´oprio tive que digit´a-lo sozinho, v´ırgula ap´os v´ırgula.

Num certo momento da minha vida me encontrei frente a uma bifurca¸c˜ao: Ganhar dinheiro ou dar minha contribui¸c˜ao `a Ciˆencia (criar). Digo bi- furca¸c˜ao pois, a meu ver, s˜ao alternativas mutuamente excludentes.

Optei pelo caminho mais dif´ıcil e incerto. Aqui est´a minha presta¸c˜ao de contas: um livro com n˜ao poucas contribui¸c˜oes para o Mundo e para a Eternidade!...

Todo meu sacrif´ıcio-f´e, Deus me retribuiu com juros exorbitantes. E aqui est´a impl´ıcito: Sacrif´ıcio-ren´uncia-pen´uria n˜ao somente meus; mas tamb´em de toda a minha fam´ılia, que nestes anos todos foram privados de conforto e algumas vezes at´e do m´ınimo necess´ario.

Sei que este livro ´e apenas uma semente, mas adubada − como foi − por minha ren´uncia-sacrif´ıcio tenho certeza que jamais morrer´a...

N˜ao deis aos c˜aes o que ´e santo: nem deiteis aos porcos as vossas p´erolas, para que n˜ao suceda que eles lhes ponham os p´es em cima, e tornando-se con- tra v´os, vos despedacem.

(Mt 7 : 6)

“A obten¸c˜ao de um resultado novo em pesquisa ´e, para o cientista, uma fonte de in- tenso prazer, ligado intimamente ao instinto de cria¸c˜ao e eternidade, pois, independen- temente da importˆancia da contribui¸c˜ao no contexto da ciˆencia, ou de sua utiliza¸c˜ao, re- presenta algo acrescentado ao conhecimento humano que marca sua existˆencia na terra.” Pierre Curie (F´ısico)

A primeira edi¸c˜ao deste livro chegou `as m˜aos de um ilustre matem´atico brasileiro, Prof. Ubiratan D’Amb´osio, que me escreveu o seguinte email.

O endere¸co [email protected] foi recusado.

Gostaria que ele recebesse esse e-mail. De fato, gostei muito do livro.

Um Abra¸co, Ubiratan

−−−−− Original Message −−−−−

From: Ubiratan D,Ambr´osio

To: Gentil Lopes da Silva

Sent: Saturday, November 06, 2004 10:46 AM

Subject: Obrigado pelo livro

Caro Gentil

Muito obrigado pelo livro que vocˆe mandou pelo Chateau. Est´a muito bom, interessante e cheio de provoca¸c˜oes. D´a oportunidade para os estudantes se iniciarem em pesquisas. Vocˆe fala que o livro destina-se a alunos de 2o e 3o graus. Eu diria que ´e tamb´em para a p´os. Aritm´etica continua sendo grande fonte de problemas de pesquisa que podem ser trabalhados com relativamente pouco da complicada linguagem, nota¸c˜oes e resultados que caracterizam muitas ´areas da matem´atica. S˜ao formula¸c˜oes simples que podem ser trabalhados com pouca t´ecnica, exigindo imagina¸c˜ao e criativi- dade. Vou recomendar aos meus alunos. Mas tive um problema. Nos sites das livrarias, o livro n˜ao existe. E nem est´a no site da Thesaurus. Recomen- dar um livro implica dizer como adquirir. O que vocˆe diz? Siga em frente com suas id´eias. As suas reflex˜oes iniciais, a sua escolha de ep´ıgrafes, e a pr´opria capa, s˜ao uma grande contribui¸c˜ao para um novo pensar na urgente renova¸c˜ao da educa¸c˜ao em todos os n´ıveis. A sua trajet´oria desde seus estu- dos, lecionando em condi¸c˜oes prec´arias, e com as dificuldades para publicar o livro ´e um exemplo, muit´ıssimo frequente, do processo (certamente inten- cional) de desencorajar o florescimento dos criativos, e abrir o espa¸co para os executores de id´eias de outros.

Uma curiosidade: vocˆe sabia que o Edouard Lucas, que vocˆ´ e cita na p´agina 393, ´e quem fez a revis˜ao t´ecnica para a publica¸c˜ao p´ostuma do livro “M´elanges de Calcul Int´egral”, de Joaquim Gomes de Souza, o Souzinha, em 1882? O livro havia sido recusado por in´umeras editoras enquanto ele estava vivo.

Muito obrigado.

Um abra¸co, Ubiratan

Nota: Como o Prof. Ubiratan n˜ao estava conseguindo acessar o meu antigo email ([email protected]) ele enviou seu email a um seu ex-aluno (saudoso Chateaubriand), colega meu, que me repassou.

Sum´ario

• 1 Sequˆencias aritm´eticas de ordem m
  • 1.1 Introdu¸c˜ao
  • 1.2 Defini¸c˜ao
  • 1.3 F´ormula do termo geral de uma P.A.m
    • 1.3.1 Calculadora HP Prime−Computa¸c˜ao alg´ebrica
  • 1.4 P.A.m em fun¸c˜ao dos seus pr´oprios termos
  • 1.5 Propriedade fundamental de uma P.A.m
  • 1.6 Soma dos termos de uma P.A.m
    • 1.6.1 Uma f´ormula in´edita
  • 1.7 Exerc´ıcios propostos
  • 1.8 Apˆendices - • Princ´ıpio da indu¸c˜ao finita - • Triˆangulo aritm´etico de Pascal - • Demonstra¸c˜oes
• 2 Somas e Diferen¸cas de ordem m
  • 2.1 Diferen¸cas de ordem m
  • 2.2 Somas de ordem m
  • 2.3 Unifica¸c˜ao de sequˆencias sob as P.A.m
  • 2.4 Exerc´ıcios propostos
  • 2.5 Apˆendice - • Demonstra¸c˜oes
• 3 Sequˆencias geom´etricas de ordem m
  • 3.1 O princ´ıpio da dualidade
  • 3.2 Defini¸c˜ao
  • 3.3 F´ormula do termo geral de uma P.G.m
  • 3.4 P.G.m em fun¸c˜ao dos seus pr´oprios termos
  • 3.5 Propriedade fundamental de uma P.G.m
  • 3.6 Produto dos termos de uma P.G.m
  • 3.7 Quocientes de ordem m
  • 3.8 Produtos de ordem m
  • 3.9 C´alculo de combina¸c˜oes
  • 3.10 Exerc´ıcios propostos
  • 3.11 Apˆendices - • Demonstra¸c˜oes
• 4 Sequˆencias Especiais
  • 4.1 Constru¸c˜ao de sequˆencias
    • 4.1.1 progress˜ao geom´etrica-aritm´etica
    • 4.1.2 progress˜ao aritm´etica peri´odica
    • 4.1.3 progress˜ao geom´etrica-aritm´etica-aritm´etica
    • 4.1.4 Um (ex)problema em aberto
  • 4.2 Produto dos termos de uma P.A.
    • 4.2.1 progress˜ao aritm´etica-geom´etrica
  • 4.3 Apˆendice
  • 4.4 Exerc´ıcios propostos
• 5 Progress˜ao aritm´etica bidimensional
  • 5.1 Introdu¸c˜ao
  • 5.2 No¸c˜oes iniciais: sequˆencias duplas
  • 5.3 F´ormula do termo geral de uma PA-2D
    • 5.3.1 Propriedades numa PA-2D
  • 5.4 Soma dos termos de uma PA-2D
  • 5.5 Lineariza¸c˜ao de sequˆencias duplas
  • 5.6 Equa¸c˜oes de lineariza¸c˜ao
  • 5.7 Soma em uma sequˆencia linearizada
  • 5.8 Aplica¸c˜oes da lineariza¸c˜ao
  • 5.9 Exerc´ıcios propostos
  • 5.10 Apˆendice - • Um pouco de filosofia `as vezes faz bem ao esp´ırito - • A filosofia do Nada − do Vazio, da Vacuidade - • Demonstra¸c˜oes
• 6 Progress˜ao geom´etrica bidimensional
  • 6.1 Introdu¸c˜ao
  • 6.2 F´ormula do termo geral de uma PG-2D
    • 6.2.1 Propriedades numa PG-2D
  • 6.3 Soma do termos de uma PG-2D
  • 6.4 Soma do termos de uma PG-2D infinita
  • 6.5 Produto dos termos de uma PG-2D
  • 6.6 Lineariza¸c˜ao
  • 6.7 Aplica¸c˜oes da lineariza¸c˜ao
  • 6.8 Exerc´ıcios propostos
  • 6.9 Apˆendice - • Demonstra¸c˜oes
• 7 Progress˜ao aritm´etica tridimensional
  • 7.1 Introdu¸c˜ao
  • 7.2 No¸c˜oes iniciais: sequˆencias triplas
  • 7.3 F´ormula do termo geral de uma PA-3D
    • 7.3.1 Propriedades numa PA-3D
  • 7.4 Soma dos termos de uma PA-3D
  • 7.5 Lineariza¸c˜ao de sequˆencias triplas
  • 7.6 Equa¸c˜oes de lineariza¸c˜ao
  • 7.7 Soma em uma sequˆencia linearizada
  • 7.8 Aplica¸c˜oes da lineariza¸c˜ao
  • 7.9 Exerc´ıcios propostos
  • 7.10 Apˆendice
• 8 Mais aplica¸c˜oes
  • 8.1 Um algoritmo para vencer na Torre de Han´oi
  • 8.2 Quadrados e cubos m´agicos
    • 8.2.1 Quadrados m´agicos
    • 8.2.2 Cubos m´agicos
  • 8.3 Apˆendice
    •  Representa¸c˜ao bin´aria e Torre de Han´oi
    •  Uma transforma¸c˜ao linear especial
• 9 Programando a HP Prime
  • 9.1 Introdu¸c˜ao `a programa¸c˜ao da HP Prime
    • 9.1.1 Programa¸c˜ao num´erica
    • 9.1.2 Programa¸c˜ao alg´ebrica
  • 9.2 Listas e Matrizes
    • 9.2.1 Listas
    • 9.2.2 Matrizes
  • 9.3 Estruturas de Programa¸c˜ao
    • 9.3.1 Estruturas c´ıclicas
    • 9.3.2 Estruturas condicionais
  • 9.4 Algumas fun¸c˜oes especiais - • Tabela-Resumo
    • • Resolvendo equa¸c˜oes
  • 9.5 Polinˆomios
  • 9.6 N´umero inteiro
• 1 a Edi¸c~ao deste livro/Ano

Cap´ıtulo 1

Sequˆencias aritm´eticas de ordem m

Nem vocˆe nem eu nem ningu´em sabemos o que faz um matem´atico vingar. N˜ao ´e uma quest˜ao de inteligˆencia. Conhe¸co matem´aticos mais h´abeis que eu, mas que n˜ao tiveram sorte. Considere dois mineiros: um talvez seja perito em geologia, mas ´e o mineiro ignorante quem acha as pepitas douradas. (Louis J. Mordell/matem´atico britˆanico)

1.1 Introdu¸c˜ao

O pr´e-requisito para a leitura deste cap´ıtulo ´e o Princ´ıpio da Indu¸c˜ao Finita e o Triˆangulo Aritm´etico de Pascal (TAP) que constam em um apˆendice, nas p´aginas 64 e 68.

Posso afirmar que todo este livro se iniciou a partir de uma simples ob- serva¸c˜ao. Estava eu em dado momento necessitando da f´ormula para a soma dos quadrados dos n primeiros n´umeros naturais:

12 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 =?

Como n˜ao lembrava da f´ormula me propus a deduz´ı-la. Por onde come¸car? Me veio a ideia de fazer diferen¸cas sucessivas entre os termos da sequˆencia,

1 4 9 16 25...

assim:

− − − −

Ou ainda,

Interregno cultural

Ap´os a conclus˜ao deste livro†^ me deparei na literatura com as progress˜oes aritm´eticas de ordem m, logo dei-me conta de que a minha defini¸c˜ao destas sequˆencias ´e diferente da que consta na literatura, o que me permitiu obter v´arias f´ormulas que n˜ao aparecem nos outros livros. Antes de apresentar a minha defini¸c˜ao vejamos a que consta na literatura∗: (p. 7)

Uma progress˜ao aritm´etica de segunda ordem ´e uma sequˆencia (an ) na qual as diferen¸cas ∆an = an+1 − an , entre cada termo e o termo anterior, formam uma progress˜ao aritm´etica n˜ao-estacion´aria.

Exemplo 15. A seq¨uˆencia (an ) = (1, 3 , 6 , 10 , 15 , 21 ,.. .) ´e uma pro- gress˜ao aritm´etica de segunda ordem porque a seq¨uˆencia das diferen¸cas (bn ) = (an+1 − an ) = (2, 3 , 4 , 5 , 6 ,.. .) ´e uma progress˜ao aritm´etica n˜ao- estacion´aria.

De modo geral, uma progress˜ao aritm´etica de ordem k (k > 2) ´e uma seq¨uˆencia na qual as diferen¸cas entre cada termo e o termo anterior formam uma progress˜ao aritm´etica de ordem k − 1.

Ent˜ao, retomando, como disse, sem ter conhecimento de que j´a exis- tiam as progress˜oes aritm´eticas de ordem m, tomei um caminho alterna- tivo. A prop´osito, este caminho alternativo me permitiu n˜ao apenas dedu- zir v´arias f´ormulas in´editas como, ademais, tamb´em definir as progress˜oes geom´etricas de ordem m; nos livros que consultei n˜ao encontrei referˆencia a estas sequˆencias.

Para o que se segue, necessitaremos de dois ´ındices para localizar um termo qualquer nestas sequˆencias: um que se refira ao pr´oprio termo e, outro, que se refira `a ordem da sequˆencia. Sendo assim, convencionamos:

anm = n - ´esimo termo da P.A. de ordem m.

Por exemplo, observe a disposi¸c˜ao dos ´ındices no diagrama a seguir a 13 a 23 a 33 a 43 a 53 a 63... P.A.^3 a 12 a 22 a 32 a 42 a 52... P.A.^2 a 11 a 21 a 31 a 41... P.A.^1 a 10 a 20 a 30... P.A.^0

Nota: Em todo este livro consideraremos

n ∈ N = { 1 , 2 , 3 ,... } e m ∈ N ∪ { 0 },

a menos que o contr´ario seja explicitado. †Refiro-me `a primeira vers˜ao, 1993. ∗A matem´atica do ensino m´edio − volume 2 / Elon Lages Lima, et. all; 6.ed. Rio de Janeiro: SBM 2006.

1.2 Defini¸c˜ao

O nosso caminho alternativo (in´edito) consta da seguinte

Defini¸c˜ao 1. Chama-se progress˜ao aritm´etica de ordem m ( P.A.m^ ) uma sequˆencia dada pela seguinte f´ormula de recorrˆencia:   

 

an 0 = r, r 6 = 0, n ≥ 1;

a 1 j = aj , j = 1, 2 ,... , m;

anm = a(n−1)m + a(n−1)(m−1) , m ≥ 1 , n ≥ 2.

Onde:

(i) m ≥ 1 ´e um natural arbitrariamente fixado.

(ii) r e aj s˜ao constantes dadas. Podemos chamar r de raz˜ao ou semente da P.A. de ordem m. Por defini¸c˜ao, r 6 = 0.

(iii) an 0 = r (n ≥ 1) significa que uma P.A. de ordem zero tem todos os seus termos constantes (´e uma sequˆencia constante).

Exemplo: Vejamos a ideia que est´a por tr´as desta defini¸c˜ao. Vamos cons- truir uma P.A.^2. Ent˜ao, fixando m = 2, resulta:     

an 0 = r, r 6 = 0, n ≥ 1;

a 1 j = aj , j = 1, 2;

an 2 = a(n−1)2 + a(n−1)(2−1) , n ≥ 2.

Devemos fornecer trˆes termos, representados por uma “bolinha” na figura:

a 10

a 11

a 12

O termo a 10 ´e repetido indefinidamente para a direita, assim:

a 11

a 12

a 10 a 10 a 10 a 10

Somando estas n − 1 igualdades e fazendo os cancelamentos apropriados obtemos:

anm = a 1 m + S(n−1)(m−1) (1.1)

Onde: S(n−1)(m−1) ´e a soma dos n − 1 termos iniciais da P.A.m−^1.

Prova: Indu¸c˜ao sobre n.

n = 1: a 1 m = a 1 m + S(1−1)(m−1) ︸ ︷︷ ︸ = 0

Suponhamos a equa¸c˜ao v´alida para n = p, isto ´e: (H.I.)

apm = a 1 m + S(p−1)(m−1)

E provemos que vale para n = p + 1, isto ´e: (T.I.)

a(p+1)m = a 1 m + S((p+1)−1)(m−1)

Da f´ormula de recorrˆencia, temos: (def. 1, p. 16)

a(p+1)m = apm + ap(m−1) = a 1 m + S(p−1)(m−1) + ap(m−1) = a 1 m + S((p+1)−1)(m−1)



Nota: Alertamos o leitor a n˜ao causar confus˜ao entre dedu¸c˜ao e demons- tra¸c˜ao de uma f´ormula; pois, n˜ao raro, s˜ao coisas distintas. Por vezes uma dedu¸c˜ao n˜ao tr´as em si a demonstra¸c˜ao e, reciprocamente, por vezes a de- monstra¸c˜ao n˜ao d´a nenhuma indica¸c˜ao de como a f´ormula foi obtida.

Em todo este livro adotaremos a seguinte extens˜ao do coeficiente bino- mial:

( n r

n! r! (n − r)!

, se 0 ≤ r ≤ n;

0 , se r > n ou r < 0. para todo n, r ∈ Z.

1.3 F´ormula do termo geral de uma P.A.m

N˜ao seria sensato − e nem mesmo razo´avel − recorrer `a defini¸c˜ao (p. 16) para o c´alculo de um termo qualquer de uma P.A.m^. Nosso objetivo agora ser´a demonstrar uma f´ormula que nos forne¸ca diretamente qualquer termo de qualquer P.A.m^. Vamos por passos:

(i) m = 1 : Utilizando o lema 1 (p. 17), temos:

an 1 = a 11 + S(n−1)(1−1)

onde, S(n−1)0 ´e a soma dos n − 1 termos iniciais da P.A. de ordem zero, vale:

S(n−1)0 = r︸ + r +︷︷ · · · + r︸ (n−1) termos

= (n − 1) r

Sendo assim, temos:

an 1 = a 11 + (n − 1) r (1.2)

E a f´´ ormula do termo geral de uma P.A.^1.

(ii) m = 2 : Utilizando o lema 1 (p. 17), temos:

an 2 = a 12 + S(n−1)(2−1) (1.3)

onde, S(n−1)1 ´e a soma dos n − 1 termos iniciais da P.A.^1. Vamos deduzir esta f´ormula utilizando a equa¸c˜ao (1.2), assim:

a 11 = a 11 a 21 = a 11 + r a 31 = a 11 + 2r · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · an 1 = a 11 + (n − 1) r

Somando estas n igualdades, resulta:

a 11 + a 21 + a 31 + · · · + an 1 = (a 11 + a 11 + a 11 + · · · + a 11 )

1 + 2 + · · · + (n − 1)

r

O seguinte resultado j´a ´e conhecido,

1 + 2 + · · · + n = n(n + 1) 2

⇒ 1 + 2 + · · · + n − 1 = (n − 1)n 2

Portanto,

Sn 1 = na 11 + n(n − 1) 2

r