Números complexos Mat, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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números complexos

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Ensino Médio, 3º ano

Operações envolvendo números

complexos

números complexos

Para iniciarmos os nossos estudos a respeito de

Operações envolvendo números complexos, vamos

começar com uma breve revisão sobre:

Igualdade de complexos;

Oposto de um número complexo;

Conjugado de um número complexo.

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números complexos

EXEMPLO 1

Se x e y são números reais, sob que condições os complexos (x –

1) + (y + 2)i e 3 – 5i são iguais?

Igualando os complexos, temos:

(x – 1) + (y + 2)i = 3 – 5i

⇒ x – 1 = 3 (^) ⇒ x = 4

⇒ y + 2 = –5 ⇒ y = –

Resolução:

números complexos

EXEMPLO 2

Determine os valores reais de m e n para que os complexos (m –

5) + ni e (n + 3) + (2m + 1)i sejam iguais?

Igualando os complexos, temos:

(m – 5) + ni = (n + 3) + (2m + 1)i

m – 5 = n + 3

n = 2m + 1

⇒ m – 5 = 2m + 1 + 3 ⇒ – m = 9

⇒ m = – 9

⇒ n = 2(–9) + 1 ⇒ n = – 17

Resolução:

números complexos

Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o

número é multiplicado por -1)

a) 3 + 4i =

b) –3 + i =

c) 1 – i =

d) –2 + 5i =

EXEMPLO

• 3 – 4i

3 – i

• 1 + i

2 – 5i

números complexos

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado um número complexo z = (a, b), consideremos o par

ordenado simétrico a z em relação ao eixo x.

Tal par é chamado conjugado de z, e é indicado por z.

z = a + bi ⇒ –z = – (a + bi) = – a – bi z = a + bi = a – bi

números complexos

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE COMPLEXOS

Para adicionar ou subtrair dois números complexos devemos

adicionar ou subtrair as suas partes reais e imaginárias ,

separadamente.

Se z 1

= a + bi e z 2

= c + di são dois números complexos, então a sua

soma é um outro número complexo dado por z 1

• z 2

= ( a + c ) + ( b +

d ) i e sua diferença é um outro número complexo dado por z 1

• z 2

( a - c ) + ( b - d ) i.

números complexos

EXEMPLO

Calcule: (somam-se/subtraem-se as partes reais e as partes

imaginárias separadamente)

a) (2 + 5i) + (3 + 4i) = (^) (2 + 3) + (5i + 4i) = 5 + 9i

b) i + (2 – 5i) = i + 2 – 5i = 2 – 4i

c) (2 + 5i) – (3 + 4i) = 2 + 5i – 3 – 4i = – 1 + i

d) (1 + i) – (1 – i) = 1 + i – 1 + i = 2i

números complexos

Qualquer potência de i

n , n natural, pode ser calculada a partir das

quatro primeiras.

i

0 = 1

i

1

= i

i

2 = –1 i

3

= –i

POTÊNCIAS DE I

O valor de i

n

é o mesmo de i

r

, sendo r o resto da divisão de n por

números complexos

EXEMPLOS

1º) Calcular i

42

+ i

37

.

i

42

= i

2

= –1 i

37

= i

1

= i

i

42

• i

37

= –1 + i

2º) Calcular i

4n – 2 .

i

4n – 2

=

i

4n

i

2

(i

4

)

n

n

i

4n – 2

= –

números complexos

Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a

soma ou subtração)

a) (2 + 3i) (3 – 2i)

= (2)(3) – (2)(2i) + (3i)(3) – (3i)(2i)

= 6 – 4i + 9i – 6i

2 = 6 + 5i + 6 = 12 + 5i

b) (1 + 3i) (1 + i)

= (1)(1) + (1)(i) + (3i)(1) + (3i)(i)

= 1 + i +3i + 3i

2

= 1 + 4i – 3 = – 2 + 4i

EXEMPLO 1

números complexos

EXEMPLO 2

Determinar o complexo z que satisfaz a igualdade seguinte 2z +

5z = 7 + 6i.

Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos

2z + 5z = 7 + 6i

2(a + bi) + 5(a – bi) = 7 + 6i

⇒ (^) 2a + 2bi + 5a – 5bi = 7 + 6i

⇒ 7a – 3bi = 7 + 6i

7a = 7

• 3b = 6

⇒ ⇒ (^) a = 1 e b = – z = 1 – 2i ⇒

Resolução:

números complexos

Resolvendo o sistema, chegamos a:

2a + b = 8

2b – a = 1 x (2)

2a + b = 8

4b – 2a = 2

5b = 10

b = 2

⇒ 2a + 2 = 8

⇒ a = 3

⇒ z = a + bi

⇒ z = 3 + 2i

números complexos

 Sejam dois números complexos, z 1

e z 2

, com z 2

≠ 0, definimos a divisão

multiplicando ambos os números pelo conjugado do complexo do

denominador.

DIVISÃO ENTRE COMPLEXOS

z 1

z 2

. z 2 . z 2

z 1

z 2