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Introdução
Neste trabalho utilizaremos uma estrutura de edifício simplificada, com 16 pavimentos iguais, inclusive no carregamento, com planta baixa duplamente simétrica e com ligações centradas entre vigas e pilares. Nosso intuito ao analisar esta estrutura extremamente simples é o de isolar o problema da avaliação dos efeitos de 2ª ordem nas edificações, utilizando análises lineares e não- lineares e os fatores α e γz.
Para a realização deste trabalho, utilizamos o programa FTOOL. Ele possui um solver linear interno e serve como interface gráfica para a utilização do programa ADINA, responsável pela análise não- linear dos pórticos planos. Além disso o programa é capaz de dimensionar seções de concreto armado submetidas à flexão normal composta.
Dados
Projeto Arquitetônico
O edifício exemplo é constituído por 16 andares tipo, com distância de piso a piso de 2,80m. O projeto arquitetônico do pavimento tipo é indicado na figura abaixo. As paredes possuem espessura de 15cm.
600
600
600 600
Figura 1: Projeto arquitetônico do pavimento tipo
Projeto Estrutural – Pré-Dimensioanamento
O pré-dimensionamento do pavimento tipo é indicado na Figura 2.
Para a determinação da altura das lajes foi utilizada a Equação (1). Além disso, embora não apresentemos neste trabalho, as lajes foram calculadas e verificadas com a espessura de 12cm.
n númerodebordos engastados
d( cm) 2 , 5 0 , 1 n (m) com 0 , (^7) y
l
l l l l l
Convencionalmente a altura das vigas é pré-dimensionada dividindo o vão em questão por um número entre 10 e 12,5. Vigas que fazem parte de pórticos de contraventamento precisam ter uma inércia um pouco maior, pois absorverão parte dos esforços horizontais. Desta forma utilizamos
uma altura de 60cm (l/10) para todas as vigas. Consideramos ainda que as vigas possuirão a mesma espessura dos tijolos utilizados para vedação (14cm) e que o edifício será revestido interna e externamente com argamassa numa espessura de 0,5cm.
As dimensões dos pilares foram determinadas inicialmente, estimando-se seu carregamento por meio de áreas de influência. Entretanto, as dimensões que apresentamos na Figura 2 já são fruto das reações verticais aplicadas pelas vigas (peso próprio e cargas verticais).
600
600
P7 (40/40) V3 (14/60)
V4 (14/60)
P4 (50/50)
P1 (40/40)
600
V2 (14/60)
V1 (14/60)
600
V5 (14/60) P8 (50/50)
V6 (14/60) P9 (40/40)
P5 (80/80)
P2 (50/50)
P6 (50/50)
P3 (40/40)
Figura 2 : Planta de formas do pavimento tipo
Materiais Utilizados e Disposições Construtivas
Neste exemplo utilizaremos concreto com fck = 25MPa e aço CA50A.
Consideramos também que a estrutura está num ambiente com classe de agressividade ambiental do tipo I. Para esta classe de agressividade, ABNT [1] prescreve que sejam utilizados cobrimentos iguais a 2cm para as lajes e 2,5cm para as vigas e pilares.
Vigas
O carregamento vertical aplicado às vigas é composto pela reação das lajes, peso próprio da viga e carga das paredes sobre as vigas. A seguir indicamos os valores dos carregamentos para as vigas tipo V1 e V2, bem como o modelo utilizado para calcular os esforços provenientes do carregamento vertical (segundo o item 14.6.7.1, em ABNT [1]).
V1=V3=V4=V
Tabela 3 – Carregamento sobre V1 (valores característicos) peso próprio = 2, paredes = 4, lajes (g) = 5, g = 11,96 kN/m
q (lajes) = 2,2 kN/m
600 600
g = 11,96 kN/m q = 2,20 kN/m
P1 P2^ P
140
140
Figura 4 : Viga V
V2=V
Tabela 4 – Carregamento sobre V2 (valores característicos) peso próprio = 2, paredes = 4, lajes (g) = 18, g = 25,25 kN/m
q (lajes) = 7,6 kN/m
q = 3,80 kN/m
g = 25,25 kN/m
600 600
P4 (^) P5 (^) P
140
140
Figura 5: Viga V
Pilares
O carregamento vertical atuante nos pilares é constituído pelo seu peso próprio e pelas reações (só carregamento vertical) das vigas.
Carregamento Horizontal
Vento
O efeito do vento no edifício foi calculado segundo a metodologia indicada em ABNT [3], com o coeficiente de arrasto determinado segundo seu item 6.3.
Dados:
v 0 = 40 m/s (localidade → São Paulo/SP) s 1 = 1,00 (terreno plano ou fracamente acidentado)
p 0 , 13
F 0 , 98
b 0 , 85 s (^2) r (Subúrbio densamente construído de grandes cidades e dimensão da edificação compreendida entre 20 e 50m)
s 3 = 1,00 (edificação residencial)
Coeficiente de Arrasto (Ca)
Vento na direção paralela aos eixos x e y (lembrando que a estrutura possui dois eixos de simetria):
C 1 , 34
h 44 , 8 m
I 12 , 4 m
I 12 , 4 m 2 a
1 ⇒ =
Tabela 5 – Carregamento proveniente do vento sobre a estrutura
Andar
Cota Piso (m)
Cota Média (m)
s (^2) (m/s)^ vk (kN/mwk (^2) ) Sexp (m^2 ) (^) (kN)Wk()* (^) (kNm)Mbase Wk
() (kN)** 16 o^ 44,80 43,40 1,001 40,03 0,982 35,00 46,07 2063,9 23, 15 o^ 42,00 40,60 0,992 39,70 0,966 35,00 45,31 1902,9 45, 14 o^ 39,20 37,80 0,984 39,35 0,949 35,00 44,51 1744,6 44, 13 o^ 36,40 35,00 0,974 38,97 0,931 35,00 43,66 1589,1 44, 12 o^ 33,60 32,20 0,964 38,56 0,912 35,00 42,76 1436,6 43, 11 o^ 30,80 29,40 0,953 38,13 0,891 35,00 41,80 1287,3 42, 10 o^ 28,00 26,60 0,941 37,65 0,869 35,00 40,76 1141,4 41, 09 o^ 25,20 23,80 0,928 37,13 0,845 35,00 39,64 999,1 40, 08 o^ 22,40 21,00 0,914 36,56 0,819 35,00 38,42 860,7 39, 07 o^ 19,60 18,20 0,898 35,91 0,790 35,00 37,07 726,6 37, 06 o^ 16,80 15,40 0,879 35,17 0,758 35,00 35,56 597,4 36, 05 o^ 14,00 12,60 0,857 34,30 0,721 35,00 33,82 473,4 34, 04 o^ 11,20 9,80 0,831 33,24 0,677 35,00 31,76 355,7 32,
nível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico. Ecs Ic - somatória da rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, permite-se considerar produto de rigidez Ecs Ic de um pilar equivalente de seção constante.
Para Ec permite-se adotar, nessa expressão e em todas as análises de estabilidade global, o valor do
módulo de elasticidade inicial ( E (^) cs = 0 , 85 ⋅ 5600 ⋅ fck (MPa) ).
Para a determinação da inércia equivalente (Ic) dos pórticos de contraventamento da estrutura exemplo, calculamos a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot, tal que, sob a ação do mesmo carregamento característico horizontal, este sofresse o mesmo deslocamento verificado no topo da estrutura de contraventamento submetida ao mesmo carregamento.
Ainda segundo ABNT [1], o valor limite α 1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios, valendo para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilares-parede. O valor de referência pode ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver pórticos.
Tabela 6 – Parâmetro de Instabilidade α - Valores Obtidos
Htot Nk (kN) Ecs (GPa) Ic (m^4 ) αα 44,80 26043 23,8 4,655 0,
Analisando o parâmetro de instabilidade obtido, verificamos que ele possui valor superior aos valores de referência (0,5 a 0,6) e que portanto os efeitos de 2ª ordem são importantes para esta estrutura.
Coeficiente γz
O coeficiente γz, de majoração dos efeitos finais com relação aos de 1ª ordem pode ser calculado de maneira simplificada pela expressão (ABNT [1]):
1 ,tot, d
tot,d
z
M
M
γ =
sendo: M1,tot,d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; ∆Mtot,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1 ª ordem.
Essa avaliação é efetuada a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, adotando- se os valores de rigidez dados nas equações (7), que estimam o efeito da não-linearidade física.
para vigas : (EI ) (^) sec = 0 , 4 ⋅EcIc para A’s ≠ As e (*)^ (7)
(EI ) (^) sec = 0 , 5 ⋅EcIc para A’s = As
para pilares : (EI ) (^) sec = 0 , 8 ⋅EcIc(*)
para estruturas de contraventamento compostas exclusivamente por vigas e pilares, pode-se considerar para ambas: (EI ) (^) sec = 0 , 7 ⋅EciIc
sendo
Ec : o módulo de elasticidade inicial do concreto ( E (^) ci = 5600 ⋅ fck (MPa) ) e
Ic : o momento de inércia da seção bruta de concreto (*) (^) valores de inércia utilizados nesta simulação
O valor de γz foi calculdado para as duas combinações de carregamento, e os resultados estão transcritos nas próximas tabelas.
Tabela 7 – Cálculo de γγ (^) z para a combinação de carregamento 1
Andar Cota Piso(m) (kN)Wd (kNm)M^1 Pd,andar (kN) (m)d (kNm)dM 16 o^ 44,80 19,35 866,8 2279 0,102 233, 15 o^ 42,00 38,38 1611,9 2279 0,101 229, 14 o^ 39,20 37,72 1478,7 2279 0,099 224, 13 o^ 36,40 37,03 1347,8 2279 0,096 217, 12 o^ 33,60 36,29 1219,5 2279 0,092 209, 11 o^ 30,80 35,51 1093,8 2279 0,087 198, 10 o^ 28,00 34,67 970,9 2279 0,081 185, 09 o^ 25,20 33,77 851,0 2279 0,075 170, 08 o^ 22,40 32,79 734,5 2279 0,068 154, 07 o^ 19,60 31,71 621,5 2279 0,060 135, 06 o^ 16,80 30,50 512,5 2279 0,051 115, 05 o^ 14,00 29,14 407,9 2279 0,041 94, 04 o^ 11,20 27,54 308,5 2279 0,032 71, 03 o^ 8,40 25,60 215,0 2279 0,022 49, 02 o^ 5,60 23,05 129,1 2279 0,012 27, 01 o^ 2,80 18,99 53,2 2279 0,004 8, T 0,00 8,20 0,0 0 0,000 0, M 1 ,tot, d 12422,6 ∆ Mtot,d 2325,
γ γ (^) z = 1,
Tabela 8 – Cálculo de γγ (^) z para a combinação de carregamento 2
Andar Cota Piso(m) (kN)Wd (kNm)M^1 Pd,andar (kN) (m)d (kNm)dM 16 o^ 44,80^ 32,25^ 1444,7^2077 0,171^ 354, 15 o^ 42,00^ 63,96^ 2686,5^2077 0,168^ 349, 14 o^ 39,20^ 62,87^ 2464,5^2077 0,164^ 341, 13 o^ 36,40^ 61,71^ 2246,4^2077 0,159^ 330, 12 o^ 33,60^ 60,49^ 2032,5^2077 0,153^ 317, 11 o^ 30,80^ 59,19^ 1823,0^2077 0,145^ 301, 10 o^ 28,00^ 57,79^ 1618,1^2077 0,136^ 281, 09 o^ 25,20^ 56,29^ 1418,4^2077 0,125^ 259, 08 o^ 22,40^ 54,65^ 1224,1^2077 0,113^ 234,
2 , 635 cm 1700
a (^16) o (^) andar = 2 , 07 cm≤ = l
Da avaliação da esbeltez da estrutura e de sua verificação em serviço, observa-se que apesar da estrutura ser esbelta, e consequentemente apresentar deslocamentos maiores que uma estrutura de nós fixos, a estrutura ainda apresenta deslocamentos em serviço inferiores aos máximos previstos em norma. Entretanto vemos que o comportamento da estrutura em serviço limita a esbeltez das estruturas, pois apesar de podermos dimensionar e modelar corretamente estruturas com efeitos de 2ª ordem maiores, estas podem não apresentar conforto e apresentar problemas em elementos não estruturais decorrentes de sua deformabilidade excessiva.
MODELO 1: Aproximação Linear, com a utilização do fator γγ z
Segundo ABNT [1], item 15.7.1, permite-se utilizar uma solução aproximada para o cálculo de estruturas de nós móveis que possuam valores para γz situados entre 1,1 e 1,3. Nestes casos, os esforços finais são avaliados a partir da majoração adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento avaliada por 0,95 γz. Desta forma, os esforços serão combinados da seguinte maneira para a obtenção dos esforços finais para dimensionamento:
(^ )
= + + ⋅γ ⋅
= + + ⋅γ ⋅
d 2 gk qk,vertical qk, vento
d 2 gk qk,vertical z qk,vento
d 1 gk qk,vertical qk,vento
d 1 gk qk,vertical z qk,vento
F 1 , 4 F 1 , 40 , 5 F 0 , 95 1 , 21 F
F 1 , 4 F 1 , 40 , 5 F 0 , 95 F
(Combinação 2 )
F 1 , 4 F 1 , 4 F 0 , 95 1 , 23 0 , 6 F
F 1 , 4 F 1 , 4 F 0 , 95 0 , 6 F
(Combinação 1 )
Nesta aproximação linear, foram utilizados dois modelos para a obtenção dos esforços finais. No primeiro, obtém-se os esforços decorrentes das cargas verticais (g+q), nas vigas e pilares, conforme representado na próxima figura.
V
g q
N (^) 34, 6,
74, 13,
74, 22,
154, 46,
34, 6,
74, 22,
(kN)
M (kNm)
(kN) (^) q N g
(kNm)M
V
Figura 6: Esforços verticais nas vigas (momentos fletores e reações nos pilares em valores característicos)
