O nucleo, Notas de estudo de Física

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´

INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS E NATURAIS

FACULDADE DE F´ISICA

TRABALHO DE F´ISICA NUCLEAR

Bel´em-Par´a

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´

INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS E NATURAIS

FACULDADE DE F´ISICA

O N´ucleo Atˆomico

Hugo Ara´ujo Machado

Bel´em-Par´a

1 O ´Atomo Nuclear

1.1 Hist´orico

Em 1911 os experimentos de dispers˜ao de Ernest Rutherford havia mostrado que o ´atomo consistia de um n´ucleo muito pequeno, da ordem de aproximadamente 10−^14 m de diˆametro, tamb´em constatou-se que existia part´ıculas que giravam ao redor do n´ucleo, a essas foram batizadas de el´etrons. Os el´etrons orbitavam em torno do n´ucleo e sua distˆancia em rela¸c˜ao ao n´ucleo eram enormes comparadas a dimens˜ao do n´ucleo, o que confirmou que a maior parte de massa do ´atomo se encontrava no n´ucleo do ´atomo. Anos mais tarde, o f´ısico dinamarquˆes Niels Bohr^1 dedicou-se a estudar o modelo atˆomico, tratando os seus estudos n˜ao mais com a mecˆanica cl´assica que Rutherford havia tratado, mas sim com os primeiros conceitos da teoria quˆantica, com o objetivo de comparar os resultados obtidos por meio da mecˆanica quˆantica com os resultados que se obteriam na mecˆanica cl´assica, Bohr enunciou o princ´ıpio da correspondˆencia. Segundo este princ´ıpio, a mecˆanica cl´assica representa o limite da mecˆanica quˆantica quando esta trata de fenˆomenos do mundo macrosc´opico. Mais tarde, com a teoria quˆantica de Schrodinger e Heisenberg foi poss´ıvel descrever corretamente a estrutura atˆomica, por´em os f´ısicos adotaram dois modelos do n´ucleo: o modelo da gota l´ıquida e o modelo de camadas. O modelo da gota l´ıquida ´e um modelo de f´ısica nuclear que trata o n´ucleo como uma gota de flu´ıdo nuclear incompres´ıvel, este flu´ıdo estaria composto por n´ucleons (pr´otons e nˆeutrons), que permanecem unidos devido `a for¸ca nuclear forte. A f´ısica atˆomica estuda principalmente os el´etrons localizados nas camadas e subcamadas ao redor do n´ucleo.

1.2 O N´ucleo

A estrutura nuclear mais simples ´e o dˆeuteron, que ´e formado apenas por um pr´oton e um nˆeutron unidos por uma for¸ca nuclear atrativa de grande intensidade.

(^1) foi um f´ısico dinamarquˆes cujos trabalhos contribu´ıram decisivamente para a compreens˜ao da estru- tura atˆomica e da f´ısica quˆantica.

As part´ıculas que formam o n´ucleo, os pr´otons e os nˆeutrons, s˜ao conhecidos como n´ucleons quando s˜ao parte do n´ucleo e s˜ao representados da seguinte forma:

AZ BN (1)

onde: Z ´e o n´umero atˆomico, indica o n´umero de pr´otons. N ´e o n´umero neutrˆonico, indica o n´umero de nˆeutrons. A = N + Z ´e o n´umero de massa. A exemplo, o n´ucleo de cloro 3517 Cl 18 tem Z = 17 pr´otons, N = 18 nˆeutrons e A = 17 + 18 = 35 n´ucleons. A partir desses n´umeros podemos caracterizar alguns n´ucleos como:

• Is´otopos: s˜ao n´ucleos que possuem o mesmo n´umero atˆomico e diferente n´umero de massa. A exemplo temos os n´ucleos de sil´ıcio 2814 Si e 2814 Si.
• Is´otonos: s˜ao n´ucleos que possuem o mesmo n´umero neutrˆonico. A exemplo temos os n´ucleos de carbono 146 C 8 e 157 C 8
• Is´obaros: s˜ao n´ucleos que possuem o mesmo n´umero de massa e diferente n´umero atˆomico. A exemplo temos o n´ucleo de oxigˆenio 168 O e o n´ucleo de nitrogˆenio 167 N

2 For¸cas Nucleares

Os pr´otons possuem cargas positivas e os nˆeutrons n˜ao possuem carga, por´em segundo a lei de Coulomb F^ ~ 12 = 1 4 πǫ 0

q 1 q 2 r^2 ˆr^ (2) era de se esperar que as cargas se afastassem fortemente entre si, por´em no interior do n´ucleo isso n˜ao acontece, devido haver entre os n´ucleons a existˆencia de uma classe de for¸cas atrativas muito intensa denominadas for¸cas nucleares ou intera¸c˜oes fortes.

Figura 2: O potencial da for¸ca nuclear mostra que esta ´e mais intensamente atrativa a menos de 1 fermi.

Em uma situa¸c˜ao de dispers˜ao, quando o pr´oton est´a muito longe do n´ucleo sua energia total ´e cin´etica. Por´em, quando o pr´oton aproxima-se do n´ucleo, o mesmo ´e repelido e come¸ca a receber a influˆencia de um potencial repulsivo de Coloumb

eV = k Ze

2 r (3) havendo um decremento em sua energia cin´etica em consequˆencia de um incremento em sua energia potencial. Assim, a energia total do pr´oton ser´a E = k Ze

2 r +^ KE^ (4) como a for¸ca que o pr´oton sofre influˆencia ´e repulsiva, temos dV dr <^0 (5) ent˜ao a for¸ca repulsiva ser´a da forma

F = −edV dr > 0 (6)

Figura 3: O potencial de Yukawa das for¸cas nucleares de curto alcance, comparado com a barreira de potencial de Coulomb

Conforme a figura 3 ´e poss´ıvel observar que a energia total do pr´oton ´e menor que a altura da barreira de potencial de Coulomb. As vistas da mecˆanica cl´assica o pr´oton alcan¸car´a a posi¸c˜ao B e sua energia cin´etica ser´a igual a energia potencial e quando isso ocorrer ele colidir´a com a barreira e recuar´a, sendo incapaz de ser atra´ıdo pelas for¸cas nucleares. Por´em, as vistas da mecˆanica quˆantica, atrav´es do efeito de tunelamento, o pr´oton ter´a uma probabilidade finita de penetrar a barreira de potencial de Coulomb e em seguida cair dentro do po¸co de potencial de Yukawa,onde estar´a associado as for¸cas nucleares, o qual potencial ser´a da forma:

V = −g^2 e

−αr r (7)

onde α = mc/ℏ e g ´e uma constante relacionada com o n´ucleo.

Usando nˆeutron como muni¸c˜ao para bombardiamento em n´ucleos, a barreira de poten- cial n˜ao oferece resistˆencia aos nˆeutrons. Sendo assim, os nˆeutrons sentem mais facilmente as for¸cas nucleares, em outras palavras, a uma distˆancia um pouco maior que as part´ıculas carregadas. Para esses casos o coeficiente r 0 = 1, 5. 10 −^15 m ou 1, 5 Fermi.

3.3 Densidade Nuclear

A densidade nuclear ρN pode ser calcualda aproximadamente a partir de ρN = (^) volume nuclearmassa nuclear (13)

a massa nuclear ´e aproximadamente

massa nuclear ∼= AmN (14)

onde A ´e o n´umero de massa e mN ´e aproximadamente a massa do n´ucleon e mN = 1 , 67. 10 −^27 Kg. O volume nuclear ´e da forma:

volume nuclear =^43 πR^3 =^43 π(A^1 /^3 )^3 = (^43 πr 03 )A (15)

Agora podemos escrever a densidade nuclear, como:

ρN = 4 mN^ A 3 πr^03 A^

= 4 mN 3 πr^03

∼= 2. 1017 Kg/m^3 (16)

Veja que ´e um valor numericamente muito alto o que indica que a densidade nuclear ´e muito alta. Por exemplo, o raio atˆomico e 10^4 vezes o raio nuclear e a sua densi- dade ´e aproximadamente 2. 105 Kg/m^3 , ou seja, ´e muito pequeno comparado a densidade do n´ucleo. Note, tamb´em, que estamos fazendo uma compara¸c˜ao ainda em escalas mi- crosc´opicas. Imagine agora em escalas macrosc´opicas, a exemplo a densidade da ´agua que ´e 1. 103 Kg/m^3.

4 Energia de Liga¸c˜ao Nuclear

Seja um n´ucleo qualquer, quando Z pr´otons e N se combinam para form´a-lo, parte da massa ∆m desaparece em forma de energia ∆E. A essa energia denominamos energia de liga¸c˜ao nuclear BE. Para separar n´ucleons de um n´ucleo est´avel ´e necess´ario oferecer uma energia min´ıma para o sistema e essa energia tamb´em ´e a energia de liga¸c˜ao nuclear. Sendo assim, podemos escrever que:

BE = (Zmp + N mn)c^2 − Mnc^2 (17)

onde Mn ´e a massa nuclear e c ´e a velocidade da luz. Por´em temos uma forma que depende da massa nuclear e como na maioria dos problemas temos a massa atˆomica Ma. Ent˜ao escreveremos a massa nuclear em termos da massa atˆomica, da seguinte forma:

Mn = Ma − Zme (18)

onde o termo Zme ´e a massa total dos el´etrons ´orbitais^3. A massa do pr´oton pode ser encontrado usando

mp = mH − me (19)

onde mH ´e a massa atˆomica do ´atomo de hidrogˆenio. Agora reescrevendo a equa¸c˜ao (17) para a energia de liga¸c˜ao nuclear, temos:

BE = Z(mH − me)c^2 + N mnc^2 − (Ma − Zme)c^2 (20)

simplificando ainda mais obtemos

BE = (ZmH + N mn)c^2 − Mac^2 (21)

(^3) as energias de liga¸c˜ao dos el´etrons s˜ao desprezadas porque s˜ao muito pequenas comparadas com as energias de liga¸c˜ao nucleares

5 Exerc´ıcios de Apoio

1. Quest˜ao: Em um experimento de espalhamento alguns n´ucleos de ouro 19779 O s˜ao bombardeados com part´ıculas α , 42 He. Calcule o raio nuclear do n´ucleo de ouro.
2. Quest˜ao: No problema anterior, sabe-se que a part´ıcula α tem uma energia cin´etica de 7, 68 M eV. Calcule o potencial de Coulomb em MeV? A distˆancia entre a part´ıcula α choca-se com a barreira de Coulomb?
3. Quest˜ao: Calcule a energia de liga¸c˜ao nuclear em M eV para um deutˆeron, 21 H?
4. Quest˜ao: Qual ´e a energia de separa¸c˜ao para arrancar um nˆeutron do 42 He 2?

6 Solu¸c˜ao dos Exerc´ıcios de Apoio

1. Solu¸c˜ao da 1a^ Quest˜ao: o raio ser´a dado por:

R = r 0 A^1 /^3 (29)

como a part´ıcula incidente possue carga, r 0 = 1, 2 F e a massa atˆomica do ouro ´e 197 u. Assim R = 1, 2(197)^1 /^3 = 6, 98 F (30)

2. Solu¸c˜ao da 2a^ Quest˜ao: no momento em que part´ıcula incide na barreira, pela conserva¸c˜ao da energia mecˆanica a energia cin´etica ser´a igual a energial potencial, assim V = Kα (31) V = 7, 68 M eV (32) Agora a distˆancia entre a part´ıcula α e o n´ucleo do ouro ser´a dado por:

V = k qαq dOuro (33)

d = k qαq VOuro (34)

como k = 8, 99. 109 N/m^2 c^2 e qα = 2e e qOuro = 79e logo temos que d = 8, 99. 109 2.^79 .(1,^6.^10

7 , 68. 1 , 6. 10 −^13 (35)

d = 29, 6 F ermi (36)

3. Solu¸c˜ao da 3a^ Quest˜ao: usando a equa¸c˜ao da energia de liga¸c˜ao:

BE = (ZmH + N mn) − Ma (37) temos que ZmH = 1 X 1 , 007825 = 1, 007825 (38) N mn = 1 X 1 , 007825 = 1, 007825 (39) como a massa atˆomica do deutˆeron ´e Ma = 2, 000000 assim BE = 2, 015650 − 2 , 000000 = 0, 01565 (40) j´a que 1 u = 931, 48 M eV temos que BE = 0, 01565 X 931 , 48 = 14, 58 M eV (41)

4. Solu¸c˜ao da 4a^ Quest˜ao: Quando se remove um nˆeutron do n´ucleo de 42 He temos que:

(^42) He → 32 He + 1 N (42)

segundo o pr´ıncipio da conserva¸c˜ao da massa. Logo, a energia de separa¸c˜ao do n´ucleo se dar´a por: SE = ( massa do 3 He + mH ) − Ma (43) como a massa do 3 He = 3 , 000000, a massa do H = 1 , 007825 e a massa do (^42) He = 4, 002602. Logo, temos:

SE = 4, 007825 − 4 , 002602 = 0, 005223 u (44) em M eV temos que: SE = 0, 005223 X 931 , 48 = 4, 86 M eV (45)