Baixe Análise de Campos Elétricos e Magnéticos: Equações de Maxwell e Propagação de Ondas e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia de micro-ondas avançada, somente na Docsity!
Ondas Planas em Meios Ilimitados
N
um meio homogêneo ilimitado, uma onda eletromagnética se propaga sem sofrer in- fluência de nenhuma condição de contorno. Este tipo de meio admite vários tipos de ondas progressivas como, por exemplo, a onda esférica, a cilíndrica, o feixe gaussia- no, dentre outras. Cada um desses tipos de onda é solução de uma equação de onda de Helmholtz resolvida em um sistema de coordenadas específico. Quando o sistema de coorde- nadas é o retangular (cartesiano ortogonal), uma solução possível corresponde à chamada onda plana uniforme e ilimitada. Este capítulo é dedicado ao estudo desta onda e das grandezas físicas relacionadas.
1 INTRODUÇÃO
Essencialmente, pode-se compreender o fenômeno da propagação de uma onda ele- tromagnética num dado meio com o auxílio da Figura 1. O meio de propagação pode ser o vácuo ou um material qualquer (linear, isotrópico e homogêneo). No caso deste texto, é um dielétrico, com ou sem perdas ôhmicas. Considerando-se um fio condutor vertical imerso neste meio, através do qual é estabelecido um campo elétrico variável no tempo, e ( t )
, aparecerá
uma densidade de corrente elétrica variável no tempo, j ( t )
, colinear com o primeiro e obede-
cendo a j e
. Isto está representado esquematicamente pela seta vertical na Figura 1. Em
metais, a condutividade assume valores muito elevados (da ordem de 10 7 S/m), e assim, para
manter um valor finito de j ( t )
, a amplitude de e ( t )
necessária no interior do condutor deve
ser muito pequena, mas não nula (é quase desprezível).
Figura 1 – Propagação de onda eletromagnética.
ONDAS PLANAS EM MEIOS ILIMITADOS 2
Na sequência, de acordo com a lei de Ampére, h j e / t
, mais especifica-
mente, devido à primeira parcela no seu lado esquerdo, ou seja, a corrente j ( t )
na Figura 1,
dá-se origem a uma distribuição de linhas de campo magnético h ( t )
circundando o fio condu-
tor. Isto está representado esquematicamente pelo primeiro laço azul na Figura 1. Como h ( t )
é
variável no tempo, pela lei de Faraday, e h / t
^
, dá-se origem a uma distribuição de
linhas de campo elétrico e ( t )
, envolvendo as linhas de campo magnético precedentes. Isto está
representado pelo primeiro laço em roxo na Figura 1. Ao contrário do que ocorre no interior do condutor, a amplitude deste novo campo elétrico e ( t )
distribuído no meio de propagação (die-
létrico) não é desprezível. Por sua vez, como e ( t )
também é variável no tempo, devido à se-
gunda parcela da lei de Ampére (a corrente de deslocamento, e / t
), cria-se outra distribui-
ção de linhas de campo magnético em torno do campo elétrico precedente. Isto corresponde ao segundo laço em cor azul na Figura 1. A partir daí, este processo se repete continuamente, e, uma frente de onda avança para longe do condutor central.
Na realidade, este processo ocorre para todas as direções radiais em torno do fio con- dutor, e constitui a base para a irradiação de onda eletromagnética em antenas do tipo dipolo ou monopolo elétricos. Isto pode ser observado pelo esquema da Figura 2. Portanto, a rigor, a onda eletromagnética seria cilíndrica, porém, quando observada a uma grande distância do condutor central, o raio de curvatura da frente de onda é tão grande (comparada com a dimen- são do observador) que esta pode ser aproximada por uma porção de um plano.
Figura 2 – Onda aproximadamente plana no campo distante. Constitui interesse neste capítulo o estudo da propagação da onda plana no meio ilimi- tado. Contudo, a fim de simplificar os cálculos, não será levado em conta o gerador da radiação como, por exemplo, o fio condutor da Figura 1 (a antena). Esta estratégia é regularmente ado- tada por vários autores. Isto não significa que uma onda eletromagnética possa existir sem uma fonte geradora; significa, simplesmente, que esta informação não será incorporada nas equa- ções de Maxwell. Em outras palavras, considerar-se-á que a radiação foi gerada, não importa como, e lançada ao meio ilimitado, e, que a análise contemplará apenas o estudo dos fenôme- nos envolvidos na propagação dessa onda. A solução da equação de onda assim estabelecida não conterá termos forçantes e, por isso, corresponderá à chamada “resposta livre”, ou seja, o conjunto de todas as soluções possíveis da equação de onda. No caso particular de estruturas guiadas, por exemplo, não significa que todas essas soluções possíveis estarão se propagando simultaneamente no guia. As soluções que efetivamente se propagarão no guia dependerão, dentre outras, das características específicas da fonte (gerador ou alimentador). Somente neste estágio da análise é que as informações sobre a fonte serão importantes.
2 EQUAÇÃO DE ONDA DE HELMHOLTZ
A explicação qualitativa apresentada acima, para o fenômeno de propagação de onda eletromagnética, será agora quantificada matematicamente a partir das equações de Maxwell.
ONDAS PLANAS EM MEIOS ILIMITADOS 4
discutido em cursos de pós-graduação. De fato, em problemas de antenas, por exemplo, costu- ma-se informar sobre as propriedades das fontes geradoras de radiação (ou alimentadores),
J F
, conduzindo-se a soluções da equação de onda específicas (unicidade) para um dado tipo
de alimentação.
Conforme discutido anteriormente, se o interesse for apenas o estudo da propagação da onda eletromagnética, as informações sobre a fonte geradora não serão consideradas nas equações de Maxwell. Com isso, o problema de como acoplar um ou outro tipo de onda (ou modo de propagação) a uma dada estrutura de guiamento fica postergado para um estágio pos- terior da análise. Garante-se, contudo, que tal tipo de abordagem é possível e eficiente para muitos casos práticos.
Por conta disto, na sequência, o termo JF
será desconsiderado na análise, fazendo-se J F
=0 em (5) e (6). Nesta situação, ambas as equações tornam-se simétricas, representadas
simultaneamente por:
^2 F ^2 F 0
sendo que F
pode representar tanto E
quanto H
indistintamente. Por sua vez, a constante
é definida de tal forma que
2 j ( j ) (8)
A equação (7) é denominada equação de onda homogênea de Helmholtz, e, a constan-
te complexa (medida em m-1^ ) é conhecida como constante de propagação complexa. É jus-
tamente a simetria de (7) relativamente à E
ou H
que torna vantajoso e mais simples abordar o problema em termos de um laplaciano vetorial (em vez de um sistema 6×6 de equações dife-
renciais acopladas). Uma vez resolvido (7) para E
, tem-se que a solução para H
deve ser similar (embora um deles seja medido em V/m e outro em A/m). Com isto, basta resolver (7) uma única vez.
No caso de meios sem perdas ôhmicas, tem-se que =0, e assim, (7) torna-se
^2 F K^2 F 0
sendo que a constante fica reduzida a j jK , na qual K é conhecido como cons-
tante de fase, medida em rad/m:
K (10)
A resolução de (9) é suficiente para abordar muitos fenômenos envolvendo a propaga- ção de onda eletromagnética em dielétricos sem perdas como, por exemplo, na maior parte do capítulo sobre reflexão e refração entre dois meios. Contudo, neste texto, será estudada a solu- ção da equação geral (7), com perdas, por conduzir a resultados mais próximos da prática. Além disso, para efeito de generalidade, aborda-se a solução da equação de onda no espaço tridimensional.
ONDAS E LINHAS DE COMUNICAÇÕES 5
3 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ONDA
Equações como a (7) são bem conhecidas pelos matemáticos, em particular, quando resolvidas no sistema de coordenadas retangular. Neste caso, o interesse concentra-se em se
determinar o vetor F Fx x ˆ^ Fyy ˆ Fzz ˆ
, sendo F (^) x Fx ( x , y , z ), etc. Com isto, o laplaciano
vetorial envolve três laplacianos escalares:
^2 F ^2 Fx x ˆ ^2 Fyy ˆ^2 Fz z ˆ
sendo
2
2 2
2 2
2 2 x y z
A partir de (7) e (11), verifica-se que é necessário resolver o seguinte conjunto de equações:
(^2 2) 0
z
y
x
z
y
x
F
F
F
F
F
F
Contudo, essas três equações são simétricas, e assim, determinando-se a solução para uma delas automaticamente se determina as soluções para as demais por similaridade. Optan- do-se por resolver a equação na direção x , tem-se
2 2
2 2
2
x x y z F z
F
y
F
x
F
a qual sabe-se que admite solução por separação de variáveis, ou seja, uma solução produto do tipo: Fx f ( x ). g ( y ). h ( z ) (15)
Substituindo-se (15) em (14), obtém-se que:
f " gh fg " h fgh " fgh ^2 0 (16)
Dividindo-se (16) por fgh , tem-se que
2 ( )
hz
h z gy
g y f x
f x (17)
a qual é constituída por três parcelas, sendo a primeira uma função somente de x , a segunda somente de y e a terceira somente de z. Além disso, a soma destas funções é uma constante independente de ( x,y,z ). Para que esta condição seja satisfeita, existe somente uma possibilida- de: cada uma das três parcelas também deve ser igual a uma constante. Encoraja-se o leitor a refletir sobre isso.
As três novas constantes serão denominadas de x , y e z. A partir daí, o problema
pode ser divido em três partes:
ONDAS E LINHAS DE COMUNICAÇÕES 7
todos os argumentos das três exponenciais devem ser iguais. Isto ficará mais evidente quando for estudada a velocidade de propagação da onda eletromagnética.
É possível escrever a solução geral, F Fx x ˆ Fyy ˆ Fzz ˆ
, de uma forma bastante
compacta, definindo-se os vetores:
ˆ x x ˆ yy ˆ z z ˆ
sendo ˆ o vetor unitário na direção de
, ou seja,ˆ /
, e, F 0
é um vetor independente
de ( x, y, z ) dado por
F (^) 0 Ax ˆ By ˆ C z ˆ
sendo A, B e C constantes. Com isto, se r xx ˆ yy ˆ zz ˆ
for o vetor posição, a solução geral da
equação de onda (7) pode ser escrita numa forma bastante compacta como:
F ^ F e ^ r 0 (24) A princípio, a solução (24) pode soar estranha, em vista da exponencial conter vetores. Além disso, esta solução é um fasor de vetor, algo não muito usual na teoria de comunicações. Contudo, deve ser lembrado que o produto escalar entre dois vetores resulta em um escalar, e assim, a exponencial está elevada a um escalar (embora complexo).
Nas próximas seções demonstra-se que, se A, B e C não variarem com ( x,y,z ), a solu- ção (24) representa uma onda plana, ilimitada e uniforme.
4 INTERPRETAÇÃO DA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ONDA
Na Figura 3 ilustra-se a geometria do problema, envolvendo-se um dado ponto P do
espaço especificado pelo vetor r
, bem como, os vetores F
e
. Estes vetores estão orienta-
dos arbitrariamente pois, até este estágio, ainda não se conhece suas propriedades.
Figura 3 – Vetores no espaço cartesiano ortogonal.
A constante é um número complexo que obedece a (8), e também pode ser escrita
como:
j ( j ) j (25)
sendo e as suas partes real e imaginária. A partir daí, é definido um vetor
tal que
ˆ^ ( j )ˆ j (26)
ONDAS PLANAS EM MEIOS ILIMITADOS 8
onde foram definidos os vetores ˆ
e ^ ^ ˆ
. Portanto, os vetores unitários (versores) ˆ /
,ˆ^ /^
e ˆ /
são todos equivalentes entre si, ou seja:ˆ ˆ ˆ.
4.1 Fatores de atenuação e de fase
A partir de (24) e (26), pode-se escrever a solução geral da equação de onda como:
F F e r^ e j^ r
^
Por sua vez, a solução instantânea f
pode ser obtida aplicando-se r ( t ) Re{ Rej^ t }
cos( )
Re{ } Re{ }
0
0 Fe t r
f Fe F e e e r
jt r j r jt
(28)
Resumidamente, a expressão (28) informa que f
é uma onda (de e
ou h
) com fator
de amplitude (ou envoltória):
F ^ F e ^ r max 0 (29)
e fase instantânea total (medida em radianos) igual a:
i t^ r
Observe-se que, além do valor numérico da amplitude da onda, o fator F max
também
fornece a direção (e o sentido) do vetor f
, a qual é a mesma de F 0
, e que será denominada de
polarização da onda nos capítulos seguintes. Em todas as relações acima deve ser lembrado que
f f ( x , y , z , t )
, F max (^) F max( x , y , z )
e i i ( x , y , z , t ), ou seja, são todos funções de ( x, y,
z ).
A existência de um fator 0 em (29) implica numa diminuição da amplitude da
onda à medida que r
aumenta. Por isto, o fator é denominado de fator de atenuação da onda,
sendo medido em Np/m. Se for desejado, também pode ser expresso em dB/m, bastando
aplicar o fator de conversão: 1 Np = 8,686 dB.
De fato, meios materiais práticos podem conter partículas metálicas microscópicas
(impurezas) que, por causa da lei de ohm ( j^ e
), podem dissipar calor por efeito Joule
devido à indução de corrente elétrica na presença de um campo elétrico e
. Como este é um processo de conversão de energia irreversível, uma onda eletromagnética perde energia durante seu trajeto de propagação. O único meio cuja atenuação é essencialmente nula é o vácuo, pois
tem condutividade com valor 0. Materiais metálicos possuem valores de condutividades
tão elevadas que torna impossível a propagação de onda eletromagnética em seu interior. Mei- os como a água potável e a água do mar contêm íons provenientes de sais minerais, os quais permitem a ocorrência de corrente de condução e, consequentemente, de perdas na propagação. Assim, a comunicação submarina através de ondas eletromagnéticas não é muito viável. Mes- mo meios dielétricos como o vidro, plástico, etc., podem conter impurezas metálicas em nível
ONDAS PLANAS EM MEIOS ILIMITADOS 10
o sinal usado fosse (+), simplesmente haveria uma propagação para trás. Desta forma, a solu- ção da equação de onda informa que a propagação em meio linear, isotrópico e homogêneo é recíproca.
Uma informação importante é que o vetor
(e daí,
ou
) é normal à frente de
onda, como desenhado na Figura 5. A demonstração dessa propriedade deve recorrer ao cálcu-
lo vetorial, que estabelece que: “dado uma superfície i ( x , y , z ), então, i é um vetor normal
a cada ponto dessa superfície”. Assim, basta provar que i e
são paralelos.
Figura 5 – Vetor de onda perpendicular à superfície equifásica ou frente de onda.
Exemplo 1: Demonstrar que
(^) i .
Solução: A geometria do problema está esquematizada na Figura 5. Utilizando-se (30), calcula-se
z z
r y y
r x x
r i t r ˆ
Como r xx yy zz
, ocorre
(^) i xx ˆ yy ˆ zz ˆ . ### c.q.d.
4.3 Onda plana e uniforme
Com o auxílio da Figura 6 e de (30), demonstra-se agora que a superfície i ( x , y , z , t )
constante, e na qual F 0
é um vetor constante, corresponde a um plano. Ou seja, se
i t^ r
= constante, então, a frente de onda é plana. Como mostrado na Figura 6.
Figura 6 – Frente de onda plana. Sem perda de generalidade, considera-se o caso t =0 em (30), o qual conduz a condição ( r )
= constante. Observa-se que o produto escalar r
está relacionado à projeção do
vetor r
sobre o vetor
(ver Figura 6). Ora, a única possibilidade da projeção de cada vetor r
da frente de onda, para F 0
constante, resultar sempre na mesma projeção na direção de
, é
ONDAS E LINHAS DE COMUNICAÇÕES 11
se a superfície equifásica for um plano. Isto ocorre no instante t =0 e em todos os demais. Por- tanto, esta onda é denominada de onda plana.
Deve ser observado que, se o vetor F 0
em (24) ou (28) for constante em relação a
( x,y,z ), então, a onda plana também será uniforme. Ou seja, dada uma frente de onda, todos os seus pontos possuirão o mesmo valor de campo a cada instante. Isto pode ser observado com o auxílio da Figura 7. Portanto, dado uma frente de onda, a propagação da onda nada mais é do que a translação desta frente de onda ao longo de uma certa direção, no caso, na direção do
vetor
Figura 7 – Onda plana uniforme. Neste aspecto, a solução da equação de onda (24) é um tanto abstrata, pois correspon- de a um plano no seu sentido matemático estrito, ou seja, infinito em todas as direções. Por isto, esta onda é denominada de “onda plana, uniforme e ilimitada”. Contudo, conforme discu- tido anteriormente, na prática, esta frente de onda plana pode corresponder a uma pequena porção de uma frente de onda cilíndrica medida a uma distância suficientemente longe da sua fonte, como aquela mostrada na Figura 2. Este e vários outros problemas de engenharia podem ser analisados através desse modelo de primeira ordem mais simples com grande eficiência.
Obviamente, à medida que a onda se propaga, as amplitudes de campo diminuem devido à atenuação. Porém, uma dúvida frequente refere-se à amplitude da onda em meio dis-
sipativo como definida em (29), ou seja, F F e r
max 0 , para^ F 0
constante. Como F max
é
função de r
, em princípio, parece que o seu valor varia para cada valor de r
em uma mesma frente de onda. Neste caso, a onda não mais seria uniforme. Contudo, esta primeira impressão é enganosa. Deve ser lembrado que o produto escalar r
está relacionado à projeção do vetor r
sobre o vetor
(que é paralelo ao vetor
e, portanto, são ambos perpendiculares à frente
de onda), levando-se novamente à conclusão que isto só ocorre se a onda for plana e uniforme a cada instante t.
4.4 Ortogonalidade entre os vetores E
e H
Conforme discutido anteriormente, a solução da equação de onda F
em (24) pode se
referir tanto a E
quanto H
, e assim:
E ^ E e ^ r 0 (31a) H ^ H e ^ r 0 (31b)
Aplicando-se o rotacional a (31a) se obtém
ONDAS E LINHAS DE COMUNICAÇÕES 13
Figura 8 – Ortogonalidade entre vetores E
, H
e
. Uma onda eletromagnética (guiada ou não) que obedeça à condição E H
, e sendo
ambos os vetores ortogonais à direção de propagação
, é denominada de “onda TEM” ( Tran-
verse Electromagnetic Mode ). A onda plana e uniforme é uma onda TEM. Um feixe de laser também é uma onda TEM, embora não seja uniforme pois, a amplitude do campo elétrico decai à medida que se afasta do eixo longitudinal de propagação (segundo um perfil gaussiano). Ondas cujas frentes de onda sejam esféricas ou cilíndricas (como a mostrada na Figura 2) tam-
bém são exemplos de ondas TEM E
( e H
são ortogonais entre si e à direção de propagação
radial, r
4.5 Visualização da onda plana, uniforme e ilimitada
Para propagação num meio sem perdas, se resulta um fator r
=0 em (28), a qual
fica reduzida a f F 0 cos( t r )
. No caso particular da propagação unidimensional, ao
longo do eixo z (por exemplo), esta fica simplesmente como f F 0 cos( t z )
. Neste caso,
tem-se
e E 0 cos( t z ) x ˆ
(37a)
h H 0 cos( t z ) y ˆ
(37b)
onde se observa que ambos os vetores oscilam em fase (no tempo e no espaço). O caso da propagação de ondas em meios com perdas será discutido nas próximas seções.
Diante de (37a) ou (37b), alguns autores apresentam figurativamente a propagação do campo eletromagnético conforme mostrado na Figura 9, a qual ilustra o famoso experimento de Hertz para demonstrar a existência de ondas eletromagnéticas, geradas a partir de faíscas com uma garrafa de Leyden.
Figura 9 – Representação esquemática da propagação de onda eletromagnética.
ONDAS PLANAS EM MEIOS ILIMITADOS 14
Como se observa, as ondas de campo elétrico (cor vermelha) e magnético (cor azul) são representadas por vetores que oscilam senoidalmente no espaço. Isto pode confundir um pouco a interpretação correta da onda plana, pois se assemelha ao caso de ondas elásticas esta- belecidas em cordas. Afinal, a frente de onda deve ser um plano infinito, como esquematizado na Figura 7. Na verdade, as senóides devem servir apenas como um lembrete de que as ampli-
tudes dos vetores e
e h
variam senoidalmente ao longo do eixo z. Uma representação mais adequada, embora mais trabalhosa de se desenhar, encontra-
se na Figura 10. Apenas as linhas de campo elétrico e
são mostradas. As linhas de h
devem estar a 90 graus das linhas de e
. É prática comum em engenharia se estudar a propagação de onda eletromagnética considerando-se apenas o campo elétrico e
. Por exemplo, no próximo capítulo será discutido que a polarização de uma onda é dada pela direção de vibração do vetor e
(apenas). Contudo, é importante ressaltar que não existe onda somente de e
ou somente de h
. A onda eletromagnética envolve ambos os campos, um trocando energia com o outro, con- forme a análise qualitativa da Figura 1.
Figura 10 – Onda plana ilimitada – linhas de campo elétrico. Como se observa na Figura 10, as amplitudes de todos os vetores sobre um mesmo plano são iguais entre si e apontam para uma mesma direção (vertical) e mesmo sentido. Nos picos e vales as amplitudes de campo são máximas, porém, nos cruzamentos por zero o campo
e
é nulo. Algo similar ocorre para os vetores de h
Uma representação conciliadora é mostrada na Figura 11, um misto entre as Figuras 9
e 10. Um ângulo de fase inicial foi acrescentado às expressões (37a) e (37b), objetivando-se
a generalidade. Como ocorre em qualquer sistema que se encontra sob regime permanente senoidal, esta fase inicial constitui algo indiferente para a maioria das análises em telecomuni- cações. O importante é que fique registrado que a frente de onda é constituída por um plano infinito cujas amplitudes de campo variam senoidalmente ao longo do eixo z.
Conforme afirmado acima, quando a onda se propaga, toda a estrutura da Figura 11 sofre uma simples translação para o lado direito (direção + z ). Isto pode ser verificado estudan- do-se o caso sem perdas e unidimensional que resultou em (37a), ou seja, a cossenóide
e E 0 cos( t z ) x ˆ
. Na Tabela 1 apresentam-se expressões para e
em função de z para
diversos instantes de tempo t igualmente espaçados: t =0, e segundos.
ONDAS PLANAS EM MEIOS ILIMITADOS 16
assim, um dos produtos está diretamente relacionado com outro, sendo que um causa o outro e vice-versa. A Figura 13 pretende auxiliar na compreensão da variação da fase instantânea (30),
ou seja i t z , devido a ambos as contribuições, temporal t e espacial z.
Figura 13 – Variação espacial e temporal de fase. Já foi discutido que a propagação da onda envolve uma simples translação do perfil da
senóide ao longo do eixo z (ou eixo z). Isto está representado na Figura 13, para quatro valo-
res de tempo, associados aos instantes t 1 a t 4. Agora, considerem-se dois observadores, um
deles postado na origem do sistema de coordenadas, z=0, e outro, postado na posição z=
rad. A onda atravessa ambos os observadores à medida que se propaga para o lado direito da figura. O primeiro observador percebe que a onda encontra-se num máximo positivo no instan- te t 1 ; depois, encontra-se nula em t 2 ; depois, encontra-se num máximo negativo em t 3 ; e assim por diante. Se dispusesse de uma sonda detectora de campo e de um osciloscópio, o primeiro observador registraria a forma de onda mostrada no pequeno retângulo no canto esquerdo da Figura 13. Como está na origem z =0, este observador percebe uma variação de fase conforme
i t. Por sua vez, o segundo observador percebe que a onda encontra-se num máximo
negativo no instante t 1 ; depois, encontra-se nula em t 2 ; depois, encontra-se num máximo positi-
vo em t 3 ; e assim por diante. Como está na posição z =rad, o segundo observador percebe
uma variação de fase instantânea conforme i t , nos mesmos instantes que o primeiro
observador observa apenas i t. A imagem de osciloscópio do segundo observador seria
aquela do retângulo do lado direito do retângulo observado pelo primeiro observador. Ambas as imagens temporais oscilam diferentemente, defasadas por rad, que é a distância elétrica
( z) entre os dois observadores. Portanto, ocorre uma defasagem entre os sinais temporais,
devido a uma diferença entre posições espaciais.
Este fato pode ser matematicamente comprovado derivando-se i t z em rela-
ção à z : i / z . Ou então, acontece uma defasagem aproximada por
ONDAS E LINHAS DE COMUNICAÇÕES 17
i . z (38)
em módulo, para um deslocamento espacial z qualquer. Particularmente, para . z rad,
ocorre uma defasagem igual a i rad, como observado por (38).
A equação (38) constitui a base dos modernos sensores ópticos de fase, elementos extremamente sensíveis a variações de grandezas físicas das mais variadas naturezas (vibração,
aceleração, etc.). Na faixa óptica, é muito elevado, da ordem de 10 106 rad/m. Assim, por
exemplo, supondo-se que ao puxar uma fibra óptica ocorra uma elongação de apenas 1 10 ^9 m (ou seja, 1 nm, algo em torno de 10 átomos de hidrogênio enfileirados), será produzida uma defasagem óptica igual a aproximadamente 0,5 graus entre a fibra estirada e a fibra em repou- so. Este ângulo de fase pode ser medido sem problemas através do uso dos recursos ópticos e eletrônicos disponíveis atualmente. Ora, uma elongação da ordem de alguns nanometros pode ser gerada pelo mais leve toque numa fibra óptica. Com isso, sensores de toque, de pressão ou de força, dentre outros, podem ser implementados com vantagens que a maioria dos sensores convencionais não possuem. Sensores de temperatura, com resolução de micro graus centígra- dos, podem ser implementados explorando-se o fenômeno de dilatação e variação de índice de refração do material da fibra óptica com a temperatura. E assim por diante. A medição desses desvios de fase óptica é realizada por instrumentos chamados de interferômetros ópticos.
5 CONSTANTE DE PROPAGAÇÃO COMPLEXA EM MEIOS MATERIAIS
Na equação j e
, a densidade de corrente elétrica costuma ser denotada generica-
mente por j
. Nesta seção, a corrente de condução será denotada por j (^) c e
, enquanto a
corrente de deslocamento será denotada por j (^) d d / dt
. Antes de dar início ao estudo do
comportamento da constante de propagação complexa em meios materiais, é adequado discu-
tir algumas propriedades de jc
e jd
5.1 Meios dielétricos e condutores
Na forma fasorial, as expressões para jc
e jd
tornam-se J (^) c E
e
J (^) d j D j E
. Será de interesse para os próximos itens, investigar os valores que as
seguintes razões/taxas assumem em meios materiais:
J (^) c Jd
(40a)
J (^) d Jc
(40b)
Na sequência, são estudados os principais meios de interesse nesse curso: o dielétrico
perfeito (sem perdas ou isolante, com =0), o dielétrico prático (com pequenas perdas), o con-
dutor ideal (com ) e o condutor prático (com muito elevado).
ONDAS E LINHAS DE COMUNICAÇÕES 19
sendo que o primeiro resultado já era esperado, e, o segundo informa que a constante de fase varia linearmente com a frequência. Este é um resultado característico para ondas TEM não dispersivas. O fenômeno de dispersão será estudado em seções futuras.
b) Dielétrico prático ( / 1 )
Reescrevendo-se j ( j ) j como
j j j . j . 1 j (43)
é possível aplicar a série binomial: 1 x 1 x / 2 x^2 / 8 ..., válida para x 1. Então,
fazendo-se x j ( / ), se obtém
j ( ) j ] j
.[ 1 2 (44)
a partir da qual se extraem:
(45a)
2
8
1 (45b)
na qual a segunda parcela do lado direito de (45b) foi considerada desprezível em relação à unidade. Com isto, a expressão para permanece aproximadamente igual a anterior, mas agora tem-se disponível uma expressão para se determinar o fator de atenuação. O valor de deve resultar muito pequeno, mas não nulo. Para sistemas de comunicação de longa distância (deze- nas a centenas de km), este pequeno valor de pode conduzir a uma redução significativa da amplitude da onda eletromagnética.
c) Condutor prático ( / 1 )
Novamente, deve-se escrever a expressão de numa forma adequada e se aplicar a série binomial:
j j j j (46)
Agora deve ser lembrado que j j^1 /^2 ( ej^ ^ /^2 )^1 /^2 ej /^4 1 / 2 j / 2 , e assim, (46)
torna-se:
( ) ]
[ 1
( ) ]
.[ 1
j j
ONDAS PLANAS EM MEIOS ILIMITADOS 20
j j
^ ( ) ]
( ) ] [ 1
[ 1
Desprezando-se os termos / 2 e ( / )^2 / 8 diante da unidade, finalmente se
obtém:
f
(48a)
f
(48b)
O valor de em (48a) resulta muito elevado para condutores práticos. De fato, para
107 S/m, a atenuação é tão intensa em metais que impossibilita a propagação de onda
eletromagnética em seu interior. Após certa profundidade de penetração no metal (dependendo da frequência, pode ser da ordem de frações de mm), a onda evanesce e é totalmente dissipada em seu interior. Por isso, invólucros metálicos são amplamente usados como blindagem de circuitos eletrônicos e instrumentos de medição contra interferências eletromagnéticas exter- nas. Embora as expressões (48a) e (48b) sejam idênticas, suas unidades (Np/m e rad/m,
respectivamente) e significados físicos são diferentes. Ao contrário de meios dielétrico, agora
varia com : o condutor prático é um meio dispersivo.
6 IMPEDÂNCIA INTRINSECA DO MEIO MATERIAL
A relação (34) estabeleceu que E E j H
ˆ^ . A partir daí, se escreve que
H H
j E
sendo
j (50)
uma grandeza que tem unidades de ohms (verificar isto) e que depende de propriedades do material e da frequência.
A grandeza é denominada de impedância intrínseca do meio. Substituindo-se a ex-
pressão de em (50) tem-se
j j
j
j
j
No caso geral é um número complexo e, portanto, pode ser escrito na forma de
módulo e fase:
