Operação com Números Naturais, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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OPERAÇÕES COM

NÚMEROS REAIS

Tania Elisa Seibert

Vamos estudar as operações de potenciação e radiciação no conjunto dos números Reais.

Além dessas operações, contempla-se também, neste capítulo, os conceitos de notação científica, operações com frações, grandezas, regra de três e porcentagem.

POTENCIAÇÃO NO CONJUNTO DOS

NÚMEROS REAIS

Na Matemática, existem diferentes formas de representar uma mesma situação. Por exem- plo, uma adição de parcelas iguais pode ser representada por uma multiplicação.

3 + 3 + 3 + 3 = 4 x 3

(-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = 6 x (-1)

Quando se trata de multiplicação de fatores iguais, pode-se representar a operação por uma potenciação. Observe:

2. 2. 2. 2. 2 = 2^5

3. 3 = 3^2

(-5). (-5). (-5). (-5) = (-5)^4

a. a. a. a. a. a = a^6

Portanto, sendo um número real e um número inteiro , para tem-se o produto do fator multiplicado por ele mesmo vezes, ou seja:

Nomeia-se a como sendo a base, n o expoente, an^ a potência e a operação de potenciação.

1. 34. 3² = (Lembre-se de que 3^4 = 3. 3. 3. 3)

(3. 3. 3. 3). ( 3. 3) = 3^6

... =

Portanto, na multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e adicionam-se os expoentes. De forma generalizada, pode-se escrever:

IMPORTANTE

Pode-se entender a noção de potência a -n^ para n inteiro (positivo ou negativo), mantendo a propriedade 1, ou seja:

1 = a^0 = a-n + n^ = a-n^ + an

Portanto, a potência a-n^ =

Outra forma de entender:

25 = 32

2 4 = 16

2 3 = 8

2² = 4

2¹ = 2

2 0 = 1 (Observe em todos os resultados a divisão por dois).

2 -1^ = 0,5 =

2 -2^ = 0,25 =

2 -3^ = 0,125 =

Logo:

b) Propriedade 2

Analisando a divisão entre potências de mesma base:

5 7 : 5 3 = (Simplificando).

57 : 5^3 = 5. 5. 5. 5 = 5^4 = 57 - 3

Portanto, na divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. De forma generalizada, pode-se escrever: ,.

Observe:

72 : 7^5 =

c) Propriedade 3

Analisando potência de potência:

= 2³. 2³. 2³. 2³ = 2 3 + 3 + 3 + 3^ = 2^12 = 24. 3^ (Lembre-se de que o expoente indica quantas vezes a base é multiplicada por ela mesma. Neste exemplo, a base é 2^3 e o expoente é 4).

Portanto, na potência de potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. De forma generalizada pode-se escrever:

FIQUE ATENTO!

= = 1,41 x 10^73

Portanto,. Logo,

d) Propriedade 4

Analisando potência de um produto de dois ou mais fatores:

=

= (2. 2. 2. 2). (3. 3. 3. 3)

= 2^4. 3^4

RADICIAÇÃO NO CONJUNTO DOS

NÚMEROS REAIS

Neste subcapítulo, vamos estudar o conceito de radiciação e suas propriedades. Lembre-se de que a radiciação é a operação inversa da potenciação. Observe:

8² = 8 x 8 = 64 e = 8

5³ = 5. 5. 5 = 123 e = 5

Portanto, define-se a radiciação como: sendo e dois números pertencentes aos Reais e um número Natural , denomina-se raiz enésima de o número que elevado a resulta no número. Isto é: , para: radicando; raiz; índice; radical; operação: radiciação.

NÃO ESQUEÇA!

a) No conjunto dos números Reais, se o radicando é um número negativo e o índice do radical é um número par, a raiz não é definida. Porém, no conjunto dos números Com- plexos, a raiz é definida.

b) Se o índice do radical for um número ímpar, a raiz é sempre definida.

PROPRIEDADES DOS RADICAIS

Assim como na potenciação, neste subcapítulo, estudam-se as propriedades da radiciação.

a) Propriedade 1

O radical de uma potência qualquer, quando é definido, pode ser obtido como uma potên- cia fracionária. Isso significa que, para todo radical, temos:.

EXEMPLO

Como consequência, temos que:. Observe:

= (Simplificando p).

=

= (Simplificando 5).

LEMBRE-SE!

Logo, pode-se afirmar que

b) Propriedade 2

Observe o exemplo:

= = 10

Outra forma de realizar o mesmo cálculo:

. = 5. 2 = 10 Como o resultado é o mesmo do anterior, podemos afirmar que:

=.

LEMBRE-SE!

RADICAIS SEMELHANTES

Os radicais são semelhantes quando têm o mesmo índice e o mesmo radicando, como, por exemplo, os seguintes radicais:

a) (São radicais semelhantes porque têm o mesmo índice e o mesmo ra- dicando).

b) (Não são radicais semelhantes porque têm diferentes índices).

De forma geral, podemos dizer que são semelhantes, pois pos- suem o mesmo índice e o mesmo radicando.

OPERAÇÕES COM RADICAIS: ADIÇÃO E

SUBTRAÇÃO

A operação da adição ou da subtração de radicais é definida somente para radicais seme- lhantes.

a)

(7 + 4 – 3) =

De forma geral, pode-se escrever:

a)

b)

OPERAÇÕES COM RADICAIS: MULTIPLICAÇÃO E

DIVISÃO

A operação da multiplicação ou da divisão é definida somente para radicais com o mesmo índice.

a)

b)

c)

De forma geral, diz-se que:

a)

b)

Logo:

2

c) (Decompondo 8 e 32 em fatores primos).

=

=.

d)

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

Para uma fração cujo denominador é um número Irracional, na forma de um radical, ra- cionalizar o denominador é a operação de conversão do denominador Irracional em um denominador Racional, através do produto do numerador e do denominador por um fator tal que o denominador se torne um número Racional.

NÃO ESQUEÇA!

(Multiplicar numerador e denominador de pelo denominador desta fração).

(Aplicando no denominador a propriedade da multiplicação de radicais de

mesmo índice ).

= (Lembre-se de que = 3)

=

Logo:

= (Utilize calculadora e teste este resultado).

. =

= (Simplifique o 8 do numerador com o 2 do denominador).

=

Logo:

(Utilize calculadora e teste este resultado).

(Simplifique ).

(Simplifique o 6 do numerador com o 6 do denominador).

Logo:

(Utilize calculadora e teste este resultado).

OBSERVAÇÃO

Para denominador ,o fator é. Assim, temos:

= (Multiplicação no denominador – Produto da soma pela diferença de dois termos: )

= (Resolvendo o produto da soma pela diferença de dois termos).

16 – 5 = 11 (Resultado no denominador).

Reescrevendo com os resultados, encontrados no numerador e no denominador:

b) (Observe que no denominador temos uma subtração).

(Por termos uma subtração no denominador, multiplicamos o numera- dor e o denominador pelo fator )

(Multiplicação que deve ser realizada no numerador). (Resultado no numerador).

= (Multiplicação no denominador – Produto da soma pela diferença de dois termos : ).

= (Resolvendo o produto da soma pela diferença de dois termos ).

4 – 3 = 1 (Resultado no denominador).

Reescrevendo com os resultados encontrados no numerador e no denominador:

(Fatorando ).

(Fator comum em evidência).

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

As potências de base 10 são muito utilizadas na Física e na Química quando se trabalha com grandezas micro ou macroscópicas.

Observe algumas potências de base 10:

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1 000

104 = 10 000

105 = 100 000

Portanto, o expoente da base 10 corresponde ao número de zeros da potência resultante, quando o expoente é um número Natural.

Quando o expoente é um número Inteiro negativo, procede-se da seguinte forma:

Portanto, o número que está no expoente, sem o sinal, indica o número de casas decimais da potência resultante.

O “todo” é este círculo, que está dividido em oito partes iguais. Portanto, o denominador é 8.

A “parte” são as cinco partes que estão coloridas de vermelho, portanto, o numerador é 5.

Logo, a fração que representa essa figura é.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM O

MESMO DENOMINADOR.

Quando as frações têm o mesmo denominador, basta operar com os numeradores e man- ter o denominador.

EXEMPLO

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES DE

DENOMINADORES DIFERENTES

Quando os denominadores são diferentes, o primeiro passo para resolver o exercício é en- contrar o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores.

EXEMPLO

a)

1º) Encontrar o mmc de: 18, 4 e 2

Logo, o mmc é igual a: 2 x 2 x 3 x 3 = 36

2º) Dividir o mmc por cada um dos denominadores e multiplicar por seu respectivo nume- rador. Observe o exemplo:

Logo:

b)