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Conjuntos (^) M ODULO 1´ - AULA 2
Conjuntos
A for¸ca que move a inven¸c˜ao matem´atica n˜ao ´e o racioc´ınio, mas sim a imagina¸c˜ao. Augustus De Morgan
Augustus De Morgan (1806–1871) foi um matem´atico inglˆes que deu contribui¸c˜ao importante `a l´ogica matem´atica. Foi ele quem introduziu o termo “indu¸c˜ao matem´atica” e deu base ao processo de indu¸c˜ao. De Morgan foi tamb´em autor de v´arios livros de Matem´atica e de mais de 700 artigos de divulga¸c˜ao. Estudaremos l´ogica matem´atica nas aulas 26 a 30.
Objetivos
Conceituar conjuntos e subconjuntos. Estudar as rela¸c˜oes de igualdade e inclus˜ao entre conjuntos e de pertinˆencia entre elementos e conjuntos. Conceituar conjunto universo.
A no¸c˜ao de conjunto desempenha um papel central na Matem´atica, bem como em suas in´umeras aplica¸c˜oes.
O estudo matem´atico da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor no s´eculo XIX, a partir de suas pesquisas sobre a teoria das s´eries trigonom´etricas.
Atribuiremos ao termo conjunto o sentido usual de cole¸c˜ao de objetos ou elementos, sem defini-lo a partir de outros conceitos matem´aticos.
Um conjunto ´e sempre definido por uma propriedade que o caracte- riza. A rec´ıproca, no entanto, nem sempre ´e verdadeira. Em outras palavras, ´e poss´ıvel enunciar uma propriedade que n˜ao determine um conjunto. O famoso “exemplo do barbeiro”, a seguir, ilustra essa id´eia.
Exemplo 1
Numa cidade, um barbeiro s´o fazia a barba de quem n˜ao fazia a pr´opria barba. Quem fazia a barba do barbeiro?
Se vocˆe pensar um pouquinho, ir´a concluir que ESSE BARBEIRO N AO˜ EXISTE!!! (Basta considerar o que aconteceria em cada uma das duas ´unicas alternativas poss´ıveis: ele fazer ou n˜ao a pr´opria barba.)
Ent˜ao, foi dada uma propriedade: “fazer a barba apenas de quem n˜ao faz a pr´opria barba”e, no entanto, n˜ao conseguimos determinar um conjunto de barbeiros que corresponda a essa propriedade.
Vocˆe ver´a que, para evitar esse tipo de problema, iremos definir con-
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junto universo e trabalhar apenas com subconjuntos desse conjunto.
As id´eias fundamentais da teoria dos conjuntos foram desenvolvidas pelo matem´atico Georg Cantor (1845 –1918). Muitas de suas id´eias geniais n˜ao foram aceitas inicialmente por outros matem´aticos. No entanto, tiveram uma influˆencia profunda na Matem´atica do s´eculo XX.
Podemos representar um conjunto listando seus elementos entre chaves, como no exemplo a seguir:
Exemplo 2 A ´e o conjunto das 3 primeiras letras do alfabeto:
A = {a, b, c}.
Para n˜ao listarmos todos os elementos de um conjunto, usamos reticˆen- cias... para indicar continua¸c˜ao.
Exemplo 3 B ´e o conjunto dos n´umeros pares maiores ou iguais a 2 e menores ou iguais a 20: B = { 2 , 4 , 6 ,.. ., 20 }.
Exemplo 4 C = {a, b, c,... , x, y, z} ´e o conjunto de todas as letras do alfabeto.
Outra maneira de descrevermos um conjunto ´e, em vez de listar seus elementos, indicar a propriedade que caracteriza aquele conjunto. Neste caso, descrevemos o conjunto por:
{x | x satisfaz propriedade P }.
A express˜ao {x | satisfaz propriedade P } deve ser lida: “o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P ”.
Assim, o conjunto C = {a, b, c,... , x, y, z} pode ser descrito por:
C = {x | x ´e letra do alfabeto }.
Note que muitas vezes sabemos a propriedade que define o conjunto, mas n˜ao sabemos quem s˜ao todos os elementos do conjunto, como em:
{x | x ´e primo e x ≥ 1. 000. 000 }.
Exemplo 5
- A = {x | x ´e dia da semana} ´e o mesmo que
A = {segunda-feira, ter¸ca-feira,... , s´abado, domingo}.
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Subconjuntos
Se todo elemento de um conjunto A tamb´em ´e elemento de um conjunto B, ent˜ao dizemos que A ´e subconjunto de B e escrevemos A ⊂ B.
A rela¸c˜ao entre dois conjuntos definida acima ´e denominada rela¸c˜ao de inclus˜ao. Se A ⊂ B dizemos tamb´em que A est´a contido em B. Assim, as express˜oes “A est´a contido em B” e “A ´e subconjunto de B” tˆem o mesmo significado. Dizer que dois conjuntos A e B s˜ao iguais equivale a dizer que A ⊂ B e B ⊂ A. Se A n˜ao ´e subconjunto de B, ent˜ao escrevemos A 6 ⊂ B. Portanto,
A 6 ⊂ B se o conjunto A possui algum elemento que n˜ao pertence ao conjunto B.
Quando A 6 ⊂ B dizemos tamb´em que A n˜ao est´a contido em B.
Exemplo 8
- {x | x ´e inteiro par } ⊂ {x | x ´e inteiro}.
- { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } ⊂ { 1 , 2 , 3 ,... , 9 , 10 } ⊂ {x | x ´e n´umero natural}.
- {gato, le˜ao, pato} 6 ⊂ {felinos} pois, embora gato e le˜ao sejam felinos, o pato n˜ao ´e um felino.
Note que todo conjunto ´e subconjunto de si mesmo, isto ´e, vale para qualquer conjunto A que A ⊂ A. Se A ⊂ B, mas A 6 = B, ent˜ao dizemos que A ´e subconjunto pr´oprio de B. Portanto, A ´e subconjunto pr´oprio de B se todo elemento de A ´e tamb´em elemento de B (A ⊂ B), mas existe algum elemento de B que n˜ao pertence a A. Assim, A ´e subconjunto pr´oprio de B se
A ⊂ B e A 6 = B A no¸c˜ao de subconjunto pr´oprio traduz a id´eia de que A ´e subconjunto de B, mas ´e “menor” que B.
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Exemplo 9
- O conjunto {segunda-feira, quarta-feira} ´e subconjunto pr´oprio do con- junto {x | x ´e dia da semana}.
Tamb´em escrevemos B ⊃ A, que se lˆe “B cont´em A”, quando A ⊂ B. Note que quando comparamos conjuntos e subconjuntos, usamos os s´ımbolos ⊂ e ⊃, enquanto que quando relacionamos elementos e conjuntos usamos os s´ımbolos ∈ e 6 ∈.
Exemplo 10
Seja A = { 1 , 2 , 3 }, ent˜ao:
a) 1 ∈ A. O n´umero 1 ´e elemento do conjunto A.
b) { 1 } ⊂ A. O conjunto { 1 } ´e subconjunto do conjunto A.
Um conjunto que n˜ao possui elementos ´e chamado conjunto vazio e ´e denotado por ∅.
Exemplo 11
Os seguintes conjuntos s˜ao vazios:
- {x | x ´e inteiro maior que 10 e menor que 5}.
- {x | x ´e um homem com mais de 200 anos}.
- {x | x + 3 = 0 e x ´e inteiro positivo}.
Um conjunto com apenas um elemento ´e chamado conjunto unit´ario.
Exemplo 12
Os seguintes conjuntos s˜ao unit´arios:
- Conjuntos dos pa´ıses de l´ıngua portuguesa da Am´erica do Sul.
- {x | x ´e animal mam´ıfero voador} = {morcego}.
Dado um conjunto A qualquer, quantos subconjuntos ele possui? Quais s˜ao eles? Voltaremos a este problema mais tarde. Por ora, vamos observar o seguinte:
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Na verdade, a nota¸c˜ao que estamos usando, {x | x tem propriedade P}, envolve a no¸c˜ao de conjunto universo, que ´e o conjunto de todos os elementos interessantes para o problema em quest˜ao.
Quando escrevemos {x | x tem propriedade P} estamos realmente defi- nindo o subconjunto de um certo conjunto universo, formado pelos elementos que possuem a propriedade P.
Assim sendo, o conjunto {x | x ´e mam´ıfero} ´e o mesmo que:
{x ∈ {animais} | x ´e mam´ıfero}.
Neste caso, o conjunto universo U ´e o conjunto de todos os animais. O conjunto universo varia de problema para problema. Em um determinado problema, o conjunto universo pode ser o conjunto de todos os animais, enquanto que em outro, o conjunto universo pode ser o conjunto dos inteiros positivos.
A id´eia de conjunto universo vem de Augustus De Morgan e foi usada por John Venn, que criou diagramas para representar conjuntos.
Na aula seguinte estudaremos a representa¸c˜ao de conjuntos por meio dos diagramas de Venn e estudaremos as opera¸c˜oes entre conjuntos.
Resumo
Esta foi a primeira aula sobre conjuntos. Nela estudamos conjuntos e subconjuntos, rela¸c˜oes de inclus˜ao entre conjuntos e de pertinˆencia entre elementos e conjuntos. Vimos tamb´em conjunto universo.
Exerc´ıcios
- Correlacione os conjuntos descritos por enumera¸c˜ao dos elementos com os conjuntos descritos por uma propriedade:
(a) { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 } (b) { 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 } (c) { Africa, Am´´ erica, Asia, Europa, Oceania´ } (d) {Matem´atica Discreta, Geometria B´asica, Pr´e-C´alculo} (e) {− 3 , 3 }
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(1) {continentes} (2) {x|x ´e n´umero natural primo, x < 20 } (3) {disciplinas de matem´atica do primeiro semestre de Matem´atica do CEDERJ} (4) {x|x^2 = 9} (5) {x ∈ IN|x ´e m´ultiplo de 3, 10 < x < 30 }
- Escreva os conjuntos abaixo, na forma {x | x tem propriedade P }.
(a) { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ,... } (b) { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 ,... } (c) {Botafogo, Flamengo, Fluminense, Vasco, Bangu,... } (d) {Niter´oi, Nova Igua¸cu, Nova Friburgo, Nil´opolis,.. .}
- Liste os elementos dos conjuntos abaixo:
(a) {x | x ´e letra da palavra CEDERJ} (b) {x | x^2 − 4 = 0} (c) {x | x^2 − 2 = 0 e x ´e n´umero racional} (d) {x | x^2 − 2 = 0 e x ´e n´umero real}
- Seja A = {a, b, c, d, e}. Determine se as senten¸cas, abaixo, s˜ao verda- deiras ou falsas: (a) {a} ⊂ A (b) a ∈ A (c) {a} ∈ A (d) ∅ ⊂ A (e) {c, d, e} ⊂ A
(f) {c, d, e} ∈ A (g) {a, c, f } ⊂ A (h) A ⊂ A (i) A ⊂ A e A 6 = A (j) {e, b, c, a, d} = A
- Determine quais senten¸cas, abaixo, s˜ao verdadeiras para qualquer con- junto A.
(a) ∅ ⊂ A (b) A ⊂ A
(c) {∅} ⊂ P(A) (d) 0 ∈ ∅
- Liste todos os subconjuntos dos seguintes conjuntos:
(a) { 1 } (b) { 1 , 2 } (c) { 1 , 2 , 3 } (d) ∅
