Baixe Prova de Mecânica dos Fluidos II - PME 2330 e outras Provas em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
a
Prova de Mecânica dos Fluidos II – PME 2330
Nome:______________________________________ No. USP_____________________
1 ª. Questão (3. 0 pontos). Vamos admitir um escoamento turbulento de ar ( ρ=1,2kg/m
3
; ν=1,6× 10
m
2
/s) sobre
um aerofólio esbelto em regime permanente. Medidas de velocidade foram realizadas ao longo do tempo em
um ponto a 2 cm da parede. Os valores medidos encontram-se na tabela abaixo. Vamos admitir que o perfil de
velocidades possa ser aproximado por
7
1
ν
τ
τ
u y
u
u
, onde u
τ
é a velocidade de atrito dada por
u
τ
p
, com
τ
p
representando a tensão na parede. Calcule:
a) Velocidades médias u e v ; (0,5pto.)
b) u ′ v ′ e u ′ v ′
2 2
, ; (0,5 pto.)
c)
u
τ
e a tensão na parede τ
p
; (0,5pto.)
d) A viscosidade turbulenta η e o comprimento de mistura . (1,0 pto.)
e) Compare a viscosidade turbulenta com a viscosidade molecular. Comente. (0,5 pto.)
t(s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
u(m/s) 10,2 10,3 9,4 10,9 9,3 10,2 9,8 9,9 10,2 9,
v(m/s) - 0,35 - 0,1 0,5 - 0,4 0,2 - 0,08 0,35 - 0,01 - 1,16 0,
2 ª. Questão (3.0 pontos). Considere a camada limite que se desenvolve nas paredes da seção de testes de um
túnel de vento. A camada limite inicia-se a jusante da contratação e cresce até chegar na seção de testes.
Quando ela chega nessa seção, a camada limite é totalmente turbulenta. O perfil de velocidades e a espessura δ
da camada limite foram medidos na entrada e saída da seção de testes (vide figura). Para x = x
1
, o valor de
δ = 5 cm , e para x = x
2
o valor de δ = 8 cm. O comprimento da seção de testes é 2 m ( L = x
2
− x
1
= 2 m ). A
velocidade do ar fora da camada limite é constante e igual a 50 m/s. A largura da seção de testes (na direção
perpendicular ao plano da figura) é igual a 0,50 m. Um boa aproximação do perfil da camada limite, tanto na
seção 1 como na seção 2, é:
u
U
y
δ
1 / 8
, para y ≤ δ e
u
U
≅ 1 , para y > δ.
Indique as hipóteses (0,5 pto.) para determinar a força de arrasto devido ao atrito na parede inferior do túnel de
vento e determine esta força (2,5 ptos.).
a
. Questão (1,0 ponto). Mostre a dependência entre a separação da camada limite e o gradiente de pressão.
Qual é a condição necessária para que ocorra separação? Essa condição é necessária e suficiente?
4 ª Questão (3, 0 pontos): Considerar o escoamento incompressível e bidimensional de um líquido de viscosidade dinâmica μ e massa
específica ρ entre duas paredes rígidas de comprimento L e massas desprezíveis, dispostas em forma de cunha articulada na
origem, como mostra a figura. O escoamento acontece devido força na direção vertical
L
F
por unidade de comprimento aplicada no
extremo da placa superior, a qual provoca uma variação no tempo do ângulo da cunha
dt
d θ
. Notar que existe também uma força
vertical de vínculo
0
F na articulação. Encontrar as relações entre estas forças e a velocidade angular θ
, considerando que tanto as
forças de inércia quanto as forças de volume no líquido são desprezíveis e que o ângulo da cunha θ é pequeno. Para isto, resolver o
exercício segundo o seguinte roteiro:
a) Se h ( x )é a espessura local da cunha e supondo h ( x ) << x , demonstrar que o campo de velocidade é localmente Couette:
( ) ⎟
h
y
h
y
dx
h dp
u x y 1
2
μ
; v << u
; p = p x ( )
b) Demonstrar que a vazão por unidade de comprimento Q ( x )
que atravessa a espessura local resulta: ( )
dx
h dp
Q x
12 μ
3
c) Considerar o volume de controle do líquido dentro da cunha até a posição x e demonstrar que, para ângulos pequenos (
( )
hx = θ x
), resulta: ( ) θ
2
Q x =− x
d) Supondo a condição de contorno de pressão de referência p ( L ) = 0
, demonstrar que a distribuição de pressão resulta:
( ) ⎟
L
x
p x ln
3
e) Fazendo um balanço de torques da força de pressão distribuída e da força
L
F
ao redor da articulação, demonstrar que a força no
extremo resulta:
3
μ θ L
F
L
f) Integrando a forca de pressão distribuída calcular a força vertical total e, por subtração, demonstrar que a forca na articulação
resulta:
3
0
μ θ L
F
g) Finalmente, fazer uma análise de ordens de grandeza nas equações pertinentes e demonstrar que a condição de escoamento de
inércia desprezível é satisfeita quando 1
2
L
, onde
ν = é a difusividade ou viscosidade cinemática do fluido.
Interpretar o resultado.
Dicas para o cálculo: ( ) ; ln 1
; ln
1
0
1
0
1
0
∫ ∫ ∫
x xdx x xdx xdx
a
. QUESTÃO
Solução:
Integrando a distribuição de velocidades localmente Couette, resulta:
dx
h dp
y y dy
dx
h dp
Q x u x y dy
h
μ 12 μ
3
1
0
3
0
Considerando o volume de controle de líquido dentro da cunha até a posição x , a
conservação da massa resulta:
xh Q x
dt
d
dt
dh
Q x x
Para ângulos pequenos, θ
x
dt
dh
, de maneira que:
2
Q x = − x
Igualando (1) e (2), obtemos:
dx x
dp
x
dx
x dp 6 1
3
2
3 3
Integrando (3) com a condição de contorno ( )
p L = 0
, resulta:
p ( x ) = ln x + C
3
L C C ln L
ln
3 3
L
x
p x ln
3
Fazendo um balanço de torques da força de pressão distribuída e da força
L
F
ln
3
2
1
0
3
2
0
μ θ L
x x dx
L
F L xp x dx
L
L
3
μ θ L
F
L
Integrando a pressão obtemos a força total
T
F :
ln
3
1
0
3
0
θ
μ θ
θ
μ θ L
x dx
L
F px dx
L
T
3
μ θ L
F
T
A força na articulação resulta:
