Baixe Capítulo 3: Equações Diferenciais - Soluções Gerais e Particulares e outras Notas de estudo em PDF para Meteorologia, somente na Docsity!
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da
sua derivada.
Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária.
EXEMPLOS: (^) dxdy^ = x + 5 ; 2 3 2 0
2
d y ; xy ' + y = 3 ; y ' ''+ 2 (y '') (^2) + y '= cosx
Havendo duas ou mais variáveis independentes as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial.
EXEMPLOS: (^) ∂∂ xz^ = z + x ∂∂ yz ; x y y
z x
z (^) = + ∂
2
2 2
2
ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: é a ordem da mais alta derivada que nela aparece.
GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL: considerando as derivadas como uma polinómio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece.
SOLUÇÃO OU INTEGRAL GERAL: é toda a função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrárias. Se a equação é de primeira ordem, aparece uma constante, se é de segunda ordem, duas constantes, etc..
Geometricamente, a solução geral ou o integral geral representa uma família de curvas (denominadas curvas integrais).
EXEMPLO: a equação diferencial (^) dxdy^ = senx tem como solução geral a seguinte
família de curvas a que chamamos campo de direcções da equação diferencial:
SOLUÇÃO PARTICULAR OU INTEGRAL PARTICULAR: é toda a solução da equação diferencial que se obtém da solução geral, por particularização da(s) constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral.
EXEMPLO: no caso anterior para a constante c =2 temos
E XEMPLO : Determinar a equação diferencial associada à família de curvas
y^2 = cx + 2 y.
A equação procurada é de primeira ordem, derivando em ordem a x , tem-se 2 yy '= c + 2 y ' ou c = 2 y ' (y − 1 ) , eliminando a constante arbitrária vem y^2 = 2 xy ' (y − 1 ) + 2 y.
Teorema da existência e unicidade da solução
T EOREMA: Se na equação y (^ n) = f ^ x,y,y',y'',...,y n −^1 , a função
^ −^ f x,y,y',y'',...,y ^ n^1 e as suas derivadas parciais em ordem a
y ,y',y'',...,y ^ n −^1 forem funções contínuas num certo domínio
D ⊆ ℜ n +^1 e se ( a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,an ) ∈ D , então existe uma solução única
y = ϕ ( x ) da equação diferencial que satisfaz as y ( a 0 ) = a 1 ,
y ' ( a 0 ) = a 2 ,..., y (^ n^ −^1 )^ ( a 0 ) = an.
Forma Diferencial ou Forma Canónica de uma equação diferencial
Uma equação diferencial de primeira ordem, na forma normal, tem a estrutura y ' = f(x,y ). Como f (x,y) pode sempre ser considerada um quociente da forma
N(x,y ) f (x,y) M(x,y) = (^) − , a equação diferencial pode também escrever-se (^) N(x,y) M(x,y) dx
dy = −
ou seja
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
Se numa equação diferencial da forma M (x,y)dx + N(x,y)dy = 0 , é possível
decompor os coeficientes M (x,y) e N (x,y) em factores tais que as variáveis x e y
aparecem separadas, isto é, M (x,y) = a(x).b(y) e N (x,y) = c(x).d(y) , a equação
classifica-se de variáveis separáveis.
Resolução de Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis
Se a equação é de variáveis separáveis então podemos passar da forma canónica M (x,y)dx + N(x,y)dy = 0 para a forma a( x).b(y)dx + c(x).d(y)dy = 0.
Separando as variáveis x e y , de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funções de x e de y , resulta uma equação de variáveis separadas. Assim vem:
ca((xx))dx +^ db((yy))dy =^0
Integrando temos:
∫ +^ ∫ b(y)dy = c
dx d(y) c(x)
a(x)
A equação obtida é a solução geral de uma equação de variáveis separáveis.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES
Uma equação de primeira ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função
incógnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente por
y' + P(x)y = Q(x )
com P(x) e Q(x) , funções contínuas.
Se Q(x) =0, y' + P(x)y = 0 diz-se uma equação linear homogénea, que é uma equação
de variáveis separáveis. Se Q(x) ≠ 0 , a equação linear é não homogénea, completa ou
com segundo membro.
Resolução de Equações Diferenciais Lineares
Para resolver equações diferenciais lineares utilizamos expressão
y = e −^ ∫ P(x)dx ^ ∫ e ∫ P(x)dxQ(x)dx + c 1
com c 1 constante arbitrária.
EQUAÇÕES DE BERNOUILLI
Uma equação de primeira ordem diz-se de Bernouilli se pode ser reduzida à forma
canónica
y ' + P ( x ) y = Q ( x ) y^ n
com P(x) e Q(x) , funções contínuas e n constante.
Resolução de Equações de Bernouilli
Para resolver uma Equação de Bernouilli primeiro que tudo multiplicamos ambos os
membros da equação por y −^ n e obtemos
y − n^ y ' + P ( x ) y^1 − n = Q ( x )
Seguidamente fazemos a mudança de variável z = y^1 −^ n com z ' = ( 1 − n ) y − ny ' e
obtemos
1 − z^ ' n + P ( x ) z = Q ( x ) ⇒^ z '^^ +(^1 − n ) P ( x ) z =(^1 − n ) Q ( x )
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Integra-se e seguidamente regressa-se à variável y fazendo z = y^1 − n
