Baixe Polimeros Dielétricos e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
Polímeros dielétricos
Princípios físicos
Polímeros dielétricos se encontram no grupo dos polímeros eletroativos eletrônicos, atuados por campos elétricos (seção 2.4). Os atuadores que utilizam esses materiais se baseiam no simples efeito capacitivo entre dois eletrodos flexíveis (por exemplo, graxas condutoras) depositados nas duas superfícies do polímero. Polímeros com baixa rigidez elástica e grande constante elétrica podem ser usados para induzir grandes deformações quando submetidos a altos campos eletrostáticos. Eles podem ser representados por capacitores de placas paralelas e sua utilização sob campos elétricos da ordem de kV pode levar a altas deformações e forças significativas [Pelrine et al, 1998]. Quando uma diferença de potencial é aplicada entre os eletrodos depositados no polímero, uma atração eletrostática (força de Maxwell) entre os mesmos aparece devido ao surgimento de cargas opostas nas superfícies do dielétrico. Essa força eletrostática comprime o polímero, fazendo com que sua espessura diminua. Como há conservação de volume do material (coeficiente de Poisson dos elastômeros é próximo de 0,5), as outras dimensões livres do dielétrico expandem como mostra a Figura 14. Além disso, a repulsão eletrostática entre cargas de mesmo sinal em cada eletrodo contribui com a expansão lateral do polímero [Pelrine, Kornbluh, e Kofod, 2000].
Figura 14: Princípio de operação de atuadores com polímeros dielétricos [Bar-Cohen, 2004].
Utilizando um modelo eletrostático simples, pode-se chegar à pressão efetiva dos eletrodos sobre o polímero (responsável pela deformação do material) como uma função da tensão aplicada. Essa pressão efetiva P, portanto será:
2 P = e er 0^ ^^ Vz (3.1)
onde er é a permissividade relativa do polímero (constante dielétrica), e 0 é a permissividade do vácuo, V é a tensão elétrica aplicada e z é a espessura do polímero. A deformação resultante do polímero dependerá das condições de contorno, das cargas aplicadas e do módulo de elasticidade do material, que não é linear para grandes deformações. Além disso, a constante dielétrica do material aumenta se o mesmo estiver pré-tensionado antes de ser aplicada a tensão elétrica (de 18 MV/m sem deformação até 218 MV/m depois de deformado 500% nas duas direções planas) [Kofod et al., 2001]. Portanto, um pré-tensionamento do material é necessário para que altas tensões possam ser aplicadas maximizando a atração entre os eletrodos. No entanto, esse pré-tensionamento é anisotrópico, tornando o módulo de elasticidade diferente nas direções planas. Com isso a modelagem geral para a deformação resultante do polímero não é simples.
Figura 17: Atuador de dois graus de liberdade feito do polímero, com 9 regiões ativadas, enrolado numa mola, dobrando para a esquerda em resposta à ativação de algumas das regiões do polímero [Bar-Cohen, 2004].
O desenvolvimento de músculos artificiais a partir de polímeros dielétricos é uma área bastante incipiente no mundo e principalmente no Brasil. Grandes descobertas já foram feitas nessa área no que diz respeito à caracterização física e dinâmica do material. Já existem diversas aplicações para essa tecnologia, incluindo atuadores lineares, sensores, micro-posicionadores etc., mas o desafio continua sendo encontrar uma forma de utilizar esses atuadores de uma maneira mais prática para que um dia esta possa ser usada nos principais atuadores de uma prótese para deficientes e de manipuladores igualmente fortes aos atuais, com a vantagem de serem mais leves e de consumirem menor energia. Novas áreas da engenharia podem contar com essa tecnologia, como a aeronáutica, onde as asas podem ser feitas de materiais maleáveis revestidos por polímeros dielétricos, que ao serem atuados mudariam a forma da asa dispensando a utilização de flaps. Conhecendo as equações matemáticas da força gerada pelo polímero em função da tensão aplicada, é possível desenvolver um sensor de baixo custo para altas tensões. Fibras musculares artificiais utilizando mini atuadores, do tipo diamante, em série, poderiam ser uma nova alternativa para as próteses humanas. Sensores de tato poderiam ser feitos através da detecção da variação da capacitância de uma matriz de micro-atuadores espalhados pela pele artificial implantada em pacientes com queimaduras graves cuja capacidade de regeneração da pele foi cessada devido a extensão da ferida, ou mesmo nas
próteses humanas de forma a se aproximar ainda mais das funcionalidades originais do membro perdido. Com o avanço dessa tecnologia, deve-se criar uma interface elétrica compatibilizando a potência dos sinais produzidos pelo corpo humano e a potência dos atuadores utilizados nas próteses, de forma a acabar com a necessidade dos deficientes de ter que carregar baterias junto com as próteses. Empresas estrangeiras já possuem dispositivos que bombeiam líquidos utilizando polímeros dielétricos e, pelo mesmo princípio, corações artificiais podem ser desenvolvidos bem como esôfagos ou quaisquer outras partes do corpo humano que se utilizam de movimentos peristálticos para transporte.
x x y z y y x z z z x y
E
E
E
= ^ − +
= ^ − +
onde ε x , ε y e ε z são as deformações do atuador e E e υ são o Módulo de Young
e o coeficiente de Poisson do polímero, respectivamente. Substituindo os valores da equação (3.2), tem-se:
( ) (^ )
x y z
E P^ P^ P^ P E
E P^ P^ P^ P E
ε ε υ ε υ υ
= = ^ − − =
= ^ − − + = − +^ (3.5)
Figura 18: Esboço do polímero na configuração de capacitor livre.
Se considerarmos que a deformação é dada pela expressão 0 0
l l
ε l
= − , comumente
usada na engenharia, erros de mais de 30% estariam sendo cometidos para ε = 1 , que é a ordem de grandeza das deformações envolvidas nessas tecnologias. Logo a equação para deformação real foi utilizada e com isso tem-se:
( )
0 2 0 2 1 2 2 0
P (^) E P (^) E P E
x x e y y e z z e
(^) − + υ
onde x 0 , y 0 e z 0 são os comprimentos iniciais da área ativa do atuador.
Eletrodos Rígidos
A diferença entre esse caso e o anterior consiste no eletrodo utilizado. Enquanto que no exemplo anterior os eletrodos acompanhavam a deformação do polímero, neste caso os cálculos foram feitos para eletrodos rígidos. Como os eletrodos são colados no polímero, as deformações nas direções de x e y, são nulas, só havendo, portanto, deformações na espessura do elastômero, vide Figura
Figura 19: Esboço do polímero na configuração de capacitor com eletrodos rígidos.
Como as deformações ε (^) x e ε (^) y são nulas, tem-se:
Note que quando υ = 0,5, tem-se σ x = σ y = σ z e ε z = 0 , o que significa
que o polímero se comporta como um fluido pressurizado uniformemente com
pressão^ P^ 2 , e o filme não muda de espessura, senão não conservaria o volume.
Atuador Retangular
Neste exemplo, ilustrado na Figura 20, o atuador é revestido com graxa condutora e preso a duas barras rígidas, e está livre para deformar tanto em y quanto em z, logo:
σ (^) z = − P 2 , (^2) y P^ F^ y σ = + (^) xz (3.12)
A tensão em y possui duas componentes, uma respectiva à repulsão das cargas em cada eletrodo e outra causada por um peso Fy de uma massa pendurada na barra inferior da Figura 20.
Figura 20: Esboço do polímero na configuração de atuador retangular.
Como a dimensão x é muito maior que em y, e sabendo que as extremidades ao longo da direção x estão engastadas nas barras, temos que ε (^) x = 0 , logo:
ε (^) x = (^1) E^ σ^ x −υ σ (^) ( (^) y + σ z ) = 0 ⇒ σ (^) x = υ σ( (^) y + σ (^) z )=υ^ Fxzy (3.13)
ε (^) y = (^) E^1^ σ^ y − υ σ ( (^) x + σ z ) = (^) E^1^ ^^ Fxz^ y^ ( 1 − υ^2 ) + P 2 ( 1 +υ)
ε (^) z = (^) E^1 σ^ z − υ σ ( (^) x + σ y ) = (^) E^1^ ^ − P 2^ − υ^2 P^ +^ Fxz^ y^ ( 1 + υ) ^ ^ = − (^1 + E^ υ )^2 P + Fxzy υ
A partir da equação acima podemos isolar a força exercida pela massa, obtendo:
y (^) 1 2 y 2 1
F^ Exz^ ε P^ xz
Sabendo-se que z = z e 0 ε z e utilizando a Equação 3.15, pode-se implementar uma
solução numérica para achar z. Em seguida, a deformação em y é obtida com a
equação (3.14) e o comprimento final y pela equação y = y e 0 ε^ y.
Atuador Retangular Duplamente Engastado
Este exemplo será reproduzido em um dos experimentos da pesquisa. Ele é uma adaptação do caso anterior onde as duas extremidades ao longo da dimensão x estão engastadas como mostra a Figura 21. Para resolver o sistema de uma forma mais simples, sem precisar recorrer às técnicas de elementos finitos, assume-se que o polímero possui comprimento infinito na direção x. Assim, a deformação dessa direção, no ponto central, será nula. Como o polímero está
engastado na direção y e foi pré-tensionado mecanicamente, a deformação ε y = 0.
Desta forma, pode-se assumir que o atuador está livre apenas para deformar na
direção z, logo ε x = ε y = 0.
ε (^) x = (^1) E^ σ^ x −υ σ (^) ( (^) y + σ z ) = 0 ⇒ σ (^) x = υ σ( (^) y +σ z ) (3.17)
Se for considerado o coeficiente de Poisson como 0,5, de acordo com a equação
3.21, tem-se ε z = 0 , como deveria ser, pois foi assumido que as deformações nas
outras direções eram nulas e com isso se o material é incompressível a deformação em z também deve ser nula. Para que haja deformações durante as simulações, admitiu-se que o coeficiente de Poisson um pouco menor que 0,5 de forma a considerar que o material é compressível e, mesmo não variando as dimensões ‘x’ e ‘y’, poderá haver uma deformação em ‘z’. Comparando os resultados experimentais com as simulações encontrou-se um valor de 0,495 para o coeficiente de Poisson. Esse valor muito próximo de 0,5 mostra que as suposições feitas são aceitáveis e que em um futuro próximo estudos poderão aferir um valor mais acurado deste parâmetro. Outra possibilidade de modelo para curva de tensão mecânica e deformação do polímero pode ser obtida através da formulação de Ogden [Goulbourne, 2005]. Esta se adapta melhor as altas deformações dos materiais hiper-elásticos. Sua forma (para um modelo de segunda ordem) é mostrada na Equação 3.22:
(^1 1 1 ) 2 2
α^1 α^1
Os parâmetros μ 1 , μ 2 , α 1 e α 2 podem ser ajustados, por exemplo, pelo método
dos mínimos quadrados.
Aplicação dos modelos desenvolvidos no controle do sistema
Para controlar a força exercida pelo atuador da seção 3.2.4, foi implementado via software um controlador padrão PID e ajustou-se os ganhos de forma a obter-se a “melhor” resposta possível (resposta estável, convergência o mais rápido possível e com overshoot máximo de 1%). A Figura 22 mostra a malha de controle representativa do sistema.
Figura 22: Diagrama de blocos do sistema de controle de força do atuador polimérico.
Desse diagrama podemos estabelecer uma relação entre o valor desejado (Sp) e a saída do sistema (F).
e = Sp − Vf (3.23) V sig = K (^) p^ ^ e + K ed ^ +∫^ eKi (3.24)
VkV = Vsig C 10 (^) + C 11 (3.25) 0 0 2 0 0 2 r (^) 2 kV r kV F AP x ze e V^ x e e V = = (^) z = (^) z (3.26) V (^) f = C F 2 (3.27)
Com essas equações chega-se ao seguinte resultado:
( ) ( ) ( )
2 F Ctez K (^) p Sp C F 2 Kd (^) dtd Sp C F 2 (^) K^1 i Sp C F 2 dt C 10 (^) C 11 = ^ ^ − + − + − + ^ ∫^ (3.28)
Figura 23: Malha de controle do sistema com a utilização de um controlador PID com ganhos variáveis. O ajuste proposto consiste em multiplicar o ganho proporcional do controlador (e conseqüentemente a tensão de atuação do polímero) por um fator
de ajuste de (^) Fz , onde a força F é a medida pela célula de carga e a espessura z é
encontrada através do modelo matemático desenvolvido. Desta forma, obteríamos uma relação linear entre a força exercida pelo polímero e a sua tensão de atuação, como mostra a Equação 3.29.
0 0 2 2 F x e er^^ ( V^ kV^ zF ) x e e V^0 r^^0 kV^ z F^2 x e e V 0 r 0 kV^2 F VkV x e e 0 r 0 = (^) z = (^) z F ⇒ = ∴ =
No entanto, o sistema (amplificador) geradora de alta tensão fornece uma saída do tipo VkV = C V 10 sig + C 11 , onde Vsig é a saída do controlador. Multiplicando-se o
ganho proporcional do controlador pelo fator de ajuste mencionado acima, multiplica-se apenas a primeira parcela desta equação. Elevando-se essa tensão à segunda potência, tem-se não só a soma de três termos, mas também um termo com dependência da raiz quadrada da razão da espessura pela força, como mostra a Equação 3.30:
VkV = C 10 (^) K eqp (^) F^ z^ + C 11 (^) ⇒ VkV^2 = (^) ( C K eq 10 p )^2 Fz^ + C 11^2 + 2 C C 11 10 K eqp Fz (3.30)
onde eq = ^ e + K ed ^ +∫^ eKi . Desta forma, a linearização do sistema proposta
acima não ocorrerá. A solução encontrada para isso, é substituir a saída do controlador de uma forma que a alta tensão sobre o músculo artificial seja o produto do sinal de entrada da caixa geradora de alta tensão por uma constante, sem a soma de nenhuma outra parcela, conforme a seqüência de equações abaixo.
11 10 10 11
sig Nsig kV Nsig
V^ C
V C V C V C
= ^ ⇒ = + ⇒
11 10 10 11
sig kV sig
V^ C
V C C C V
⇒ = ^ + =
Substituindo a Equação 3.31 em 3.29 obtem-se a equação do sistema linearizado, dada por
F = 1000 ^ K (^) p ^ ( Sp − C F 2 (^) ) + K (^) d (^) dt^ d^ ( Sp − C F 2 (^) ) + (^ Sp^ − C F^2 ) Ki x e e 0 r 0 ^ ∫^ (3.32)
