Universidade Federal de Lavras – Departamento de Ciência da Computação
Princípio de Circuitos Elétricos
Material desenvolvido para a
Disciplina de Eletrônica Básica
do Curso de Ciência da Computação
Prof. João C. Giacomin – Ms.C.
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Análise de circuitos elétricos: Leis de Kirchhoff e teoremas de Norton e Thevenin, Notas de estudo de Circuitos Elétricos
Uma análise detalhada dos circuitos elétricos, com ênfase nas leis de kirchhoff e nos teoremas de norton e thevenin. O texto aborda a importância de ter um ponto de referência para medir potencial, aplicando as leis de kirchhoff para determinar valores de tensão e corrente em componentes de circuitos elétricos simples e complexos. O documento também explica como os teoremas de norton e thevenin simplificam a análise de circuitos com várias fontes e resistores.
Tipologia: Notas de estudo
2023
1 / 41
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Universidade Federal de Lavras – Departamento de Ciência da Computação
Princípio de Circuitos Elétricos
Material desenvolvido para a Disciplina de Eletrônica Básica do Curso de Ciência da Computação
Prof. João C. Giacomin – Ms.C.
Princípio de Circuitos Elétricos
Este texto foi elaborado a partir de cópia de partes do livro: Tucci & Brandassi – Circuitos Básicos em Eletricidade e Eletrônica, Artigos obtidos na internet, e alguns textos escritos por mim mesmo. Algumas modificações, resumos, comentários e colagem de figuras, foram feitos por mim. Este texto, eu estarei utilizando como material de leitura complementar para os alunos de eletrônica do curso de Ciência da Computação da UFLA. Se os autores do livro forem contrários à utilização deste material, escrevam para mim e eu retirarei de circulação. Para aqueles que querem entender as bases e alguns conceitos na teoria de circuitos elétricos, eu indico o livro. Há alguns exemplares na nossa biblioteca. e-mail: [email protected]
1. INTRODUÇÃO
Na Grecia antiga, cerca de 600 anos A.C., Tales de Mileto, conseguiu atrair certos corpos leves com um pedaço de uma resina denominada âmbar, em grego ηλεκτρσν (eléctron), após atritá-la em pele de gato. Este fato foi confundido com as ações magnéticas que já eram do conhecimento geral desde a descoberta da magnetita, pelos gregos. Mais tarde descobriu-se que outras substâncias adquiriam as mesmas características do âmbar atritado. No século XVI, William Gilbert introduziu o termo eletricidade e estabeleceu critérios para diferenciar os fenômenos de ações elétricas dos de ações magnéticas e estabeleceu também os princípios do magnetismo. Foi descoberto por Dufay, em l733 que as ações puramente elétricas são ora atrativas ora repulsivas; reconheceu-se a existência de duas espécies de eletricidade; Franklin propôs os estados elétricos positivo e negativo e Coulomb, em fins do século XVIII, estabeleceu uma lei quantitativa entre as ações elétricas. O estudo da corrente elétrica foi inicialmente feito nos fins do século XVIII por Galvani e Volta, e mais tarde no século XIX, Faraday e Rowland reconheceram que a corrente elétrica era eletricidade em movimento. No final do século XIX, Thomson descobriu o elétron, Becquerel descobriu e estudou a radioatividade e, no começo do século XX, Millikan mediu a carga do elétron; em 1911, Rutherford apresentou seu modelo atômico que foi complementado por Bohr e Sommerfeld em 1913; a teoria quântica de Schrodinger e Heisenberg, a relatividade de Einstein e o eletromagnetismo de Maxwell abriram novos horizontes nos campos da Física e, em 1932, Anderson descobriu o pósitron (o elétron positivo), o primeiro passo da antimatéria. Paralelamente, em l884, Edison utilizou seu fenômeno termoeletrônico e desenvolveu a lâmpada; em 1904 o professor J.A.Fleming desenvolveu, a partir do efeito Edison, a primeira válvula, o Diodo.
Para a aplicação em equipamentos profissionais utilizam-se os resistores de película metálica ou “metal film resistor”. Nesse resistor, uma película de níquel-cromo é depositada, por meio de vaporização e a vácuo, sobre uma barra de porcelana e as demais fases seguem as seqüências do resistor de carvão. Não oferecem possibilidades de obtenção de valores maiores que 1Mohm mas, além de apresentarem baixo coeficiente de variação térmica, apresentam alto grau e confiabilidade, garantindo tolerâncias próximas a 1%. Sem dúvida, pela vaporização de níquel-cromo e em ambiente a vácuo, o resistor de película metálica é mais caro que seu semelhante de carbono. É evidente notar que não seria possível, a nenhuma indústria especializada na fabricação de resistores, colocar todos os valores de resistência, comercialmente falando. Segue-se, de um modo geral, uma linha de valores preferenciais, a saber: 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68, 82. Podemos encontrar resistores de: 0,0lΩ ; 0,lΩ ; 1Ω ; 10Ω ; 100Ω ; 1kΩ ; l0kΩ; l00kΩ ; lMΩ; ou 0,22Ω ; 2,2Ω ; 22Ω ; 220Ω ; 2,2kΩ ; 22kΩ; 220kΩ e 2,2MΩ , etc. Um resistor, ao ser percorrido por uma determinada corrente elétrica, fará com que apareça uma dissipação térmica através de seu corpo. A quantidade de energia que o resistor consegue libertar é função da área livre do resistor, que normalmente fica em contato com o ar. Desse modo, se o corpo do resistor for muito pequeno, a quantidade de energia libertada será também pequena e vice-versa. Os resistores de película são construídos com diferentes tamanhos correspondentes a diferentes potências. A figura 2 mostra os tamanhos mais comumente fabricados, que são: 1/8W, 1/4W, 1/2W, 1W e 2W. Esses resistores são facilmente identificáveis pelo comprimento e pelo diâmetro.
Figura 1 – Resistores de fio, e resistor de Figura 2 – Resistores de várias potências filme de carbono
Exemplo
Qual o menor tamanho que pode ter um resistor de 1kΩ suportar uma corrente de 25 mA?
Calculemos inicialmente a potência a ser dissipada:
P = R.I^2 ∴ P = 1kΩ (25 mA)^2 = 625mW
O menor tamanho é 1W.
3. TERRA E POTENCIAL DE REFERENCIA
Já vimos anteriormente que tensão é a medida da diferença de potencial entre dois pontos. Desse modo, quando dizemos que a tensão do resistor é 10V, estamos dizendo que a diferença de potencial entre seus terminais é 10V, isto é, o potencial do ponto A é 10V em relação ao ponto B ou o potencial de B e – 10V em relação ao ponto A. Na figura 3, a tensão em A, com relação a B, é 10V e a tensão em C, com relação a A, é –50V.
Figura 3 – Ramo de circuito elétrico
Sempre que formos medir potencial , necessitamos de um ponto de referência. A referência padrão é o potencial terra , normalmente confundido e feito coincidir com massa e chassi. É comum, durante ensaios ou experiências, pedir-se a tensão no ponto A ou no ponto B, por exemplo. É claro que nessas condições, o ponto de referência é a massa ou terra. O potencial padrão, potencial terra, é 0V, e é erro freqüente imaginarmos que qualquer componente ou circuito ligado ao terra se anula ou se descarrega.
O que acontece não é bem assim. Se um ponto, A, de um circuito elétrico estiver ligado
à terra, dizemos que ele está ligado no potencial zero, VA = 0V. Um outro ponto, B, do mesmo circuito estará num potencial VB. Portanto a diferença de potencial entre A e B é
VBA = VB – VA = VB – 0 = VB. Se o ponto A não estivesse ligado à terra, apenas poderíamos
1A 10 Ω
40 Ω
A
B
C
10V
40V
4. LEIS DE KIRCHHOFF
4.1. INTRODUÇÃO
O estudo dos problemas que envolveram os circuitos elétricos simples, permite-nos determinar valores de tensões e correntes em vários componentes como também determinarmos valores específicos e caracterizantes de dispositivos incógnitos. Entretanto, no caso de circuitos mais complexos, que constituem redes elétricas, a solução de valores de tensão, corrente e determinados dispositivos fica mais trabalhosa. As Leis de Kirchhoff formam a base de toda a teoria de redes elétricas que, para uma análise mais ampla e geral, apresenta vários teoremas gerais como, por exemplo, de Norton, Thevenin, Superposição, etc. Trataremos exclusivamente, aqui, das Leis de Kirchhoff aplicadas a circuitos lineares resistivos.
4.2. ALGUMAS DEFINIÇÕES
De um modo geral, os circuitos elétricos não se apresentam de maneira simples mas sob o aspecto de redes elétricas. Rede elétrica é qualquer associação de bipolos elétricos, ativos ou passivos, interligados de formas quaisquer, por meio de malhas elétricas. A figura 5 mostra uma rede elétrica, que é constituída por malhas, ramos e nós.
Figura 5 – Exemplo de rede elétrica
Nós (nodos ou vértices): sáo os pontos de três ou mais bipolos, por exemplo: B, F, H, etc. Os pontos A e I não são nós.
Ramo : todo trecho do circuito compreendido entre dois nós consecutivos, por exemplo: BF; HD; etc. GA não e ramo, mas sim G(A)B e ainda C(I)D.
Malha : todo percurso fechado constituído por dois ou mais ramos, por exemplo: GFHG; FBECF; CEDIC; etc.
Devemos lembrar que, na maioria dos casos, o estudo de uma rede elétrica fica facilitado se a redesenharmos de forma simples, sempre que possível.
4.3. LEIS DE KIRCHHOFF
Muitas vezes denominadas regras, lemas ou ainda corolários de Kirchhoff, são derivadas de dois conceitos básicos da continuidade da corrente elétrica e o da distribuição energética.
4.3.1 – PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF
A primeira lei de Kirchhoff, também denominada lei dos nós, apresenta o seguinte enunciado:
Em um nó, é nula a soma algébrica das intensidades das correntes.
A figura 6 esquematiza um nó qualquer de um circuito qualquer, no qual as correntes que chegam são I 2 e I 5 e as que partem são I 1 I 3 e I 4. Atribuindo sinais positivo e negativo às que chegam e às que partem, respectivamente podemos escrever:
I 2 +I 5 – I 1 – I 3 – I 4 = 0 (1)
I 2 + I 5 = I 1 + I 3 + I 4
ou matematicamente
∑ −
n
j 1
Ij 0
A lei dos nós pode ser ainda formulada assim:
“A soma das intensidades das correntes que chegam a um nó, é igual à soma das
intensidades das correntes que partem desse nó”.
Antes de analisarmos a 2a^ lei, vamos abrir um parêntese e lembrar que, ao percorrermos um ramo e depararmos com um bipolo, este apresentará dois pontos de potenciais diferentes. Vejamos a situação da figura 8a; ao percorrermos o bipolo 1 no sentido indicado, diremos que houve, perda de potencial, isto é, saímos do potencial do ponto A em direção ao potencial (menor) do ponto B e portanto estamos “vendo” a tensão do bipolo 1 com sinal negativo. Na figura 8b, ao sairmos do ponto C em direção ao ponto D, experimentamos uma elevação de potencial e portanto dizemos que a tensão do bipolo 2 é positiva.
Figura 8 – Tensões em um ramo de circuito
De um modo geral, utilizando uma linguagem técnica a figura 8a mostra uma queda de tensão e a figura 8b uma elevação de tensão. Retornemos à análise da malha evidenciada pela figura 7 e representemos as tensões dos componentes, conforme mostra a figura 9. Partindo do nó A e percorrendo a malha no sentido horário, escrevemos:
- E 1 – U 1 + E 3 + U 2 – E 2 =0 (2)
Assim, ao percorrermos uma malha e ao voltarmos ao ponto de partida, todas as quedas e todas as elevações de tensão se compensaram. Um outro enunciado para a lei das malhas é o seguinte:
“A soma das elevações de tensão é igual à soma das quedas de tensão ao longo de um percurso fechado.”
A segunda lei não depende do sentido de percurso da malha. É evidente que, se percorrermos a malha da figura 7 no sentido anti-horário, as quedas se transformarão em elevações e as elevações em quedas, trocando-se todos os sinais negativos por positivos e os positivos por negativos na expressão 2.
Figura 9 – Tensões em uma malha de circuito elétrico
Matematicamente a lei das malhas e expressa por:
∑ −
n
j 1
Uj 0
4.3.3 – APLICAÇOÕES DAS LEIS DE KIRCHHOFF
Para aplicarmos corretamente as leis de Kirchhoff, devemos seguir o seguinte roteiro:
a) isolar a malha em estudo; b) indicar um sentido arbitrário da corrente em cada ramo do circuito e indicar a polaridade dos resistores seguindo o sentido proposto para as correntes; c) colocar as setas que representam as tensões sobre os componentes do circuito; d) escolher um ponto de partida e adotar um sentido de percurso, por exemplo, sentido horário, e aplicar a segunda lei.
internas. A polaridade da tensão E’ equivalente de Thevenin deve ser escolhida de modo que a corrente através de uma carga, que seria ligada ao circuito equivalente de Thevenin, tenha o mesmo sentido que teria com a carga ligada à estrutura ativa original. Para esclarecer melhor o assunto, vamos resolver o exemplo da figura 10 numericamente, como mostrado na figura 12.
Figura 12 – Cálculo do circuito equivalente Thevenin
Vamos determinar inicialmente a tensão equivalente de Thevenin E’ que é a tensão em circuito aberto, medida nos terminais PQ. A resistência total do circuito será:
R = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 = 50Ω
A corrente no circuito será:
0 , 4 A
R
E E
I 2 1 =
A tensão nos terminais PQ pode então ser determinada por:
E’ = E 2 – R 2 I – R 4 I = E 2 – I(R 2 +R 4 ) E’ = 30 – 0,4 (10 + 20) = 18V
Para determinar a resistência equivalente R’, devemos anular as fontes, como mostrado na figura 13. Aqui desprezamos as resistências internas das fontes de tensão. A resistência R’ sará a vista dos terminais PQ. Desta forma, R’ será encontrada por:
( )( ) = Ω
×
R R R R
R R R R
R'
1 2 3 4
1 3 2 4
Figura 13 – Cálculo da Resistência equivalente
Assim, o circuito equivalente de Thevenin será o apresentado na figura 5.
Figura 14 – Equivalente Thevenin do circuito da figura 12
Se conectarmos nos pontos PQ uma carga RL, a corrente que passa por ela será dada por:
L
L R' R
E'
I
Seja, por exemplo, RL = 6Ω, então:
IL = 1A
0 , 5 A
R R
E
I
1 3
1 1 =
= I
1 , 0 A
R R
E
I
2 4
2 2 =
I =I 1 +I 2 = 0 , 5 + 1 , 0 = 1 , 5 A
Para determinar R’, devemos anular as fontes, como na figura 17. Aqui desprezamos as resistências internas das fontes de tensão. A resistência R’ será a vista dos terminais PQ.
Figura 17 – Cálculo da resistência equivalente
Desta forma, R’ será encontrada por:
( )( ) = Ω
×
R R R R
R R R R
R
1 2 3 4
1 3 2 4
que é o mesmo valor já encontrado para o circuito equivalente Thevenin.
Assim, o circuito equivalente de Norton será o apresentado na figura l8.
Se conectarmos nos pontos PQ uma carga RL, a corrente que passa por ela será dada por:
I R R
R
I
L
L •
Figura 18 – Circuito equivalente Norton
Seja, por exemplo, uma carga igual à do exemplo de Thevenin, ou seja, RL = 6Ω; então:
1 , 5 1 A
IL • =
que e o mesmo valor encontrado para IL no exemplo de Thevenin.
Cabe observar que os teoremas de Thevenin e Norton foram aplicados ao mesmo circuito, obtendo-se, resultados idênticos. Segue-se, pois, que os circuitos de Thevenin e de Norton são equivalentes entre si.
Na figura 19, tem-se a mesma resistência R’ em ambos os circuitos. Aplicando-se um curto em cada circuito, a corrente de Thevenin é dada por E’/R’, enquanto que, no circuito de Norton, esta corrente é I’. Como as duas correntes são iguais, tem-se uma relação entre a corrente do circuito equivalente de Norton e a tensão do circuito equivalente de Thevenin, isto é:
R'
E'
I'=
Obteremos a mesma relação se considerarmos a tensão de circuito aberto para cada circuito. Para o circuito equivalente de Thevenin, esta tensão e E’ é para o de Norton, I’.R’. Igualando as duas tensões, temos a mesma relação:
E’ = I’. R’
6. TENSÃO SENOIDAL
6.1. O QUE É TENSÃO SENOIDAL?
A tensão de alimentação dos circuitos elétricos é que determina a forma e a intensidade das correntes que percorrem este circuito. Inicialmente são estudados os circuitos alimentados por tensões de valores constantes, que são chamados circuitos de corrente contínua (CC). Nos circuitos de corrente contínua a tensão tem sempre o mesmo valor durante todo o tempo. Dessa forma a corrente elétrica fluirá sempre em um mesmo sentido. Graficamente, a tensão e a corrente do circuito CC pode ser representada como na figura 20.
Figura 20 – Tensão e corrente em circuito CC
De modo diferente se comportam os circuitos de corrente alternada (CA). Nestes a tensão da fonte de alimentação assume valores ora positivos ora negativos, o que faz a corrente circular ora em um sentido ora no sentido oposto. Graficamente, a tensão e a corrente dos circuitos CA podem ser representadas como na figura 21.
Figura 21 – Tensão e corrente em circuitos CA
Existem várias formas de onda representativas de uma tensão CA. Ela pode ser retangular, triangular, dente-de-serra, senoidal, ou assumir qualquer outro perfil, desde que assuma valores ora positivos ora negativos.
V t I t V t I t
Na maioria das aplicações práticas e industriais a tensão senoidal é a forma de onda empregada para alimentar os circuitos elétricos, devido a algumas características especiais desta. A primeira característica importante é a facilidade de obtenção da tensão seonoidal. Outra característica, é que as derivadas e as integrais de uma senoide são também senoides.
6.2. CARACTERÍSTICAS DAS TENSÕES E CORRENTES SENOIDAIS
Uma onda de tensão senoidal assume diferentes valores a cada instante descrevendo uma curva de seno em função do tempo. Matematicamente podemos descrever uma tensão senoidal conforme a equação abaixo:
Para variáveis de componentes alternadas, sempre usaremos letras minúsculas, diferentemente da variáveis de componentes contínuas que são indicadas com letras maiúsculas.
Nesta equação, temos: Vp = Tensão de pico. Máximo valor que a tensão v(t) assume. Isto quer dizer que os valores possíveis para v(t) estão compreendidos entre –Vp e +Vp; ω = freqüência angular. É o valor da freqüência multiplicado por 2π: ω = 2πf =2π/T T = é o período com o qual a onda senoidal se repete. T = 1/f.
A senoide descrita acima foi desenhada tendo valor zero no instante t=0. De forma diferente, se esta senoide tivesse um outro valor quando t=0, deveríamos colocar um outro argumento na função seno, que demonstraria um deslocamento no eixo do tempo no gráfico. Desta forma a descrição da onda senoidal seria:
Neste caso, quando t=0, o valor Vpsen(θ) será o valor inicial da tensão.
A figura 22 mostra duas ondas de tensão senoidal sobre o mesmo gráfico, tendo o mesmo valor máximo e a mesma freqüência. Para a onda de v 1 , θ 1 =0o, e para v 2 , θ 2 =30o=π/6. O eixo das abcissas é marcado por valores de tempo (t) acima, e os correspondentes valores de freqüência angular (ωt), abaixo. Sobre essas ondas, dizemos que existe uma defasagem de θ 2 - θ 1 =30o^ de v 1 em relação a v 2 , ou seja, v 2 está adiantada de 30o^ em relação a v 1 , e v 1 está atrasada de 30o^ em relação a v 2. Podemos , então, dizer que o argumento θ representa a fase da onda senoidal. Em Engenharia Elétrica, o ângulo de fase é normalmente escrito em graus e não em radianos. Por exemplo, podemos descrever uma onda de amplitude 180V, freqüência 60Hz (período T=1/f = 0, seg), e fase 30o^ como: v(t) = 180sen(2π60t + 30o) = 180sen(377t + 30o)
v ( t )=Vp sen( ω t )