Departamento de Matem´atica - ´
AREA II - CCEN - UFPE
C´
ALCULO 4 - Turmas 01 e 12 - 2010/2
LISTA 2
1. Ache a solu¸c˜ao geral da EDO y0=px2+y2−x
y(x > 0, y > 0); deixe a resposta na
forma expl´ıcita y=y(x). Supondo a condi¸c˜ao inicial y(1) = √3, obtenha a solu¸c˜ao e
desenhe a curva integral correspondente.
2. Determine uma equa¸c˜ao diferencial cujas curvas integrais sejam dadas pela fam´ılia
de curvas x3−3xy2=c, onde c´e um parˆametro real. Obtenha a equa¸c˜ao diferencial
satisfeita pela fam´ılia de trajet´orias ortogonais e ent˜ao determine as curvas desta fam´ılia.
3. (a) Ache a solu¸c˜ao geral de y0+y
x=cos x
y(x > 0).
(b) Resolva o p.v.i. t2y0+ 2ty −y3=0(t > 0), y(1) = 1.
4. Resolva o p.v.i. y00 + 5y0+ 6y= 0, y(0) = 2, y0(0) = 3 e desenhe o gr´afico da solu¸c˜ao
y(t) (−∞ < t < ∞), fazendo um estudo completo (pontos cr´ıticos e de inflex˜ao etc.)
5. Considere a equa¸c˜ao x2y00 + 3xy0−8y= 0 (x > 0).
(a) Ache todas as solu¸c˜oes da forma y=xm, onde m´e um n´umero real.
(b) Determine a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial. Justifique.
(c) Determine a solu¸c˜ao com y(1) = 4, y0(1) = 2.
6. Considere a EDO y00 −(2α−1)y0+α(α−1)y= 0. Determine os valores do parˆametro
αpara os quais todas as solu¸c˜oes da EDO correspondente tendam a 0 quando t→+∞.
Determine tamb´em os valores de αpara os quais todas as solu¸c˜oes n˜ao-nulas se tornem
ilimitadas quando t→+∞.
7. Prove que para solu¸c˜oes quaisquer y1ey2da equa¸c˜ao y00 + 5y0+ 6y=f(t),vale
lim
t→+∞(y1(t)−y2(t)) = 0. Conclua que se para alguma solu¸c˜ao y1o limite L= lim
t→+∞y1(t)
existir, ent˜ao para toda solu¸c˜ao y(t) o limite lim
t→+∞y(t) existe e ´e igual a L.
8. Se um foguete ´e lan¸cado verticalmente com velocidade inicial v0, escreva a EDO de
primeira ordem satisfeita pela velocidade vcomo fun¸c˜ao da altura x(ignore a for¸ca de
resistˆencia do ar). Resolva o p.v.i. correspondente para determinar v=v(x).
9. Resolva os problemas abaixo. Sugest˜ao: em cada caso, primeiro reduza a uma EDO
de primeira ordem apropriada.
(a) Ache a solu¸c˜ao geral de y00 +y0=et.
(b) Resolva o p.v.i. yy00 + (y0)2= 0, y(0) = 1, y0(0) = 1.
(c) Ache a solu¸c˜ao geral de y00 + (y0)2= 2e−y.
