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PROBLEMAS INVERSOS: CONCEITOS BÁSICOS E APLICAÇÕES
Haroldo Fraga de Campos Velho – [email protected] Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, Lab. de Computação e Matemática Aplicada Av. dos Astronautas, 1758 – Cx. Postal 515 – 12201-970, São José dos Campos, SP.
Resumo. Estas são as notas do Mini-Curso apresentado durante o IV Encontro de Modelagem Computacional em Nova Friburgo (RJ), promovido pelo IPRJ -UERJ. O Mini- Curso apresenta uma introdução sucinta aos problemas inversos. Primeiramente, conceito e classificação de problemas inversos são descritos, para então serem comentadas algumas técnicas “clássicas” de solução – a ênfase do Mini-Curso estará centrada na técnica de regularização, onde vários exemplos são apresentados e discutidos. Contudo, a parte final do Mini-Curso está voltada a técnicas novas de solução de problemas inversos. Duas dessas técnicas serão analisadas: redes neurais e algoritmos genéticos. Estas duas técnicas serão testadas em problema inverso de condução de calor.
Palavras-chave: Problemas inversos, Soluções regularizadas, Redes neurais, Algoritmos genéticos.
1. INTRODUÇÃO
A partir de certo estágio do desenvolvimento da sociedade humana, o conhecimento tornou-se cada vez mais compartimentado, primeiramente a ciência é separada em grandes áreas: culturais, biomédicas e exatas. Estas por sua vez se subdividem em dois grandes grupos: ciências básicas e aplicadas; para se subdividirem mais ainda. Por exemplo, nas áreas de ciências exatas tem-se a matemática, a física e a química como exemplos de ciências básicas e as engenharias, geociências e astronomia podem ser encaradas como áreas de aplicação destas ciências. Todavia, cada uma destas ciências, sejam básicas e/ou aplicadas, também podem ser subdivididas em pura e tecnológica , teórica e experimental. O conhecimento humano é hoje um grande mosaico de especialidades. Há, porém, áreas de estudo que requerem conhecimento de várias especialidades: são as áreas (ciências) multidisciplinares. Problemas inversos (PIs) são exemplos de área multidisciplinar. A distinção entre o que seja um problema direto ou inverso para um dado fenômeno, está ligada a nossa cultura, isto é, trata-se do que se interpreta como causa e efeito! É atribuído a Oleg Mikailivitch Alifanov (www.me.ua.edu/inverse/whatis.html), proeminente pesquisador russo na área de problemas inversos, a afirmação “ a solução de um problema inverso consiste em determinar causas baseado na observação dos seus efeitos ”. Do ponto
de vista prático, convenciona-se chamar problema direto àquele em que o estudo antecedeu-se historicamente. Tal ambigüidade (direto/inverso), pode ser exemplificada do seguinte modo, se o modelo matemático é expresso por A(u) = f , o modelo inverso pode ser representado por: A -1( f ) = u. Por outro lado, definindo-se B ≡ A -1, o par problema direto- inverso torna-se: B ( f ) = u (^) ⇒ B -1( u ) = f!
Como se percebe, a própria definição de PI pode apresentar controvérsias. Entretanto, neste trabalho, a observação de Oleg M. Alifanov é a base para a conceituação de PIs. Uma
definição, bem como classificações de PIs, é apresentada na próxima seção. Algumas técnicas de solução de problemas inversos são apresentadas. Estes métodos são exemplificados em algumas aplicações: geofísica, meteorologia, oceanografia e transferência de calor. As últimas seções deste texto estão voltadas a duas técnicas novas: redes neurais e algoritmo genético. Estas notas estão fortemente baseadas no Curso de Problemas Inversos , disciplina regular do Curso de Pós-graduação em Computação Aplicada (CAP) do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) (http://www.lac.inpe.br/cap/) - ministrada pelo Dr. Fernando M. Ramos, e na experiência do autor na área. Parte deste curso está sendo disponibilizado na internet, graças ao trabalho voluntário de Élcio H. Shiguemori. A seção de novas metodologias foi preparada a partir de material elaborado por Élcio H. Shiguemori (redes neurais) e Leonardo D. Chiwiacowsky (algoritmos genéticos), ambos alunos da CAP-INPE (mestrado e doutorado, respectivamente) realizando pesquisas na área de problemas inversos. Durante os anos de pesquisa na área, muitos colegas do INPE e de outras instituições estão associados ao nosso trabalho: Atair Rios Neto, Ezzat S. Chalhoub, Fernando Manuel Ramos, José Demísio S. da Silva, Nandamudi L. Vijaykumar, Nelson J. Ferreira, Stephan Stephany, Domenico Anfossi, Gervásio A. Degrazia, Julio Cezar R. Claeyssen, Marco Tulio Vilhena, Pedro P. B. de Oliveira; bem como estudantes de pós-graduação (atuais ou já formados) que trabalham (ou trabalharam) sob minha supervisão ou junto ao grupo de problemas inversos do INPE: Alexandre G. Nowosad, Débora R. Roberti, Élcio H. Shiguemori, Fabrício P. Härter, João C. Carvalho, Leonardo D. Chiwiacowsky, Marcelo R. de Moraes, Mario R. Retamoso, Wagner B. Muniz. A todos meu especial agradecimento. Deixo claro, entretanto, que somente ao autor deve ser creditado quaisquer erros ou imperfeições no texto. Por último, quero agradecer ao convite do Instituto Politécnico da Universidade do Estado do Rio de Janeiro para ministrar este Mini-Curso, em particular ao amigo Prof. Antônio José da Silva Neto, exemplo de dedicação e competência.
2. PROBLEMAS INVERSOS: CONCEITOS BÁSICOS
É creditado ao astrofísico georgiano Viktor Amazaspovich Ambartsumian (http://www.phys-astro.sonoma.edu/BruceMedalists/Ambartsumian/) como aquele que
cunhou a expressão problema inverso (PI). Uma definição bastante abrangente, porém, é apresentada no livro de Engl et al. (1996): “ Resolver um problema inverso é determinar
causas desconhecidas a partir de efeitos desejados ou observados ”. Note-se que a área de projeto ótimo ou projeto inverso ( inverse design ) também está incluída nesta definição. Em geral, as observações são imprecisas (dados contaminados com ruídos ou erros
classificação tinha em mente como estimativa de função a noção de função contínua , desta forma a determinação de coeficientes ck da expansão de uma função f (x) = Σ k ck φk ( x ) caracterizar-se-ia como estimação de parâmetros e não estimação de função. A classificação do mostrada no item 5 foi proposta recentemente (1999) e está baseada na dimensão do modelo do fenômeno físico (problema direto – PD) e na dimensão da
quantidade a ser estimada (problema inverso – PI) se finita (f) ou infinita (∞). Problemas inversos do tipo reconstrução de imagens são exemplos de PI do Tipo-1, estimação de
parâmetros podem ser classificados como do Tipo-2 ou Tipo-3, enquanto que estimação de função contínua é sempre um problema do Tipo-3. Matematicamente problemas inversos pertencem à classe de problemas mal-postos. No início deste século o matemático francês Jacques Hadamard definiu um problema bem- posto como sendo aquele cumpre as três condições abaixo:
(i) Existe solução; (ii) A solução é única; (iii) A solução tem uma dependência contínua (suave) com os dados de entrada.
Assim, o problema é dito mal-posto se alguma das condições acima não é satisfeita. Problemas discretos e finitos são chamados mal condicionados, se a condição (iii) não se cumpre. Em geral, nenhuma das condições de Hadamard é satisfeita num problema inverso! Exemplos simples podem ser usados para ilustrar os conceitos acima. Por exemplo, considere a solução da equação do 1o^ grau:
2 x − 4 = (^0) (1)
o problema (direto) algébrico acima tem solução única: x =2. O problema algébrico inverso
ax + b = 0 (2)
com x= 2, não apresenta solução única. O problema de estabilidade é exemplificado por uma equação algébrica do 2o^ grau:
ax^2 − 2 x + 1 = 0 (3)
que para a= 1, possui as seguintes soluções: x 1 = x 2 = 1. Introduzindo um erro de 1% no coeficiente a , isto é, a = 1,01 – a solução da Eq. (3) torna-se: x 1,2 = 1 (^) ± 0,1 i , sendo i a unidade dos números imaginários. Ou seja, 1% de ruído em a , Eq. (3) não tem mais solução no campo dos números reais! Mesmo sendo uma área em franco desenvolvimento, PIs é um capítulo relativamente recente na ciência. Há legítimos PIs que não eram reconhecidos com tal. Contudo, existem várias outras áreas da ciência que estão correlacionadas com esta nova área, seja pela natureza do objetivo de estudo, seja pelo ponto de vista metodológico. A lista a seguir apresenta as áreas correlatas aos PIs:
- Identificação de Sistemas;
- Controle Ótimo em Sistemas Estocásticos;
- Álgebra Linear Computacional em Problemas de Posto Incompleto;
- Reconstrução de Imagens;
- Teoria de Filtragem;
- Assimilação/Iniciação de Dados;
- Teoria da Estimação.
Porque PIs emergiram como uma nova área da ciência? Devido a sua importância científica, econômica, social e mesmo política. Por exemplo, ondas de som constituem-se um dos resultados mais significativos a partir de mapas da radiação cósmica de fundo em microondas (Hu, 2000), ou RCFM, sendo uma previsão de modelos de instabilidade gravitacional da teoria da relatividade geral. Mapa de RCFM é um modelo matemático, onde o padrão de flutuações de temperatura é dado por uma expansão em harmônicos esféricos. Outro exemplo, o telescópio espacial Hubble levou cerca de 10 anos para ser construído e custou cerca de US$ 10 bilhões, depois
de seu lançamento notou-se que as imagens produzidas não tinham a nitidez desejada (projetada). O problema apresentado na fabricação das lentes do telescópio tem sido solucionado por software (métodos matemáticos de PIs – ver Hanisch e White, 1993). Centenas de exemplos podem ser citados, para finalizar lembramos a revolução na medicina - e na sociedade, desde a introdução da tomografia computadorizada, um clássico problema inverso.
3. MÉTODOS DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS INVERSOS
Talvez a parte central do curso seja a descrição de métodos de solução de PIs. Embora as propriedades matemáticas sejam relevantes na exposição e desenvolvimento da metodologia, optou-se por uma apresentação sem muitos detalhes matemáticos, onde as técnicas são aplicadas e, espera-se, compreendidas com os exemplos do texto. Uma lista, não exaustiva, de métodos de solução de PIs segue:
- Inversão direta;
- Decomposição em valores singulares;
- Mínimos quadrados e variantes (mínimos quadrados ponderados);
- Métodos de regularização;
- Métodos variacionais;
- Outros (molificação, métodos bayesianos, filtros digitais, redes neurais, etc).
Métodos explícitos, ou inversão direta, não são métodos gerais e, em geral, existe mais um interesse acadêmico do que um esquema metodológico geral a ser seguido. Para exemplificar e para apresentar um problema que será usado para testar novas técnicas, seja o problema inverso de identificação da condição inicial em condução do calor:
T (^) t = α Txx ; em t > 0 , x ∈( 0 , L ); T ( x , 0 )= f ( x ), Tx ( 0 , t )= Tx ( L , t )= (^0) (4)
cuja solução exata do problema direto é
repetida para problemas indeterminados ( M > D ). A indeterminação neste caso aparecerá de forma explícita na decomposição de G :
( ) (^) T V 0
G U
diag (^) j
ω (10)
implicando que a inversa não existe.
Mínimos Quadrados ( M M_ ): solução é dada pela norma mínima de mínimos quadrados ( minimum norm least square ): Min. Quad. + min( m T m ). - Problemas mal-condicionados: Este caso é mais simples: se ω (^) r + 1 ≈ ωr + 2 ≈L ≈ ωM ≈ 0 a^ solução^ é^ obtida^ fixando-se ω (^) r − +^11 = ... = ωM −^1 = 0 ; e a inversa generalizada será dada por:
( ) U d 0
m G d V T ˆ diag^1
= =
−
. (13)
2.3 Métodos de Regularização
Vimos que no caso particular de sistemas lineares indeterminados ( _D
− + + − + =
− + − + =
=
2 2 para 1
para 1
para 0
1 1 max min
1 max min
()
u u u u u k
u u u u k
u k r
q q q
q q
q k q ς
ς (18)
onde rq ( k )^ representa a k -ésima diferença (derivada) da quantidade a ser estimada. A função de entropia atinge seu valor máximo Smax= log( Nq ) quando a função de densidade de probabilidade é uniforme e tem seu valor mínimo S min =0 se os valores de rq estiverem distribuídos por uma delta de Dirac (Muniz et al., 2000).
Figura 3: (a) estados igualmente prováveis, (b) todos estados tem probabilidade nula de ocorrência exceto um único estado com probabilidade de 100% de ocorrência.
Determinação do Parâmetro de Regularização. Para se ter uma teoria completa é necessário ter-se métodos para calcular o parâmetro α na Eq. (20). O parâmetro de regularização é que vai realizar o balanço entre o termo da diferença quadrática entre os dados e o modelo – termo de fidelidade dos dados - e o termo de regularização, termo de suavidade dos dados. A literatura registra vários métodos para a determinação do multiplicador de Langrange (Bertero e Bocaccio, 1998), como o método da curva L e o da validação cruzada. Outra metodologia empregada está baseada no critério da discrepância de Morozov. O critério baseia-se no fato de que a diferença, ou discrepância , entre os dados observacionais e os dados do modelo devem ter a mesma magnitude do erro de medida.
Desta maneira, se δ é erro no processo de medida, α *^ é a raiz da equação
A ( u )− f α * = δ. (19)
O critério da discrepância foi validado também para o caso do Operador de entropia de alta ordem (Muniz et al., 2000).
Solução do Problema de Otimização. A solução é obtida resolvendo o problema de otimização (15). Há uma grande variedade de métodos na literatura, divididos em 2 grandes grupos: métodos determinísticos e estocásticos:
- Deterministas: máxima descida, método de Newton, quase-Newton. Gradiente Conjugado, Método de Levenberg-Marquadt, Método Simplex.
- Estocásticos: Recozimento simulado (SA), Algoritmos genéticos (GA), busca Tabu, otimização extrema.
- Métodos híbridos: Combinam a estratégia de busca global dos métodos estocásticos com busca local dos métodos deterministas (GAPlex, SAPlex)
4. APLICAÇÕES
Há hoje um número explosivo de aplicações de problemas inversos usando soluções regularizadas. Aqui veremos somente 3, com o intuito de exemplificar o método.
4.1 Inversão Magnetotelúrica (IM)
Áreas clássicas de problemas inversos são: geofísica, transferência de calor, reconstrução de imagens. A área de geofísica está ligada ao maior negócio do planeta, a área do petróleo, em particular em prospecção. Há outras aplicações relevantes em geofísica, como mineração e busca de água subterrânea. A metodologia mais empregada nesta área é o uso de métodos sísmicos, onde cargas (excitação artificial no sistema) são detonadas e registros são captados pelo geofones. Inversão magnetotelúrica está baseada em fontes eletromagnéticas naturais – raios cósmicos por exemplo – onde magnetômetros são usados para registrar o campo geomagnético na superfície da Terra. O problema direto é estabelecido pelas equações de Maxwell do eletromagnetismo. Uma idéia para resolver o problema é a busca de soluções regulares, mas com descontinuidade de forma. Um operador de regularização com esta propriedade é obtido minimizando a entropia de 1a^ ordem (Campos Velho e Ramos, 1997).
Figura 4: Mapas de condutividade elétrica em IM: (a) modelo verdadeiro, (b) inversão sem regularização, (c) regularização MinEnt-1, (d) regularização MaxEnt-0.
4.2 - Estimação de Perfis de Temperatura Atmosféricos
Uma das conquistas da tecnologia moderna foi a capacidade de melhorar significativamente a previsão do tempo. Uma das etapas essenciais neste processo foi a
direto: inserção invariante (Stephan et al., 1998; 2000), método SN analítico (Chalhoub et al, 2000; Chalhoub e Campos Velho, 2001 e 2002) e LTSN (Retamoso et al., 2000 e 2001). Vários parâmetros (funções) na Eq.(21) tem importância econômica, ecológica e militar. A tabela abaixo ilustra alguns casos resolvidos no grupo de problemas inversos do INPE, onde CC significa condição de contorno.
Tabela 2: Estimação de propriedades em ótica hidrológica.
Casos Propriedade Método Direto Otimizador Regulariz. (1) (^) S (ζ) Inser. Inv. Q-Newton (Nag)/GA - (2) (^) S (ζ), a , b Inser. Inv. Q-Newton (Nag) MaxEnt- (3) β ( ξ ) SN padrão Q-Newton (Nag) MaxEnt- (4) (^) β ( ξ ), ω 0 SN analítico L-M (IMSL) - (5) C.C. LTSN Q-Newton (Nag) MaxEnt-
5. NOVAS METODOLOGIAS
Praticamente a cada dia surge uma nova metodologia de resolução de problemas inversos, por exemplo a aplicação de uma nova função de regularização usando a entropia não-extensiva (Shiguemori et al, 2002). Mas neste texto nos restringimos a comentar duas técnicas que emergiram da inteligência artificial (computacional).
5.1 Algorítmo Genético
A idéia de computação evolucionária apareceu na década de 60, mas foi com o livro de Holland (1975) é que nasce o algoritmo genético (AG). Estes algoritmos usam como modelos a teoria da evolução de Charles Darwin: elementos computacionais gerando descendentes para no final sobreviverem os mais aptos. Na verdade AG são algoritmos de busca estocástica de uma solução ótima para uma função custo. Desta forma, os elementos computacionais da população são elementos do espaço de busca, que serão avaliados e combinados, de tal forma, que processo deverá tender (indivíduos restantes após várias
gerações) ao ótimo da função custo (aptidão). Em essência há 3 fases importantes na técnica de AG: seleção dos pais , cruzamento ( crossover ) e a mutação. Para muitos autores, a mutação é a etapa mais importante. Num pseudocódigo os passos do algoritmo são (i) Avalia e seleciona a P ( t ) a partir de P ( t -1); (ii) Altera P ( t ): cruzamento e mutação; (iii) Volta ao passo (i) até atingir convergência. Embora os AG tenham sido aplicados para problemas de otimização combinatória, por ser mais simples combinar uma cadeia de caracteres de 0’s e 1’s, há hoje algoritmos usando números reais, que é o caso mais comum da comunidade de PIs. Um pseudo-código para um AG usando números reais é descrito abaixo: (i) Avalie os elementos da população e faça uma ordenação; após promover a seleção (algoritmo tipo roleta ou torneio) (ii) Faça o cruzamento: há várias maneiras, uma delas é o cruzamento geométrico: filho = ( pai 1 ) δ^ ( pai 2 )1-δ, δ ∈ [0, 1], assim pode-se fixar: δ = 0,5.
(iii) Mutação:
(, -l ) sedigito aleatóriofor 1
(, ) sedigito aleatóriofor 0 ' inf
sup i i
i i i (^) x t x
x tl x x ∆
no qual:
∆ ( t , y )=^ [ 1 − r^ (^1 − t /^ T ) b ].
Este procedimento pode ser aplicado no problema inverso da Seção 3, problema direto representado pela Eq. (4). Na função objetivo foi usada a regularização de Tikhonov-0.
Figura 5: Resultados de estimação de condição inicial com AG.
5.2 Redes Neurais
As redes neurais artificiais (RNA) são outro exemplo de ferramenta computacional inicialmente baseada em modelos naturais: o cérebro humano. As RNA são arranjos de elementos de processamento (neurônios), o modelo de neurônio artificial consiste de uma combinação linear seguida de uma função de ativação – o componente não linear do processamento. Os neurônios estão interconectados, com diferentes pesos de conexão. É um sistema de processamento altamente paralelo e de controle distribuído. Vários arranjos podem e tem sido pensado para redes neurais. O mais popular deles é o perceptron de multicamadas. Outras redes (Função de Base Radial e Correlação em Cascata) também foram testadas na estimação de condições de contorno.
Figura 6: Representação de RNA perceptron de multicamada e estimação de fluxo de calor no contorno, onde o problema direto é dado pela Eq. (4).
5. COMENTÁRIOS FINAIS
É fascinante conhecer operadores relativamente simples, mas com a capacidade de transformar um problema mal-posto em um problema com soluções suaves e dependência contínua dos dados! O Prof. M. Bertero chama a solução do tipo da Eq. (15) como o
(^00) 0.1 0. 2 0.3 0. 4 0.5 0. 6 0.7 0. 8 0.9 1
1
- 3
4
5
6
- 8
9
1
pontos de malha
valor de temperatura
Distribuição de Temperatura - Otimização por GA - alfa=0.0135, sigma=0.05 CICI recuperada
(^00) 0.1 0. 2 0.3 0. 4 0.5 0. 6 0.7 0. 8 0.9 1
2
4
6
8^1
2
4
6
8
2
pontos de malha
valordetemperatura
Distribuição de Temperatura - Otimização por GA - alfa=0.00665, sigma=0.05 CICI recuperada
(^00 5 10 15 20 )
(^1) Saída Desejada Dados não SimilaresDados Similares
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INVERSE PROBLEMS: BASIC CONCEPTS AND APPLICATIONS
Abstract. Short-Course notes presented at V EMC (Meeting on Computational Modeling), Nova Friburgo (RJ), organized by IPRJ-UERJ, representing a brief introduction on the subject. Firstly, the concept and classification on inverse problems are outlined, after that some “classical” methods for solving these problems are described, with an emphasis on regularization techniques. In this section several examples are shown and discussed using the regularization operators. However, new techniques are also commented. Two of these new techniques are analyzed: neural network and genetic algorithm applied to inverse problems. The latter schemes are applied to an inverse heat conduction problem.
Key words: Inverse problems, Regularized solutions, Neural network, Genetic Algorithm.
