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ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Produto Interno
Motivação: introduzir noção de comprimento; introduzir noção de ângulo (em particular, ortogonalidade); complemento ortogonal; projeções; mínimos quadrados.
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ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Norma em R^2 ou R^3
Norma (comprimento) de v = (x, y) ∈ R^2 :
‖ v ‖ =
x^2 + y^2.
Norma (comprimento) de v = (x, y, z) ∈ R^3 :
‖ v ‖ =
x^2 + y^2 + z^2.
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Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
(Cosseno de) Ângulo em R^2 ou R^3
Lei dos Cossenos:
‖ u − v ‖^2 = ‖ u ‖^2 − 2 ‖ u ‖‖ v ‖ cos θ + ‖ v ‖^2.
‖ u − v ‖^2 =
∑n i= 1 (ui^ −^ vi^ )
2
∑n i= 1 u
2 i −^2
∑n i= 1 ui^ vi^ +^
∑n i= 1 v^
2 i
= ‖ u ‖^2 − 2
∑n i= 1 ui^ vi^ +^ ‖ v ‖
2
cos θ =
∑n i= 1 ui^ vi ‖ u ‖‖ v ‖
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Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Produto Interno (Canônico) em R^2 ou R^3
Definição (produto interno em R^2 ou R^3 )
Prod. interno (ou escalar) em R^2 ou R^3 : 〈 u , v 〉 =
∑^ n
i= 1
ui vi.
〈 u , v 〉 = u · v = u T^ v
‖ u ‖ =
〈 u , u 〉
cos θ =
〈 u , v 〉 ‖ u ‖‖ v ‖
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ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Propriedades do PI Canônico em R^2 ou R^3
simetria
〈 u , v 〉 = 〈 v , u 〉 ∀ u , v ∈ R^2 ou R^3
bilinearidade
〈α u 1 + u 2 , v 〉 = α 〈 u 1 , v 〉 + 〈 u 2 , v 〉 ∀α ∈ R, ∀ u 1 , u 2 , v ∈ R^2 ou R^3
〈 u , α v 1 + v 2 〉 = α 〈 u , v 1 〉 + 〈 u , v 2 〉 ∀α ∈ R, ∀ u , v 1 , v 2 ∈ R^2 ou R^3 positividade
〈 u , u 〉 > 0 ∀ 0 6 = u ∈ R^2 ou R^3
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ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Definição de Produto Interno
Definição (produto interno) Espaço com PI é um espaço vetorial V munido de uma função 〈·, ·〉 : V × V → R que satisfaz às propriedades: simetria 〈 u , v 〉 = 〈 v , u 〉
bilinearidade
〈α u 1 + u 2 , v 〉 = α 〈 u 1 , v 〉 + 〈 u 2 , v 〉
〈 u , α v 1 + v 2 〉 = α 〈 u , v 1 〉 + 〈 u , v 2 〉
positividade 〈 u , u 〉 > 0
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Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Exemplos
Produto interno canônico de Rn
〈 u , v 〉 =
∑^ n
i= 1
ui vi
Outro produto interno em R^2
〈 u , v 〉 = u T
[
]
v
Bilinear, simétrico.
〈 u , u 〉 = 7 u^21 + 4 u 1 u 2 + 7 u 22
2 ab ≥ −a^2 − b^2
⇒ 〈 u , u 〉 ≥ 5 u 12 + 5 u^22 > 0
Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Mais Exemplos
Produto interno em um espaço de funções
〈 u , v 〉 =
− 1
u (t) v (t)dt
ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Norma de um Espaço com PI
Definição (norma) Se (V , 〈·, ·〉) é espaço com produto interno, define-se, para v ∈ V , ‖ v ‖ =
〈 v , v 〉.
Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Se (V , 〈·, ·〉) é espaço com produto interno e ‖ · ‖ é definida como acima, vale a desigualdade
〈 u , v 〉 ≤ ‖ u ‖‖ v ‖ ∀ u , v ∈ V.
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ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Prova de Cauchy-Schwarz
0 ≤ ‖ u + t v ‖^2 = 〈 u + t v , u + t v 〉 = 〈 u , u 〉 + 2 t 〈 u , v 〉 + t^2 〈 v , v 〉 = ‖ u ‖^2 + 2 t 〈 u , v 〉 + t^2 ‖ v ‖^2 ∀t ∈ R.
Temos at^2 + bt + c ≥ 0 ∀t. Minimizando, obtemos
b^2 − 4 ac 4 a
Como a > 0, temos b^2 ≤ 4 ac, i.e., ( 2 〈 u , v 〉)^2 ≤ 4 ‖ u ‖^2 ‖ v ‖^2. Portanto, 〈 u , v 〉 ≤ ‖ u ‖‖ v ‖.
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Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Propriedades da Norma
Propriedades da norma: ‖ 0 ‖ = 0
‖ v ‖ > 0 ∀ 0 6 = v ∈ V
‖α v ‖ = |α|‖ v ‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V
‖ u + v ‖ ≤ ‖ u ‖ + ‖ v ‖ ∀ u , v ∈ V (Desigualdade Triangular)
De fato,
‖ u + v ‖^2 = ‖ u ‖^2 + 2 〈 u , v 〉 + ‖ v ‖^2 ≤ ‖ u ‖^2 + 2 ‖ u ‖‖ v ‖ + ‖ v ‖^2.
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Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Ortogonalidade
Cauchy-Schwarz ⇒
∣∣^ 〈 u ,^ v 〉 ‖ u ‖‖ v ‖
Definição (ângulo entre vetores)
cos θ =
〈 u , v 〉 ‖ u ‖‖ v ‖
Definição (vetores ortogonais) Diz-se que u e v são ortogonais se 〈 u , v 〉 = 0.
Observação 0 é ortogonal a qualquer vetor.
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ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Conjunto Ortonormal
Definição (vetor unitário) ˆ v é dito unitário se ‖ v ˆ‖ = 1.
Observação (normalização) Se v é não-nulo, ˆ v = (^) ‖^1 v ‖ v é unitário.
Definição (conjunto ortogonal) { v 1 ,... , v p} é ortogonal se
v i , v j
= 0 ∀i 6 = j.
Definição (conjunto ortonormal) Um conjunto ortonormal é um conjunto ortogonal de vetores unitários. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 42
ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Conjunto Ortonormal
Observação (conjunto ortonormal) { v 1 ,... , v p} é ortonormal s.s.s.
v i , v j
= δij ∀i, j.
Teorema Um conjunto ortogonal de vetores não nulos é sempre LI.
Corolário Um conjunto ortonormal é sempre LI.
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Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Conjunto Ortonormal
Prova (do teorema) { v 1 ,... , v p} ortogonal. Então
∑^ p
i= 1
αi v i = 0 ⇒
〈 (^) p ∑
i= 1
αi v i , v j
0 , v j
∑^ p
i= 1
αi
v i , v j
= αj ‖ v j ‖^2 = 0 ∀j
⇒ αj = 0 ∀j (já que v j 6 = 0 .)
Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Coordenadas em Base Ortogonal
β = { v 1 ,... , v n} base ortogonal, u qualquer.
u =
∑n i= 1 αi^ v i^. 〈 u , v j
〈∑n i= 1 αi^ v i^ ,^ v j
∑n i= 1 αi
v i , v j
= αj ‖ v j ‖^2.
αj =
u , v j
‖ v j ‖^2
∀j.
u =
∑n i= 1
〈 u , v i 〉 ‖ v i ‖^2
v i , [ u ]β =
〈 u , v 1 〉 ‖ v 1 ‖^2 .. . 〈 u , v n〉 ‖ v n‖^2
ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Base para H⊥
Seja H = 〈 v 1 ,... , v m〉. Queremos base para H⊥.
v ∈ H⊥^ ⇐⇒ 〈 v , v i 〉 = v T^ v i = v Ti v = 0 , i = 1 ,... , m
v T 1 v T 2 .. . v Tm
v =
⇐⇒ AT^ v = 0
H⊥^ = Nuc(AT^ ), onde A =
[
v 1 · · · v m
]
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ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Notação
V espaço vetorial, dim(V ) = n
H ⊂ V subespaço vetorial, dim(H) = p
γ = { u 1 ,... , u p} base ortogonal de H
β =
u 1 ,... , u p, u p+ 1 ,... , u n
base ortogonal de V
Observação δ =
u p+ 1 ,... , u n
é base ortogonal de H⊥.
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Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Teorema de Pitágoras
Teorema (de Pitágoras) Sejam v H ∈ H e v H⊥ ∈ H⊥. Então
‖ v H + v H⊥ ‖^2 = ‖ v H ‖^2 + ‖ v H⊥ ‖^2.
Prova ‖ v H + v H⊥ ‖^2 = 〈 v H + v H⊥ , v H + v H⊥ 〉 = 〈 v H , v H 〉 + 〈 v H , v H⊥ 〉 ︸ ︷︷ ︸ = 0
= 〈 v H , v H 〉 + 〈 v H⊥ , v H⊥ 〉 = ‖ v H ‖^2 + ‖ v H⊥ ‖^2 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 42
Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Decomposição Ortogonal
Teorema Dado v ∈ V , existe uma única decomposição v = v H + v H⊥.
Prova
Existência: v =
∑^ n
i= 1
αi u i =
∑^ p
i= 1
αi u i ︸ ︷︷ ︸ ∈ H
∑^ n
i=p+ 1
αi u i ︸ ︷︷ ︸ ∈ H⊥ Unicidade: Suponha v = v H + v H⊥ = w H + w H⊥. Então
v H − w H ︸ ︷︷ ︸ ∈H
= w H⊥ − v H⊥ ︸ ︷︷ ︸ ∈H⊥
∈ H ∩ H⊥^ = { 0 }.
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Projeção Ortogonal
Definição (projeção ortogonal) Projeção ortogonal sobre H:
PH : V → H v 7 → v H tal que v = v H + v H⊥
Observação Fica claro da definição que v = PH v + PH⊥ v ∀ v ∈ V. Portanto, PH + PH⊥ = I e
PH⊥ = I − PH.
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Propriedades da Projeção Ortogonal
PH é linear
PH v = 0 ⇔ v ∈ H⊥, ou seja, N(PH ) = H⊥
PH v = v ⇔ v ∈ H
A imagem de PH é Im(PH ) = H
P^2 H = PH
PTH = PH
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Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Cálculo da Projeção Ortogonal
v =
∑^ n
i= 1
〈 v , u i 〉 〈 u i , u i 〉
u i
∑^ p
i= 1
〈 v , u i 〉 〈 u i , u i 〉
u i ︸ ︷︷ ︸ ∈H
∑^ n
i=p+ 1
〈 v , u i 〉 〈 u i , u i 〉
u i
︸ ︷︷ ︸ ∈H⊥
PH v =
∑^ p
i= 1
〈 v , u i 〉 〈 u i , u i 〉
u i
Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Cálculo da Projeção Ortogonal
PH v =
∑^ p
i= 1
〈 v , ˆ u i 〉 ˆ u i =
[
ˆ u 1 · · · ˆ u p
]
〈 v , ˆ u 1 〉 .. . 〈 v , ˆ u p〉
[
u^ ˆ 1 · · · ˆ u p
]
u^ ˆT 1 v .. . u^ ˆTp v
[
u^ ˆ 1 · · · ˆ u p
]
u ˆT 1 .. . u ˆTp
v
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Cálculo da Projeção Ortogonal
Lema Seja H = 〈ˆ u 1 ,... , ˆ u p〉, onde {ˆ u 1 ,... , ˆ u p} é ortonormal. Defina Q =
[
ˆ u 1 · · · u ˆp
]
. Então
PH = QQT^.
Definição (matriz ortogonal) Uma matriz é ortogonal se suas colunas são orto normais.
Observação Qm×n é ortogonal s.s.s. QT^ Q = In×n.
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ProdutoInterno Espaços c/ PI Produto InternoProjeções Ortogonais
Exemplo 1
H =
e v =
. Calcule PH v e PH⊥ v.
PH v =
〈 v , u 1 〉 〈 u 1 , u 1 〉
u 1 =
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Produto Interno Espaços c/ PIProduto Interno ProjeçõesOrtogonais
Exemplo 1 - cont.
PH⊥ v = (I − PH ) v =
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Problema da Dieta
Kcal/g gord. (%) arroz 2.5 3 carne 3.1 21
peso total: 150 g cal. total: 450 Kcal gordura total: 25 g
arroz + carne = 150
- 50 arroz + 3. 10 carne = 450
- 03 arroz + 0. 21 carne = 25
Não tem solução!
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Problema da Dieta
No entanto, tomando-se 38 g de arroz e 113 g de carne,
[
]
Existe uma boa solução para um problema sem solução!
DESENHO
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Mínimos Quadrados
A x = b (ou, equiv., b − A x = 0 ) pode não ter solução, mas sempre é possível
minimizar ‖ b − A x ‖ (ou, equiv., ‖ b − A x ‖^2 ).
Definição (mínimos quadrados)
A solução no sentido de mínimos quadrados do sistema A x = b é aquela que minimiza (o quadrado d)o resíduo associado a x , onde o resíduo é dado por r = b − A x. Note que ‖ r ‖^2 =
i r^
2 i , donde segue o nome mínimos quadrados.
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Um Problema Correlato
Dado b 6 ∈ H, encontrar v H ∈ H mais próximo de b.
Podemos decompor b = b H + b H⊥ , de forma que
‖ v H − b ‖^2 = ‖ v ︸ H −︷︷ b H︸ ∈H
− b H⊥ ‖^2 = ‖ v H − b H ‖^2 + ‖ b H⊥ ‖^2.
O mínimo é atingido quando v H = b H = PH b.
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De Volta aos Mínimos Quadrados
min x ∈Rn^
‖ b − A x ‖ = min y ∈Im(A)
‖ b − y ‖
A x = y = PIm(A) b
Mínimos Quadrados x é solução de A x = b no sentido dos mínimos quadrados s.s.s. x é solução (no sentido clássico) de A x = PIm(A) b.
